江苏省宿迁市宿豫区2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷(含答案)
展开2022-2023学年江苏省宿迁市宿豫区八年级(下)期中数学试卷
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,在每小题所给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1.(3分)观察下列图形,是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.(3分)下列调查中,适合用普查的是( )
A.夏季冷饮市场上冰淇淋的质量
B.某本书上的印刷错误
C.公民保护环境的意识
D.长江中现有鱼的种类
3.(3分)下列成语所描述的事件属于不可能事件的是( )
A.水落石出 B.水涨船高 C.水滴石穿 D.水中捞月
4.(3分)若把分式中的x和y都扩大2倍,那么分式的值( )
A.不变 B.扩大2倍
C.缩小为原来值的 D.缩小为原来值的
5.(3分)古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米2016石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得270粒内夹谷30粒,则这批米内夹谷约为( )
A.222石 B.224石 C.230石 D.232石
6.(3分)下列命题中错误的是( )
A.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
C.对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形
D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形
7.(3分)顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
8.(3分)如图1,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC、CD、DA运动至点A停止,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,则△ABC的面积是( )
A.10 B.16 C.18 D.20
二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,不需要写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应的位置上)
9.(3分)某中学为了了解本校2 000名学生所需运动服尺码,在全校范围内随机抽取100名学生进行调查,这次抽样调查的样本容量是 .
10.(3分)一个口袋中有红球、白球共10个,这些球除颜色外都相同.将口袋中的球搅拌均匀,从中随机摸出一个球,记下它的颜色后再放回口袋中,不断重复这一过程,共摸了100次球,发现有70次摸到红球.请你估计这个口袋中有 个白球.
11.(3分)若分式的值为0,则x的值是 .
12.(3分)计算= .
13.(3分)某农场引进一批新菜种,播种前在相同条件下进行发芽试验,结果如表所示:
试验的菜种数
500
1000
2000
10000
发芽的频率
0.974
0.983
0.971
0.973
在与实验条件相同的情况下,估计种一粒这样的菜种发芽的概率为 .(精确到0.01)
14.(3分)如图,已知▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,其周长为16,且△AOB的周长比△BOC的周长小2,则AB的长为 .
15.(3分)如图,在平面直角坐标系中,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是 .
16.(3分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠AOB=60°,AE平分∠BAD,AE交BC于E,则∠BOE的大小为 .
17.(3分)如图,△ABC的周长为24,点D、E都在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为M,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为N,若BC=9,则MN的长为 .
18.(3分)如图,已知点P是正方形ABCD外一点,且PA=1,PB=2,则PC的最大值是 .
三、解答题(本大题共10题,共96分,请在答题卡的指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)
19.(8分)按照下列要求解答:
(1)约分:;
(2)通分:与.
20.(8分)先化简,再求值:,其中a=﹣2,b=1.
21.(8分)一只不透明的袋子中装有5个灰球和3个黄球,这些球除颜色外都相同,将球摇匀.
(1)从中任意摸出一个球,
①摸到 球的概率大(填“灰”或“黄”);
②要使得摸到灰球和黄球的概率相等,应向里面添加 个黄球(除颜色外都相同).
(2)“一次性摸出4个球,摸到的球中至少有一个灰球”,这一事件是 事件(填“必然”“随机”或“不可能”).
22.(8分)如图,在▱ABCD中,点E、F分别在AD、BC上,且AE=CF.
求证:四边形BFDE是平行四边形.
23.(10分)如图,已知点A(2,4)、B(1,1)、C(3,2).
(1)将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2;
(3)在平面直角坐标系内找点D,使得A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形,则点D的坐标为 .
24.(10分)“信息消费”已成为人们生活的重要组成部分,宿迁市随机抽取了部分家庭,调查每月用于信息消费的金额,数据整理成如下不完整的统计图,已知A、B两组户数直方图的高度比为1:5,请结合图中相关数据回答下列问题:
月消费额分组统计表
组别
消费额(元)
A
10≤x<100
B
100≤x<200
C
200≤x<300
D
300≤x<400
E
x≥400
(1)A组的频数是 ;本次调查的样本容量是 ;
(2)补全直方图(需标明各组频数);
(3)若该市某社区共有1800户住户,请估计月信息消费额少于300元的户数有多少?
25.(10分)把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠,使点A与点E重合,点C与点F重合(E、F两点均在BD上),折痕分别为BH、DG.
(1)求证:△BHE≌△DGF;
(2)若AB=6cm,BC=8cm,求线段FG的长.
26.(10分)四边形ABCD由两个等宽的矩形纸条以如图方式叠合而成.
(1)四边形ABCD是菱形吗?证明你的结论;
(2)若两张矩形纸条全等,长为9,宽为3,则四边形ABCD的最大面积为多少?
27.(12分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动;Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另外一点也随之停止运动.
(1)当运动时间为t秒时,用含t的代数式表示以下线段的长:AP= BQ= ;
(2)当运动时间为多少秒时,四边形PQCD为平行四边形?
(3)当运动时间为多少秒时,四边形ABQP为矩形?
28.(12分)如图1,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,且这两个正方形的边长相等,OA1交BC于点E,OC1交CD于点F.
知识初探
(1)求证:OE=OF;
探究计算
(2)如图1,若AB=2,求四边形OECF的面积;
拓展探究
(3)如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC,若AC=4,求四边形ABCD的面积.
2022-2023学年江苏省宿迁市宿豫区八年级(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,在每小题所给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1.(3分)观察下列图形,是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A、不是中心对称图形,故此选项错误;
B、不是中心对称图形,故此选项错误;
C、是中心对称图形,故此选项正确;
D、不是中心对称图形,故此选项错误,
故选:C.
【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念,中心对称图形关键是要寻找对称中心,图形旋转180°后与原图重合.
2.(3分)下列调查中,适合用普查的是( )
A.夏季冷饮市场上冰淇淋的质量
B.某本书上的印刷错误
C.公民保护环境的意识
D.长江中现有鱼的种类
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似解答.
【解答】解:A、夏季冷饮市场上冰淇淋的质量,适合抽样调查;
B、某本书上的印刷错误,适合普查;
C、公民保护环境的意识,适合抽样调查;
D、长江中现有鱼的种类,适合抽样调查;
故选:B.
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查,选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大,应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查.
3.(3分)下列成语所描述的事件属于不可能事件的是( )
A.水落石出 B.水涨船高 C.水滴石穿 D.水中捞月
【分析】根据事件发生的可能性大小判断.
【解答】解:A、水落石出,是必然事件,不符合题意;
B、水涨船高,是必然事件,不符合题意;
C、水滴石穿,是必然事件,不符合题意;
D、水中捞月,是不可能事件,符合题意;
故选:D.
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
4.(3分)若把分式中的x和y都扩大2倍,那么分式的值( )
A.不变 B.扩大2倍
C.缩小为原来值的 D.缩小为原来值的
【分析】根据分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.
【解答】解:根据题意,得==,则分式的值不变.
故选:A.
【点评】本题考查了分式的基本性质,掌握分式中的x和y都扩大2倍,分式的值不变是关键.
5.(3分)古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米2016石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得270粒内夹谷30粒,则这批米内夹谷约为( )
A.222石 B.224石 C.230石 D.232石
【分析】用总数量乘以样本中谷所占比例即可得.
【解答】解:这批米内夹谷约为2016×=224(石),
故选:B.
【点评】本题主要考查用样本估计总体,从一个总体得到一个包含大量数据的样本,我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息.这时,我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布,从而去估计总体的分布情况.
6.(3分)下列命题中错误的是( )
A.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
C.对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形
D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项.
【解答】解:A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形,正确,不符合题意;
B、有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形,正确,不符合题意;
C、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形,故原命题错误,符合题意;
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形,正确,不符合题意.
故选:C.
【点评】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解特殊的四边形的判定方法,难度较小.
7.(3分)顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等,那么其必为平行四边形,若邻边互相垂直且相等,那么所得四边形是正方形.
【解答】解:∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,
∴EH∥FG∥BD,EF∥AC∥HG,EF=AC,FG=BD,
∴四边形EFGH是平行四边形,
∵AC⊥BD,AC=BD,
∴EF⊥FG,FE=FG,
∴四边形EFGH是正方形,
故选:D.
【点评】本题考查的是中点四边形,三角形中位线定理以及正方形的判定,解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答.
8.(3分)如图1,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC、CD、DA运动至点A停止,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,则△ABC的面积是( )
A.10 B.16 C.18 D.20
【分析】根据函数的图象、结合图形求出AB、BC的值,根据三角形的面积公式得出△ABC的面积.
【解答】解:∵动点P从点B出发,沿BC、CD、DA运动至点A停止,而当点P运动到点C,D之间时,△ABP的面积不变,
函数图象上横轴表示点P运动的路程,x=4时,y开始不变,说明BC=4,x=9时,接着变化,说明CD=9﹣4=5,
∴AB=5,BC=4,
∴△ABC的面积是:×4×5=10.
故选:A.
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象,在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度,从而得出三角形的面积是本题的关键.
二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,不需要写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应的位置上)
9.(3分)某中学为了了解本校2 000名学生所需运动服尺码,在全校范围内随机抽取100名学生进行调查,这次抽样调查的样本容量是 100 .
【分析】找到样本,根据样本容量的定义解答.
【解答】解:样本是在全校范围内随机抽取的100名学生的运动服尺码,
故样本容量为100.
故答案为:100.
【点评】样本容量是指样本中包含个体的数目,没有单位,一般是用样本中各个数据的和÷样本的平均数,可以求得样本的容量.
10.(3分)一个口袋中有红球、白球共10个,这些球除颜色外都相同.将口袋中的球搅拌均匀,从中随机摸出一个球,记下它的颜色后再放回口袋中,不断重复这一过程,共摸了100次球,发现有70次摸到红球.请你估计这个口袋中有 3 个白球.
【分析】大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.
【解答】解:由题意可得,红球的概率为70%.则白球的概率为30%,
这个口袋中白球的个数:10×30%=3(个),
故答案为3.
【点评】本题考查了利用频率估计概率,正确理解概率的意义是解题的关键.
11.(3分)若分式的值为0,则x的值是 ﹣1 .
【分析】分式的值为0的条件是:(1)分子为0;(2)分母不为0.两个条件需同时具备,缺一不可.据此可以解答本题.
【解答】解:由分式的值为0,得
x+1=0且x﹣1≠0.
解得x=﹣1,
故答案为:﹣1.
【点评】本题考查了分时值为零的条件,若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.
12.(3分)计算= 1 .
【分析】根据同分母分式减法计算法则求解即可.
【解答】解:
=
=
=1,
故答案为:1.
【点评】本题主要考查了同分母分式减法,熟知相关计算法则是解题的关键.
13.(3分)某农场引进一批新菜种,播种前在相同条件下进行发芽试验,结果如表所示:
试验的菜种数
500
1000
2000
10000
发芽的频率
0.974
0.983
0.971
0.973
在与实验条件相同的情况下,估计种一粒这样的菜种发芽的概率为 0.97 .(精确到0.01)
【分析】根据大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率,据此解答可得.
【解答】解:在大量重复试验时,随着试验次数的增加,可以用一个事件出现的概率估计它的概率,实验种子数量越多,用于估计概率越准确,
实验的菜种数10000最多,所以估计种一粒这样的菜种发芽的概率为0.973≈0.97,
故答案为0.97.
【点评】本题考查了利用频率估计概率:大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率;用频率估计概率得到的是近似值,随实验次数的增多,值越来越精确.
14.(3分)如图,已知▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,其周长为16,且△AOB的周长比△BOC的周长小2,则AB的长为 3 .
【分析】由平行四边形的性质得OA=OC,OB=OD,AB=CD,AD=CB,则BC+AB=8①,再由三角形的周长关系得BC﹣AB=2②,即可解决问题.
【解答】解:∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,其周长为16,
∴OA=OC,OB=OD,AB=CD,AD=CB,
∴BC+AB=8①;
∵△AOB的周长比△BOC的周长小2,
∴OB+OC+BC﹣(OA+OB+AB)=2,
∴BC﹣AB=2②,
①﹣②得:2AB=6,
∴AB=3,
故答案为:3.
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形周长等知识,掌握平行四边形两组对边分别相等,对角线互相平分是解题的关键.
15.(3分)如图,在平面直角坐标系中,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是 (5,4) .
【分析】首先根据菱形的性质求出AB的长度,再利用勾股定理求出DO的长度,进而得到点C的坐标.
【解答】解:∵菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(2,0),点D在y轴上,
∴AB=AO+OB=5,
∴AD=AB=CD=5,
∴DO==4,
∴点C的坐标是:(5,4).
故答案为:(5,4).
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质,解题的关键是利用勾股定理求出DO的长度.
16.(3分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠AOB=60°,AE平分∠BAD,AE交BC于E,则∠BOE的大小为 75° .
【分析】由矩形的性质得出∠BAD=∠ABC=90°,OA=OB,证明△AOB是等边三角形,得出AB=OB,∠ABO=60°,证出△ABE是等腰直角三角形,得出AB=BE,因此BE=OB,由等腰三角形的性质即可得出∠BOE的大小.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠ABC=90°,OA=AC,OB=BD,AC=BD,
∴OA=OB,
∵∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OB,∠ABO=60°,
∴∠OBE=30°,
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴AB=BE,
∴BE=OB,
∴∠BOE=(180°﹣30°)=75°;
故答案为:75°.
【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质;熟练掌握矩形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.
17.(3分)如图,△ABC的周长为24,点D、E都在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为M,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为N,若BC=9,则MN的长为 3 .
【分析】证明△ABM≌△EBM,根据全等三角形的性质得到BE=AB,AM=ME,同理得到CD=AC,AN=ND,根据三角形中位线定理解答即可.
【解答】解:∵△ABC的周长为24,
∴AB+AC+BC=24,
∵BC=9,
∴AB+AC=24﹣9=15,
在△ABM和△EBM中,
,
∴△ABM≌△EBM(ASA),
∴BE=AB,AM=ME,
同理可得:CD=AC,AN=ND,
∴DE=BE+CD﹣BC=AB+AC﹣BC=15﹣9=6,
∵AM=ME,AN=ND,
∴MN=DE=3.
故答案为:3.
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质,掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键.
18.(3分)如图,已知点P是正方形ABCD外一点,且PA=1,PB=2,则PC的最大值是 1+2 .
【分析】过点B作BE⊥BP使点E在正方形ABCD的外部,且BE=PB,连接AE、PE、PC,然后求出PE=PB,再求出∠ABE=∠CBP,然后利用“边角边”证明△ABE和△CBP全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=PC,再根据两点之间线段最短可知点A、P、E三点共线时AE最大,也就是PC最大.
【解答】解:如图,过点B作BE⊥BP,且BE=PB,连接AE、PE、PC,
则PE=PB=2,
∵∠ABE=∠ABP+90°,∠CBP=∠ABP+90°,
∴∠ABE=∠CBP,
在△ABE和△CBP中,
,
∴△ABE≌△CBP(SAS),
∴AE=PC,
由两点之间线段最短可知,点A、P、E三点共线时AE最大,
此时AE=AP+PE=1+2,
∴PC的最大值是1+2,
故答案为:1+2.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,正方形的性质,勾股定理,解题的关键是能巧妙利用三角形全等的知识,构造全等三角形,把求PC的长转化成求AE的长.
三、解答题(本大题共10题,共96分,请在答题卡的指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)
19.(8分)按照下列要求解答:
(1)约分:;
(2)通分:与.
【分析】(1)先把分式的分子、分母因式分解,再约分即可;
(2)先确定最简公分母,再通分.
【解答】解:(1)==;
(2)=,=.
【点评】本题考查的是分式的约分、通分,掌握它们的运算法则是解题的关键.
20.(8分)先化简,再求值:,其中a=﹣2,b=1.
【分析】首先把分子分母分解因式,再约分化简,然后根据同分母的分数相加,分母不变分子相加进行计算,结果要化为最简形式,再把a=﹣2,b=1代入化简后的结果可得出分式的值.
【解答】解:原式=+
=+
=,
把 a=﹣2,b=1代入得:原式==2.
【点评】此题主要考查了分式的化简求值,一定要先把分式化简后,再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.
21.(8分)一只不透明的袋子中装有5个灰球和3个黄球,这些球除颜色外都相同,将球摇匀.
(1)从中任意摸出一个球,
①摸到 灰 球的概率大(填“灰”或“黄”);
②要使得摸到灰球和黄球的概率相等,应向里面添加 2 个黄球(除颜色外都相同).
(2)“一次性摸出4个球,摸到的球中至少有一个灰球”,这一事件是 必然 事件(填“必然”“随机”或“不可能”).
【分析】(1)①那种球的数量最多,摸到那种球的概率就大;
②使得球的数量相同即可得到概率相同.
(2)根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可.
【解答】解:(1)①袋子中灰球的数量最多,所以摸到灰球的概率最大,
故答案为:灰;
②要使得摸到灰球和黄球的概率相等,只需使袋子中两种颜色球的数量相等即可.所以应向里面添加2个黄球,
故答案为:2;
(2)一只不透明的袋子中装有5个灰球和3个黄球,这些球除颜色外都相同,将球摇匀.
则事件“一次性摸出4个球,摸到的球中至少有一个灰球”是必然事件.
故答案为:必然.
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及概率的公式,属于概率基础题,球的数量相同即可得到概率相同.
22.(8分)如图,在▱ABCD中,点E、F分别在AD、BC上,且AE=CF.
求证:四边形BFDE是平行四边形.
【分析】由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对边平行且相等,即可得AD∥BC,AD=BC,又由AE=CF,即可证得DE=BF,然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可证得四边形BFDE是平行四边形.
【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵AE=CF,
∴AD﹣AE=BC﹣CF,
∴ED=BF,
又∵AD∥BC,
∴四边形BFDE是平行四边形.
【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定,注意熟练掌握定理与性质是解决问题的关键.
23.(10分)如图,已知点A(2,4)、B(1,1)、C(3,2).
(1)将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2;
(3)在平面直角坐标系内找点D,使得A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形,则点D的坐标为 (4,5)或(0,3)或(2,﹣1) .
【分析】(1)分别作出A,B,C的对应点A1,B1,C1即可解决问题.
(2)分别作出A,B,C的对应点A2,B2,C2即可解决问题.
(3)根据平行四边形的定义,画出图形写出坐标即可.
【解答】解:(1)如图,△A1B1C1即为所求,点C1的坐标为(﹣2,3).
故答案为:(﹣2,3).
(2)△A2B2C2即为所求,点A2的坐标为(﹣2,﹣4)
故答案为:(﹣2,﹣4).
(3)如图,满足条件的点D的坐标为(4,5)或(0,3)或(2,﹣1).
故答案为:(4,5)或(0,3)或(2,﹣1).
【点评】本题考查旋转变换,平行四边形的判定等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
24.(10分)“信息消费”已成为人们生活的重要组成部分,宿迁市随机抽取了部分家庭,调查每月用于信息消费的金额,数据整理成如下不完整的统计图,已知A、B两组户数直方图的高度比为1:5,请结合图中相关数据回答下列问题:
月消费额分组统计表
组别
消费额(元)
A
10≤x<100
B
100≤x<200
C
200≤x<300
D
300≤x<400
E
x≥400
(1)A组的频数是 2 ;本次调查的样本容量是 50 ;
(2)补全直方图(需标明各组频数);
(3)若该市某社区共有1800户住户,请估计月信息消费额少于300元的户数有多少?
【分析】(1)根据A、B两组户数直方图的高度比为1:5,即两组的频数的比是1:5,据此即可求得A组的频数;利用A和B两组的频数的和除以两组所占的百分比即可求得总数,即样本容量;
(2)利用总数乘以百分比即可求得C、D、E组的频数,从而补全统计图;
(3)利用总数1500乘以对应的百分比即可.
【解答】解:(1)∵A、B两组户数直方图的高度比为1:5,且B组频数为10,
则A组频数为2,
∵A、B组频率之和为1﹣(40%+28%+8%)=24%,
∴样本容量为12÷24%=50,
故答案为:2,50;
(2)C组频数为50×40%=20,D组频数为50×28%=14,E组频数为50×8%=4,
补全图形如下:
(3)1800×(1﹣28%﹣8%)=1152(户),
答:估计月信息消费额少于300元的户数是1152户.
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力;利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.
25.(10分)把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠,使点A与点E重合,点C与点F重合(E、F两点均在BD上),折痕分别为BH、DG.
(1)求证:△BHE≌△DGF;
(2)若AB=6cm,BC=8cm,求线段FG的长.
【分析】(1)先根据矩形的性质得出∠ABD=∠BDC,再由图形折叠的性质得出∠ABH=∠EBH,∠FDG=∠CDG,∠A=∠HEB=90°,∠C=∠DFG=90°,进而可得出△BEH≌△DFG;
(2)先根据勾股定理得出BD的长,进而得出BF的长,由图形翻折变换的性质得出CG=FG,设FG=x,则BG=8﹣x,再利用勾股定理即可求出x的值.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠A=∠C=90°,∠ABD=∠BDC,
∵△BEH是△BAH翻折而成,
∴∠ABH=∠EBH,∠A=∠HEB=90°,AB=BE,
∵△DGF是△DGC翻折而成,
∴∠FDG=∠CDG,∠C=∠DFG=90°,CD=DF,
∴∠DBH=∠ABD,∠BDG=∠BDC,
∴∠DBH=∠BDG,
∴△BEH与△DFG中,
∠HEB=∠DFG,BE=DF,∠DBH=∠BDG,
∴△BEH≌△DFG,
(2)解:∵四边形ABCD是矩形,AB=6cm,BC=8cm,
∴AB=CD=6cm,AD=BC=8cm,
∴BD===10,
∵由(1)知,FD=CD,CG=FG,
∴BF=10﹣6=4cm,
设FG=x,则BG=8﹣x,
在Rt△BGF中,
BG2=BF2+FG2,即(8﹣x)2=42+x2,解得x=3,即FG=3cm.
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及矩形的性质,全等三角形的判定,熟知折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等是解答此题的关键.
26.(10分)四边形ABCD由两个等宽的矩形纸条以如图方式叠合而成.
(1)四边形ABCD是菱形吗?证明你的结论;
(2)若两张矩形纸条全等,长为9,宽为3,则四边形ABCD的最大面积为多少?
【分析】(1)作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形,再由BC=CD得平行四边形ABCD是菱形;
(2)由勾股定理可求CD的长,即可求解.
【解答】解:(1)四边形ABCD是菱形,理由如下:
作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,
由题意知:AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵两个矩形的宽度相等,
∴AE=AF,
∵AE•BC=AF•CD,
∴BC=CD,
∴平行四边形ABCD是菱形;
(2)∵S菱形ABCD=BC•AE,AE=3,
∴BC最大时,菱形ABCD的面积有最大值,
∴当BD为矩形的对角线时,BC有最大值,
此时,CD2=9+(8﹣CD)2,
∴CD=5,
∴BC=5,
∴S菱形ABCD=BC•AE=5×3=15.
【点评】本题考查了菱形的判定和性质,勾股定理,掌握菱形的判定是解题的关键.
27.(12分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动;Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另外一点也随之停止运动.
(1)当运动时间为t秒时,用含t的代数式表示以下线段的长:AP= t BQ= 26﹣3t ;
(2)当运动时间为多少秒时,四边形PQCD为平行四边形?
(3)当运动时间为多少秒时,四边形ABQP为矩形?
【分析】(1)根据题意可直接得出;
(2)由在梯形ABCD中,AD∥BC,可得当PD=CQ时,四边形PQCD是平行四边形,即可得方程:24﹣t=3t,解此方程即可求得答案;
(3)由在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,可得当AP=BQ时,四边形ABQP是矩形,即可得方程:t=26﹣3t,解此方程即可求得答案.
【解答】解:(1)由题意知AP=t,BQ=26﹣3t,
故答案为:t,26﹣3t;
(2)由题意可得:PD=AD﹣AP=24﹣t,QC=3t,
∵AD∥BC,
∴PD∥QC,
设当运动时间为t秒时PD=QC,此时四边形PQCD为平行四边形.
由PD=QC得,24﹣t=3t,
解得t=6,
∴当运动时间为6秒时,四边形PQCD为平行四边形.
(3)∵AD∥BC,
∴AP∥BQ,
设当运动时间为t秒时AP=BQ,四边形ABQP为平行四边形.
由AP=BQ得:t=26﹣3t,
解得:t=,
又∵∠B=90°
∴平行四边形ABQP为矩形.
∴当运动时间为秒时,四边形ABQP为矩形.
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
28.(12分)如图1,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,且这两个正方形的边长相等,OA1交BC于点E,OC1交CD于点F.
知识初探
(1)求证:OE=OF;
探究计算
(2)如图1,若AB=2,求四边形OECF的面积;
拓展探究
(3)如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC,若AC=4,求四边形ABCD的面积.
【分析】(1)根据正方形的性质即可证明△BOE≌△COF,进而可得OE=OF;
(2)根据勾股定理可得AC的长,结合△BOE≌△COF,可得S△BOE=S△COF,进而可求四边形OECF的面积;
(3)结合以上结论,根据四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,即可求出四边形ABCD的面积.
【解答】(1)证明:在正方形ABCD和正方形A1B1C1O中,
∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90°,OB=OC,∠EOF=90°,
∴∠BOC﹣∠EOC=∠EOF﹣∠EOC,
∴∠BOE=∠COF,
在△BOE和△COF中,
,
∴△BOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF;
(2)解:在正方形ABCD中,∠ABC=90°,BC=AB=2,
在Rt△ABC中,AC===2,
∴OC=OB=,
由上题可知△BOE≌△COF,
∴S△BOE=S△COF,
∴S四边形OECF=S△COF+S△OCE=S△BOE+S△OCE=S△BOC=OB•OC=××=1.
答:四边形OECF的面积为1.
(3)解:∵四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,AC=4,
∴四边形ABCD的面积是:4×4=8.
答:四边形ABCD的面积为8.
【点评】本题属于四边形综合题,主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握正方形的性质.
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