2023年小升初数学举一反三重难点培优讲义 专题12《解决简单实际问题和一般复合问题》

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2022-2023学年小升初数学举一反三重难点培优讲义
专题12 解决简单实际问题和一般复合问题



考点梳理
知识要点
高分妙招
简单应用题的意义及类型
1.意义:简单应用题是由两个已知条件和一个问题组成的,只用加、减、乘、除一步运算来解答的应用题。
2.简单应用题的类型
名称
关系式
部分数与总数
部分数+部分数=总数
总数-部分数=另一部分数
相差关系
大数-小数=相差数
大数-相差数=小数
小数+相差数=大数
份总关系
每份数×份数=总数
总数÷份数=每份数
总数÷每份数=份数
倍数关系
小数×倍数=大数
大数÷倍数=小数

一定要在认真分析、弄懂题意,找出正确数量
关系后再解答

一般复合应用题的意义及解题方法
1.复合应用题是含有两个或两个以上的基本数量关系。用两步或两步以上的运算进行解答的应用题。其实,复合应用题是由几个简单应用题组合成的。
2.这类应用题无一定的解答规律，可以把它先分解成几个简单应用题,分别求出间接问题,然后求出结果,在具体分析解答中一般采用分析法、综合法或分析综合法。
分析法:从问题入手,逐步分析题目的已知条件,然后把缺少的条件当作问题
综合法:从条件入手,根据题目的已知条件推出一个中间问题，然后把中间问题当作条件,直到算出解。
分析综合法:将分析法，综合法结合起来交替使用,从条件和问题两方面综合考虑
3.解题步骤如下:(1)弄清题意,找出已知条件和要求的问题;(2)分析题目里的数量关系找出中间问题，据此确定先算什么,再算什么,最后算什么;(3)列出算式进行计算;(4)检验并写答。
一道题能用多种方法解答时,如果题目没有具体要求。尽量用其中一种比较简便的方法
解答。
常见数量关系
问题名称
数量关系式
价格问题
单价×数量=总价 总价÷单价=数量 总价÷数量=单价
产量问题
单产量×数量=总产量 总产量÷数量=单产量
总产量÷单产量=数量
行程问题
速度×时间=路程 路程÷时间=速度 路程÷速度=时间
工程(或效率)问题
工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作时间=工作效率
工作总量÷工作效率=工作时间
工作总量÷工作效率和=合作时间
打折问题
现价÷原价=折数 原价×折数=现价 现价÷折数=原价
收支问题
支出十结余=收入 收入-支出=结余 收入-结余=支出


高频考点01：整数四则混合运算应用题
【典例精讲01】（2018•河西区）李老师把发放《小学生交通安全常识》宣传册的任务平均分给甲、乙、丙三名学生．上午甲发了168册，乙发了125册，丙发了127册，这时三人剩下的总册数与每人分到的册数相等．乙剩下（　　）册没发完．
A．210 B．140 C．85 D．15
【思路点拨】由“这时三人剩下的总册数与每人分到的册数相等”，可知这时三人发的本数是每人分到的册数的2倍，因此求出每人分到的册数为（168+125+127）÷2＝210（册），根据各自走访的户数，解决问题．
【规范解答】解：（168+125+127）÷2
＝420÷2
＝210（册）
210﹣125＝85（册）
答：乙剩下85册没发完．
故选：C．
【考点评析】此题也可列方程解答：设每人分到的任务本数为x，得：（x﹣168）+（x﹣125）+（x﹣127）＝x，解方程求出每人分到的任务本数，进而解决问题．
【举一反三01】（2022•凌海市）修路队要修1800米长的路，已经修了4天，平均每天修250米。剩下的要在2天修完，平均每天修路多少米？
【思路点拨】先根据工作量＝工作效率×工作时间，用250乘4，求出4天修的米数；再用1800米减去4天修的米数，求出剩下的米数；最后根据工作效率＝工作量÷工作时间，用剩下的米数除以2即可。
【规范解答】解：（1800﹣250×4）÷2
＝（1800﹣1000）÷2
＝800÷2
＝400（米）
答：平均每天修路400米。
【考点评析】解答本题需熟练掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系。
【举一反三02】（2022•南山区）神舟十三号女性舱外航天服重约90千克，男性舱外航天服重约120千克，女性舱外航天服比男性舱外航天服轻百分之几？（先画示意图，再列式解答）
【思路点拨】求女性舱外航天服比男性舱外航天服轻百分之几，就是求90千克比120千克少百分之几，列除法算式解答。
【规范解答】解：

（120﹣90）÷120
＝30÷120
＝0.25
＝25%
答：女性舱外航天服比男性舱外航天服轻25%。
【考点评析】求一个数比另一个数多（少）百分之几，列除法算式解答。
【举一反三03】（2022•丹棱县）王师傅要加工600个零件，他已经加工了3小时，每时加工85个，还剩多少个没有加工？
【思路点拨】先根据工作量＝工作效率×工作时间求出3小时加工的个数，再用600个减去加工 的个数就是没加工的个数。
【规范解答】解：600﹣85×3
＝600﹣255
＝345（个）
答：还剩345个没有加工。
【考点评析】本题考查了利用整数混合运算解决问题，需熟练掌握工作量、工作时间和工作效率之间的关系。
高频考点02：整数、小数复合应用题
【典例精讲02】（2023•西城区模拟）小芳感冒后，每天要吃3次药，每次所吃的药片质量为0.9克．小芳一天所吃的药片质量为（　　）克．
A．0.39 B．0.27 C．2.7
【思路点拨】运用小数乘法的意义进行解答即可，求几个相同加数和的简便运算．
【规范解答】解：0.9×3＝2.7（克）
答：小芳一天所吃的药片质量为2.7克．
故选：C．
【考点评析】本题考查了小数乘法的意义，积的小数部分的位数是两个因数位数的和．
【举一反三04】（2023•红安县模拟）有两家餐厅，分别推出优惠策略．
甲餐厅
每份套餐10元，儿童半价．
乙餐厅
每份套餐7.5元．
3个大人带4个小孩去（　　）家餐厅就餐合算．
A．甲餐厅 B．乙餐厅 C．都一样
【思路点拨】根据总价＝数量×单价，分别求出去甲餐厅和乙餐厅需要的钱数，再比较即可解答．
【规范解答】解：去甲餐厅需要的钱数：
10×3+10÷2×4，
＝30+5×4，
＝30+20，
＝50（元），
去乙餐厅需要的钱数：
7.5×（3+4），
＝7.5×7，
＝52.5（元），
50＜52.5，
答：甲餐厅比较便宜，
故选：A．
【考点评析】本题考查基本数量关系：总价＝数量×单价，注意儿童半价也就是10÷2＝5元．
【举一反三05】（2023•万州区模拟）一个滴水的水龙头，每天白白浪费掉0.012立方米的水，某社区有100个这样的水龙头，一个月浪费掉多少立方米水？（一个月按30天计算）
【思路点拨】可以先求出100个滴水的龙头一天浪费多少水，再乘一个月的天数，即可得出答案。
【规范解答】解：0.012×100×30
＝1.2×30
＝36（立方米）
答：一个月浪费掉36立方米水。
【考点评析】本题考查学生对小数乘法运算的运用，计算时要注意小数点的位置。
【举一反三06】（2023•青岛模拟）一个玩具厂做一个毛绒兔原来需要3.8元的材料．后来改进了制作方法，每个只需3.6元的材料．原来准备做180个毛绒兔的材料，现在可以做多少个？
【思路点拨】要求现在可以做多少个，先要求出原来做180个毛绒兔的材料用多少元，根据“单价×数量＝总价”可以得出；然后用总价÷现在做每个毛绒兔的材料的成本＝数量，即可得出．
【规范解答】解：3.8×180÷3.6
＝684÷3.6
＝190（个）
答：现在可以做190个．
【考点评析】掌握总价、单价、数量三者的关系是解题的关键．
高频考点03：分数四则复合应用题
【典例精讲03】（2022•龙岗区）六（1）班有男生24人，用“”这个算式表示该班女生的人数。下面符合该班男女生人数的关系是（　　）信息。
A．女生人数是男生人数的
B．男生人数比女生人数多
C．男生人数比女生人数少
D．女生人数比男生人数多
【思路点拨】根据算式可以看出：单位“1”是男生人数，女生人数比男生人数多；据此判断即可。
【规范解答】解：六（1）班有男生24人，用“24×（1+）”这个算式表示该班女生的人数。符合该班男女生人数的关系是女生人数比男生人数多。
故选：D。
【考点评析】本题主要考查了分数四则复合应用题，解题的关键是由算式可以判断出单位“1”及女生对应的分率。
【举一反三07】（2023•万州区模拟）一根电线长6米，第一次用去它的，剩下 　3.6　米；第二次又用去米，还剩下 　3.2　米。
【思路点拨】将电线总长看作单位“1”，用6米乘（1﹣）就是第一次用完后剩下的长度，再减去米就是第二次用完后剩下的长度。
【规范解答】解：6×（1﹣）
＝6×
＝3.6（米）
3.6﹣＝3.2（米）
故答案为：3.6，3.2。
【考点评析】解答本题需明确：是一个分率，米是一个具体的数值。
【举一反三08】（2023•鄂州模拟）小明看一本书，第一天看了50页，占全书页数的，第二天看了全书的。小明第二天看了多少页？
【思路点拨】将这本书总页数看做单位“1”，先用50页除以，求出这本书的总页数；再用这本书的总页数乘，即可求出小明第二天看的页数。
【规范解答】解：50÷×
＝150×
＝60（页）
答：小明第二天看了60页。
【考点评析】已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算；求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。
【举一反三09】（2022秋•西乡县期末）“五一期间”商家搞促销活动，一件衣服打八五折出售，现在卖170元，现在比原来便宜多少元？
【思路点拨】已知一件衣服现在卖170元，要求现在比原来便宜多少元，应求出这件衣服原来的价格．根据题意“一件衣服打八五折出售，现在卖170元”，可知170元相当于原来价格的85%，则原来的价格为170÷85%，然后减去170元即为所求．
【规范解答】解：八五折＝85%，
170÷85%﹣170，
＝170÷0.85﹣170，
＝200﹣170，
＝30（元）；
答：现在比原来便宜30元．
【考点评析】解答此题应理解八五折＝85%，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题，求出原来价格，是解题的关键．
高频考点04：百分数的实际应用
【典例精讲04】（2023•西城区模拟）明明看一本书，第一天看了全书的35%，第二天看了全书的27%，第二天比第一天少看16页。这本书一共 　200　页。
【思路点拨】用35%减去27%，求出16页占全书总页数的百分比，列除法算式解答。
【规范解答】解：16÷（35%﹣27%）
＝16÷8%
＝200（页）
答：这本书一共200页。
故答案为：200。
【考点评析】本题考查了利用百分数的除法解决问题，解答本题的关键是求出16页占全书总页数的百分比。
【举一反三10】（2022•港北区）研究表明，眨眼有利于消除眼睛疲劳。据统计，人在正常状态下每分钟眨眼25次．看书时每分钟眨眼15次，玩电脑游戏时眨眼睛次数比正常状态时减少60%。看书时每分钟眨眼次数是正常状态的 　60　%，玩电脑游戏时每分钟眨眼 　10　次。中国人群中近视眼的患病率非常高，而且近视人群有越来越年幼化趋势，我们应该注意用眼卫生，学会保护视力。
【思路点拨】因为求一个数是另一个数的百分之几，是用一个数除以另一个数解答，所以求看书时每分钟眨眼次数是正常状态的百分之几是多少，就用求看书时每分钟眨眼次数除以正常状态眨眼的次数解答；玩电脑游戏时眨眼睛次数比正常状态时减少60%，把正常状态眨眼的次数看作单位“1”，则玩电脑游戏时每分钟眨眼的次数就等于正常状态眨眼的次数的（1﹣60%），所以用正常状态眨眼的次数乘（1﹣60%）即可解答。
【规范解答】解：15÷25＝60%
25×（1﹣60%）
＝25×0.4
＝10（次）
答：看书时每分钟眨眼次数是正常状态的60%，玩电脑游戏时每分钟眨眼10次。
故答案为：60，10。
【考点评析】本题考查了百分数问题，关键找准单位“1”和数量之间的关系。
【举一反三11】（2022•阳春市）某品牌新能源汽车，如果现金购买可按九五折优惠，如果分期付款购买要加价5%。王叔叔算了算，发现分期付款比现金购买多付了4000元。这辆新能源汽车的原价是 　40000元　。
【思路点拨】将这辆新能源汽车的原价看作单位“1”，由题意可知，4000元占原价的（1+5%﹣95%），据此解答。
【规范解答】解：4000÷（1+5%﹣95%）
＝4000÷0.1
＝40000（元）
答：这辆新能源汽车的原价是40000元。
故答案为：40000元。
【考点评析】解答本题需准确理解折扣的意义，熟练利用分数除法解决问题。
【举一反三12】（2022•右江区）一辆汽车从甲地开往乙地，已经行驶了全程的60%。离乙地还有120千米。
（1）在图上表示出已行的路程和剩下的路程。

（2）根据上面的条件，提出一个用两步或两步以上计算解答的问题，再列式解答。
问题：　甲乙两地的路程是多少千米？　
解答：　120÷（1﹣60%）＝300（千米）　
【思路点拨】（1）把总路程看作单位“1”，根据百分数60%的意义，把总路程平均分成5份，已经行驶的路程占3份，120千米占2份，据此画图。
（2）可以提问题：甲乙两地的路程是多少千米？用离乙地还有的路程除以还有的路程（1﹣60%）占总长度的百分率求出总路程。
【规范解答】解：（1）画图如下：

（2）问题：甲乙两地的路程是多少千米？
120÷（1﹣60%）
＝120÷0.4
＝300（千米）
答：甲乙两地的路程是300千米。
故答案为：甲乙两地的路程是多少千米；120÷（1﹣60%）＝300（千米）。
【考点评析】本题考查了百分数除法应用题，关键是确定单位“1”，找到具体数量对应的分率；解答依据是：已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算。
高频考点05：分数、百分数复合应用题
【典例精讲05】（2022•南沙区校级模拟）有两箱橘子，如果卖出第一箱的，则第一箱剩下16千克；如果卖出第二箱的20%，则第二箱还剩下32千克。两箱橘子相比，（　　）
A．第一箱多 B．第二箱多 C．同样多
【思路点拨】把两箱橘子的质量分别看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几（百分之几）是多少，求这个数，用除法分别求出两箱橘子的质量，然后进行比较即可。
【规范解答】解：16÷（1）
＝
＝
＝40（千克）
32÷（1﹣20%）
＝32÷80%
＝32÷0.8
＝40（千克）
40千克＝40千克
答：两箱橘子相比同样多。
故选：C。
【考点评析】此题属于基本的分数（百分数）除法应用题，关键是确定单位“1”，根据已知一个数的几分之几（百分之几）是多少，求这个数，用除法解答。
【举一反三13】（2022•本溪县）某口罩厂紧急生产12000只口罩，第一车间生产了总数的30%，第二车间生产了总数的，剩下的交由第三车间完成，则第三车间要生产多少只口罩才能全部完成任务？
【思路点拨】将需要生产的口罩总数看作单位“1”，第三车间需完成口罩总数的（1﹣30%﹣），据此列乘法算式解答。
【规范解答】解：12000×（1﹣30%﹣）
＝12000×30%
＝3600（只）
答：第三车间要生产3600只口罩才能全部完成任务。
【考点评析】本题考查了利用分数混合运算解决问题，解答本题的关键是分析出第三车间需要生产的口罩数占口罩总数的分率。
【举一反三14】（2022秋•藁城区期末）一堆煤运走了25吨，刚好是总吨数的．若运走的是总吨数的60%，那么运走的是多少吨？
【思路点拨】先依据分数除法意义求出这堆煤的总吨数，再依据百分数乘法意义解答．
【规范解答】解：25×60%
＝60×60%
＝36（吨）
答：运走的是36吨．
【考点评析】此题是比较简单的百分数乘法、分数除法应用题，找出数量间的关系即可解答．
【举一反三15】（2022•睢县）2020年春抗击新型冠状病毒肺炎期间，某社区党员们为小区的住户消毒，第一天消毒了总住户的，第二天比第一天多消毒30户，还剩总住户的45%没消毒，这个小区共有多少户？
【思路点拨】由题意可知，第二天消毒户数比总住户的多30户，则30户占总住户的（1﹣﹣﹣45%），据此列除法算式解答。
【规范解答】解：30÷（1﹣﹣﹣45%）
＝30÷
＝120（户）
答：这个小区共有120户。
【考点评析】本题考查了利用分数及百分数混合运算解决问题，关键是分析出30户占总户是的几分之几。
高频考点06：简单的工程问题
【典例精讲06】（2022•梁平区）要运300吨煤炭，大货车6小时可以运完，小货车10小时可以运完。如果两车合运，多少小时可以运完？下列算式，哪个不正确？（　　）
A．300÷（300÷6+300÷10）
B．300÷（+）
C．1÷（+）
D．解：设x小时可以运完，列方程为：x+x＝300
【思路点拨】分别分析每个选项的算式的解题思路，找出列式错误的选项。
【规范解答】解：A选项，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别计算出两车的工作效率，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率和，计算出两车合运，多少小时可以运完，A选项列式正确。
B选项、C选项，把这堆煤炭的总量看作单位“1”，则大货车的工作效率是，小货车的工作效率是，根据工作时间＝工作总量÷工作效率和，计算出两车合运，多少小时可以运完，所以，B选项列式错误，C选项列式正确。
D选项，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别计算出两车的工作效率，再根据大货车运的质量+小货车运的质量＝300吨，列方程解答，所以D选项列式正确。
故选：B。
【考点评析】本题解题关键是熟练掌握工程问题的解题方法，能用多种思路解决工程问题。
【举一反三16】（2022秋•清丰县期末）两个工程队共同修一条200千米的公路，各从一端相向施工，50天就完成了任务．甲队平均每天修2.5千米，乙队平均每天修多少千米？（用方程解）
【思路点拨】设乙队平均每天修x千米，依据工作总量＝工作时间×工作效率，分别求出两队完成的工作总量，再根据两队的工作总量和是200千米列方程，依据等式的性质即可解答．
【规范解答】解：设乙队平均每天修x千米，
2.5×50+50x＝200，
125+50x﹣125＝200﹣125，
50x＝75，
50x÷50＝75÷50，
x＝1.5，
答：乙队平均每天修1.5千米．
【考点评析】本题属于比较简单应用题，只要依据数量间的等量关系，代入数据即可解答，关键是根据两队的工作总量和是200千米列方程，解方程时注意对齐等号．
【举一反三17】（2022•泉州模拟）小王要打一份2100字的文件，已经打了5分钟，每分钟打120个字，剩下的要10分钟内打完，平均每分钟要打多少个字？
【思路点拨】先根据工作量＝工作效率×工作时间，用120乘5，求出已经打的字数；再用2100减去已经打的字数，求出剩下的字数；最后根据工作效率＝工作量÷工作时间，用剩下的字数除以10即可。
【规范解答】解：（2100﹣120×5）÷10
＝1500÷10
＝150（个）
答：平均每分钟要打150个字。
【考点评析】解答本题需熟练掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系。
【举一反三18】（2022•德江县）建设美丽乡村，要修建一条乡村公路。这项工程，甲队独修要6天完成，乙队独修要9天完成。现由甲队先修2天后，剩下的由乙队独修，乙队还要修几天完成？
【思路点拨】把工作总量看作单位“1”，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，根据工作总量＝工作效率×工作时间，可以计算出甲队2天完成的任务，再用单位“1”减去甲队2天完成的任务，可以计算出剩余的工作量，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，可以计算出乙队还要修几天完成。
【规范解答】解：（1﹣×2）÷
＝（1﹣）×9
＝
＝6（天）
答：乙队还要修6天完成。
【考点评析】本题考查工程问题的解题方法，解题关键是要把工作总量看作单位“1”，利用工作总量、工作效率、工作时间的关系，列式计算。

一．选择题
1．（2022•西乡塘区）一件上衣的进价为150元，商家加价20%出售，后因款式过时，再打八折出售，现价比进价（　　）
A．高 B．低 C．相同 D．无法比较
【思路点拨】先将原价看作单位“1”，用150元乘（1+20%）求出加价后的价格；再将加价后的价格看作单位“1”，用加价后的价格乘80%，求出现价，最后与原价比较即可。
【规范解答】解：150×（1+20%）×80%
＝180×80%
＝144（元）
144元＜150元
答：现价比进价低。
故选：B。
【考点评析】求比一个数多（少）百分之几的数是多少，用乘法计算；求一个数的百分之几的数是多少，用乘法计算。
2．（2022•铜官区）加工一批零件，原计划8小时完成，实际只用5小时就完成了。实际工作效率比原计划提高了（　　）%。
A．37.5 B．60 C．62.5 D．160
【思路点拨】将这批零件总数看作单位“1”，原计划每天可完成，实际每天完成，求比多百分之几即可。
【规范解答】解：（﹣）÷×100%
＝×8×100%
＝0.6×100%
＝60%
答：实际工作效率比原计划提高了60%。
故选：B。
【考点评析】求一个数比另一个数多（少）百分之几，用除法计算；确定出实际工作效率和计划工作效率是关键。
3．（2022•金安区）“六一”儿童节，商场里儿童电话手表做促销活动，“六一”当天降价10%，第二天再提价10%，现价和原价比（　　）
A．提高了 B．降低了 C．不变
【思路点拨】把原价看作单位“1”，，“六一”当天降价10%，此时的价格相当于原价的（1﹣10%）；第二天再提价10%，降价后的价格相当于原价的（1﹣10%）的（1+10%），根据求一个数的百分之几是多少，用乘法求出现价，然后与原价进行比较即可。
【规范解答】解：1×（1﹣10%）×（1+10%）
＝1×0.9×1.1
＝0.99
＝99%
99%＜1
所以现价比原价低了。
故选：B。
【考点评析】此题属于基本的百分数乘法应用题，关键是确定单位“1”，根据一个数乘百分数的意义解答。
4．（2022•济南）超市卖一种轮滑鞋，售价的60%是进价，售价的40%是赚的钱。现在要搞促销活动，原来每双售价为150元的这种轮滑鞋，为保证一双赚的钱不少于30元，最多打（　　）折
A．七 B．七五 C．八 D．八五
【思路点拨】先用售价乘60%求出进价，用进价加上30元再除以售价，最后化成折扣即可。
【规范解答】解：（150×60%+30）÷150
＝120÷150
＝0.8
＝80%
80%＝八折
答：最多打八折。
故选：C。
【考点评析】解答本题的关键是明确折扣的意义，熟练掌握折扣的计算方法。
5．（2021•河北区）一项工程，如果先由甲工程队单独干20天，剩下的由乙工程队单独干，那么15天可以完成任务。如果甲、乙两个工程队合作5天能完成全部工程的28%，那么乙工程队的工作效率比甲工程队的工作效率（　　）
A．快 B．慢 C．快25% D．慢25%
【思路点拨】把完成这项工程的总量看作单位“1”，“先由甲工程队单独干20天，剩下的由乙工程队单独干，那么15天可以完成任务”，可以看成是两队合干15天，甲队单独做5天，然后用甲、乙两个工程队合作5天能完成工作总量除以5，计算出两队的工作效率之和，进而求出甲队的工作效率，用两队的工作效率和减去甲队的工作效率，计算出乙队的工作效率，最后根据工作效率差除以单位“1”，计算出乙工程队的工作效率比甲工程队的工作效率快，还剩慢。
【规范解答】解：28%÷5＝

＝（）÷5
＝
＝


＝
＝25%
答：乙工程队的工作效率比甲工程队的工作效率慢25%。
故选：D。
【考点评析】本题考查工程问题的解题方法，解题关键是要把工作总量看作单位“1”，解题关键是理解：”先由甲工程队单独干20天，剩下的由乙工程队单独干，那么15天可以完成任务”，可以看成是两队合干15天，甲队单独做5天”，进而计算出甲乙的工作效率各是多少，再进行比较。
二．填空题
6．（2022•右江区）李叔叔以八五折的优惠买了一辆自行车，实际付了510元，这辆自行车的原价是 　600　元。李叔叔因一项科技发明，获得了8500元奖金，按规定应缴纳20%的个人所得税，李叔叔实际获得奖金 　6800　元。
【思路点拨】八五折的优惠价，即实际支付相当于原价的85%，把原价看作单位“1”，根据百分数除法的意义，用510元除以85%，就是这辆自行车的原价。
根据应纳税部分×税率＝应纳税额，收入﹣应纳税额＝实际收入，代入数据解答即可。
【规范解答】解：八五折＝85%
510÷85%＝600（元）
8500﹣8500×20%
＝8500﹣1700
＝6800（元）
答：这辆自行车的原价是600元。李叔叔实际获得奖金6800元。
故答案为：600；6800。
【考点评析】此题是考查百分数除法的应用和应纳税额的计算。
7．（2022•西乡塘区）12t增加它的后，再减少t，还剩下 　13　t。
【思路点拨】先将12吨可知单位“1”，用12吨乘（1+），求出增加后的吨数，再减去吨即可。
【规范解答】解：12×（1+）﹣
＝14﹣
＝13（吨）
答：还剩下13吨。
故答案为：13。
【考点评析】解答本题需明确：表示的是分率，t表示的具体的量。
8．（2022•璧山区）《庄子•天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思就是：一根一尺（尺，中国古代长度单位）长的木棒，第一天取它的一半，第二天取剩下的一半，第三天再取剩下的一半……第四天取的长度是这根木棒的 　　。
【思路点拨】第一天取，剩下（1﹣）；第二天取（1﹣）的；剩下﹣（1﹣）×；第三天取﹣（1﹣）×的，剩下[﹣（1﹣）×]×（1﹣）；用这个结果乘即可。
【规范解答】解：[﹣（1﹣）×]×（1﹣）×
＝[﹣]×
＝×
＝
答：四天取的长度是这根木棒的。
故答案为：。
【考点评析】本题考查了利用分数乘法解决问题，需熟练分析数量关系，正确列式解答。
9．（2022•宝应县）有三堆围棋子，每堆有60枚。第一堆25%是白子，第二堆的黑子与第三堆的白子同样多。这三堆棋子中一共有 　75　枚白子。
【思路点拨】首先把每堆棋子的总量看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用每堆棋子的总量乘25%，求出第一堆有白子多少枚；然后根据第二堆黑子与第三堆的白子同样多，可得第二堆和第三堆的白子的总量等于第二堆棋子的总量，所以第二堆和第三堆的白子一共有60枚，据此求出这三堆棋子一共有白子多少枚即可。
【规范解答】解：60×25%+60
＝15+60
＝75（枚）
答：这三堆棋子中一共有 115枚白子。
故答案为：75。
【考点评析】解答此题的关键是判断出：第二堆和第三堆的白子一共有60枚。
10．（2021•重庆）阿奇到商店买糖，巧克力糖13元 一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，每种糖分开付款且金额均为整数，最后他共花了360元，且每种糖都买了。则阿奇共买了 　12　包奶糖。
【思路点拨】设购买巧克力糖a包，奶糖b包，水果糖c包，酥糖d包，则13a+17b+7.8c+10.4d＝360.其中a、b.c、d均为自然数，且c、d为5的倍数：设c＝5m，d＝5n，则13a+176+39m+52n＝360，即13 （ a+b+3m+4n）+4b＝360，然后根据等式，分析求出各种糖的数量即可。
【规范解答】解：设购买巧克力糖a包，奶糖b包，水果糖c包，酥糖d包，
则13a+17b+7.8c+10.4d＝360，
其中a、b、c、d均为自然数，且c、d为5的倍数；
设c＝5m，d＝5n，
则13a+17b+39m+52n＝360
即13 （a+b+3m+4n）+4b＝360
所以a+b+3m+4n＝24，4b＝48
解得a＝1，b＝12，m＝l，n＝2
即a＝1，b＝12，c＝5，d＝10，
所以巧克力糖1包，奶糖12包，水果塘5包，酥糖10包。
答：阿奇共买了12包奶糖。
【考点评析】此题主要考查了不定方程的分析求解，解答此题的关键是设购买巧克力糖a包，奶糖b包，水果糖c包，酥糖d包，分析判断出13（a+b+3m+4n）+4b＝360。
11．（2015•博白县模拟）李村小学四、五、六年级的学生共植树765棵，其中四年级植的是五年级的，五年级植的是六年级的．请问：四年级植树　180　棵，五年级植树　225　棵，六年级植树　360　棵．
【思路点拨】将五年级植的棵数当作单位“1”，四年级植的是五年级的，五年级植的是六年级的，即六年级植的是五年级的，则四、五、六年级植的棵数比是：1：＝4：5：8，所以四年植的是总棵数的，要根据分数乘法的意义，四年级植了765×棵，同理求出五年级植了多少棵，然后用减法求出六年级植了多少棵．
【规范解答】解：五年级植的是六年级的，则六年级是五年级的．
四、五、六年级植的棵数比是：
：1：＝4：5：8
765×＝180（棵）
765×＝225（棵）
765﹣180﹣225＝360（棵）
答：四年级植树 180棵，五年级植树 225棵，六年级植树 360棵．
故答案为：180、225、360．
【考点评析】首先根据已知条件求出三个年级植的棵数比是完成本题的关键．
三．判断题
12．（2022•德城区模拟）有20千克香蕉，第二天吃了总数的，第二天吃了余下部分的，这时香蕉全部吃完了．　×　．（判断对错）
【思路点拨】把香蕉总重量看作单位“1”，第一天吃了总数的，剩余的分率为1﹣，根据第二天吃了余下的，则第二天吃的分率为（1﹣）×，运用加法求出两天吃的分率，如果两天吃的分率为1，这时苹果全部吃完，如果两天吃的分率不为1，这时苹果没吃完．
【规范解答】解：+（1﹣）×
＝+×
＝+
＝
因为＜1，所以这时香蕉没吃完．
故答案为：×．
【考点评析】本题主要考查学生运用分数乘法意义解决问题的能力，注意单位“1”的变化．
13．（2022•番禺区）在含盐25%的盐水中，加入5克盐和15克水，这时含盐率仍然是25%…　√　．（判断对错）
【思路点拨】根据含盐率＝盐的重量÷盐水的重量×100%，求出加入盐水的含盐率，再同25%进行比较．据此解答．
【规范解答】解：5÷（5+15）×100%，
＝5÷20×100%，
＝25%；
25%＝25%，
所以含盐率还是25%．
故答案为：√．
【考点评析】本题的关键是根据含盐率的公式求出加入盐水的含盐率，再通过比较进行解答．
14．（2022•罗山县）把10克食盐放入100克水中，几天后蒸发后的盐水只有80克，盐水的浓度降低了．　×　（判断对错）
【思路点拨】把10克食盐放入100克水中，原来盐水的含盐率为：10÷（10+100），几天后，蒸发后的盐水只80克，而盐还有10克盐，含盐率为：10÷80；进而比较，得出结论．
【规范解答】解：×100%
≈9.1%；
×100%＝12.5%；
因为9.1%＜12.5%，所以盐水的浓度增高了；
故答案为：×．
【考点评析】解答此题应根据含盐率的计算公式进行解答，分别计算出原来盐水的含盐率和后来盐水的含盐率，继而进行比较，得出结论．
四．应用题
15．（2022•建阳区）2023年4月23日是第27个世界读书日，百草园书店的图书在当天全部打八折出售。妙想买了一套《大峡谷》比原价少花28.2元，这套书的原价是多少元？（先画图表示数量关系，再解答）
【思路点拨】将原价看作单位“1”，用28.2元除以（1﹣80%），即可求出原价。
【规范解答】解：

八折＝80%
28.2÷（1﹣80%）
＝28.2÷20%
＝141（元）
答：这套书的原价是141元。
【考点评析】已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数，用除法计算。
16．（2022•武宁县）一根80米长的绳子，第一次用去了全长的25%，第二次比第一次多用了15米，还剩多少米没有用？
【思路点拨】将全长当作单位“1”，第一次用了全长的25%，根据分数乘法的意义，第一次用了（80×25%）米，第二次比第一次多用了15米，第二次用去（80×25%+15）米，然后用全长减去这两次用的，即得还剩多少米没用。
【规范解答】解：第一次用了：80×25%＝20（米）
第二次用去了：20+15＝35（米）
80﹣20﹣35
＝60﹣35
＝25（米）
答：还剩25米没有用。
【考点评析】首先根据已知条件求出第一次用去的是完成本题的关键。
17．（2022•铜梁区）甲乙两港相距400km，艘轮船从甲港开到乙港，第一天行驶了全程的，第二天行驶的路程是第一天的，两天后轮船距离乙港还有多少千米？
【思路点拨】先将甲乙两港的距离看作单位“1”，用400千米乘，求出第一天行驶的路程；再将第一天行驶的路程看作单位“1”，用第一天行驶的路程乘，求出第二天行驶的路程；最后用400千米减去两条行驶的路程，即可求出两天后轮船距离乙港还有多少千米。
【规范解答】解：400×＝160（千米）
160×＝120（千米）
400﹣160﹣120
＝240﹣120
＝120（千米）
答：两天后轮船距离乙港还有120千米。
【考点评析】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。
18．（2022•彭水县）书店以每本30元的价格买进了250本图书。销售时，先以每本35元的定价卖了150本，其余的按定价的八折全部卖完。这个商店赚了（或亏了）多少元？
【思路点拨】根据总价＝单价×数量，先用35元乘150，求出按定价卖得的钱数；再用（35×80%）乘（250﹣150），求出按定价的八折卖得的钱数；将两部分卖得的钱数相加，再与（30×250）元比较后求差即可。
【规范解答】解：35×150+（35×80%）×（250﹣150）
＝5250+2800
＝8050（元）
30×250＝7500（元）
8050﹣7500＝550（元）
答：商店赚了550元。
【考点评析】解答本题需明确进价、定价和折扣价的意义，熟练掌握单价、数量和总价之间的关系。
19．（2022•西安）某校六年级举行语文和数学竞赛，参加竞赛的人数占全年级总人数的20%，参加语文竞赛的人数占竞赛总人数的，参加数学竞赛的人数占竞赛总人数的，两项竞赛都参加的有14人，该校六年级共有多少名学生？
【思路点拨】先用（+﹣1）求出两项竞赛都参加的14人占参加竞赛人数的分率，再用14除以这个分率求出参加竞赛的人数，最后用参加竞赛的人数除以20%就是六年级学生总数。
【规范解答】解：14÷（+﹣1）
＝14÷
＝60（名）
60÷20%＝300（名）
答：该校六年级共有300名学生。
【考点评析】本题考查了利用分数及百分数的混合运算解决问题，关键是求出14人占参加竞赛学生的分率。
20．（2022•重庆模拟）某超市用7200元购进某种进口食品销售，由于销售良好，过了一段时间，超市又用14800元购进这款进口食品，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每件价格比第一次购进贵了2元。
（1）求该超市第一次购进这款进口食品多少件？
（2）设该超市两次所购买的进口食品按相同的标价销售，最后剩下的80件进口食品按标价的六折再销售，若两次购进的进口食品全部售完，且使利润不低于4800元，则每件进口食品的标价至少是多少元？
【思路点拨】（1）设该超市第一次购进这款进口食品x件，则第二次购进这款食品2x件，根据两次够得的单价差值为2元，据此列出方程式，解答即可。
（2）设每件进口食品的标价为y元，根据利润不低于4800元列出方程式，并解答即可。
【规范解答】解：（1）设该超市第一次购进这款进口食品x件，则第二次购进这款食品为2x件。
﹣＝2
x＝100
答：该超市第一次购进这款进口食品100件。
（2）设每件进口食品的标胶为y元。
（100﹣200﹣80）y+80×60%y﹣7200﹣14800≥4800
y≥100
答：每件进口食品的标价至少是100元。
【考点评析】本题的解答关键，找出等量关系，列出方程式即可。
21．（2022•化州市）李奶奶最近学会了微信支付，昨天去菜场买一个土豆时，就用微信付了款，因为有一位小数，李奶奶没看清，漏输了小数点，结果多付了钱，及时发现后，老板经过核对，就将多收的21.6元退给了李奶奶。买这个土豆应该付多少钱？
【思路点拨】应付的钱数是一位小数，李奶奶没看清，漏输了小数点，则表示这个小数扩大了10倍，漏输后的数比原来的小数多了10﹣1＝9倍，多了9倍就多21.6元，所以用21.6元除以9即可求出原来的一位小数。
【规范解答】解：21.6÷（10﹣1）
＝21.6÷9
＝2.4（元）
答：买这个土豆应该付2.4元。
【考点评析】本题考查了根据小数点位置移动引起小数大小变化的规律。
22．（2022•黄岩区）学校有一笔资金，如果全部用来购买单人课桌，可以买60张；如果全部用来购买椅子，可以买240把。现在学校打算用这笔资金买若干套课桌椅，最多可以买几套？
【思路点拨】把一笔资金看作单位“1”，根据总价÷数量＝单价，所以用单位“1”分别除以课桌和椅子的数量，求出各自的单价，再根据总价÷单价＝数量，用单位“1”除以课桌和椅子的单价和即可解答。
【规范解答】解：1÷（）
＝1÷
＝48（套）
答：最多可以买48套。
【考点评析】此题主要考查了总价问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：总价÷数量＝单价，总价÷单价＝数量。
23．（2022•昭通模拟）一份稿件，李明每小时打这份稿件的，张红单独打完这份稿件需要4小时．如果两人合打这份稿件，几小时能完成？
【思路点拨】首先根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以张红单独打完这份稿件需要的时间，求出张红的工作效率是多少；然后用1除以两人的工作效率之和，求出如果两人合打这份稿件，几小时能完成即可．
【规范解答】解：1÷（+）
＝1÷
＝2.4（小时）
答：2.4小时能完成．
【考点评析】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率，解答此题的关键是求出两人的工作效率之和是多少．
24．（2023•海淀区模拟）每千克梨的价格是4.8元，比每千克苹果便宜1.6元，买3.6千克的苹果需要付多少元？（得数保留一位小数）
【思路点拨】先用（4.8+1.6）计算出每千克苹果的价格，再用每千克苹果的价格乘上苹果的数量3.6千克，即可得解．
【规范解答】解：（4.8+1.6）×3.6
＝6.4×3.6
≈23.0（元）
答：买3.6千克的苹果需要付23.0元．
【考点评析】此题主要考查单价、数量和总价之间的关系，关键是先计算出每千克苹果的价格．
25．（2022•洪泽区）甲、乙、丙三人一起参加长跑比赛，当甲跑完全程的75%时，乙才到达全程的处。这时，丙恰好跑到甲、乙两人之间的中点处，并且离终点还有875米。求这次长跑的全程是多少米？
【思路点拨】先用75%减去求出甲比乙多跑了全程的几分之几，再除以2求出甲、乙两人之间距离的一半占全程的分率，用这个分率加上（1﹣75%）就是875米占全程的分率。据此列式解答。
【规范解答】（75%﹣）÷2
＝÷2
＝
875÷（1﹣75%+）
＝875÷
＝3000（米）
答：这次长跑的全程是3000米。
【考点评析】本题考查了利用分数混合运算解决问题，解答本题的关键是分析出875米占全程的分率。
26．（2022•南海区）某市目前的居民用电价格是每度0.6元。为了缓解高峰时段用电紧张，鼓励市民免费安装分时电表实行峰谷电价。峰谷电价收费标准如表：
时段
峰时（8：00﹣21：00）
谷时（21：00﹣次日8：00）
每度电价（元）
0.65
0.35
张阿姨家一个月大约用电120度，其中峰时用电量和谷时用电量的比是3：1，请你通过计算说明，张阿姨家安装分时电表是否合算？
【思路点拨】由题意可知，如果不使用峰谷电表，张阿姨家一个月的电费总额是0.6×120，计算即可；
安装分时电表后，电费分两部分，一部分是峰时用电的电费，一部分是谷时用电的电费，这两部分的电费应分别计算，根据谷时用电是峰时用电量的3：1，可求出峰时用电和谷时用电的电量，再根据各自的电价求出即可，然后比较这部分的大小，即可推出张阿姨家安装分时电表是否合算。
【规范解答】解：安装分时电表前：0.6×120＝72（元）
安装分时电表后：
峰时用电：120×＝90（千瓦/时）
90×0.65＝58.8（元）
谷时用电：120×＝30（千瓦/时）
30×0.35＝10.5（元）
共交电费：58.5+10.5＝69（元）
69元＜72元
答：张阿姨家安装分时电表合算。
【考点评析】解答此题需要分情况探讨，明确题目中所给数量属于哪一种情况，由此选择正确的解题方法。此题考查了学生分析判断能力。