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    2023年小升初数学举一反三重难点培优讲义 专题22《图形与位置》

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    2023年小升初数学举一反三重难点培优讲义 专题22《图形与位置》

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    这是一份2023年小升初数学举一反三重难点培优讲义 专题22《图形与位置》,文件包含专题22《图形与位置》2022-2023学年小升初数学举一反三重难点培优讲义解析全国通用docx、专题22《图形与位置》2022-2023学年小升初数学举一反三重难点培优讲义原卷全国通用docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共55页, 欢迎下载使用。
    2022-2023学年小升初数学举一反三重难点培优讲义
    专题22 图形与位置



    知识点一:用数对确定位置
    1.根据行列用数对来表示物体的位置
    2.竖为列,横为行。确定第几列一般从左往右数,确定第几行一般从下往上数
    3.用数对表示物体位置时,先表示列,再表示行,表示形式为(列数,行数)
    知识点二:根据方向和距离确定位置
    1.认识方向:要明确方向包括上、下、前、后、左、右、东、南、西、北、东北、东南、西南、西北等。
    2.理解方向和距离两个条件对确定位置的作用,并能根据方向和距离确定物体的位置。当两个物体从自己的位置观察对方的时候,其方向是相对的。
    3.观察方向:根据方向和距离确定位置,要明确四要素:观测点、方向、偏向角度的度数和距离。
    知识点三:简单的路线图
    1.看懂并描述路线图:(1)弄清方向;(2)根据给出的比例尺求出实际距离;(3)弄清按什么方向走及走多远。
    2.画出路线图:
    (1)确定方向;(2)根据实际距离和图纸的大小确定比例尺;(3)求出图上距离;(4)以某一点为起点,根据方向和图上距离确定下一地点的位置,再以下一地点为起点继续画。

    高频考点01:方向
    【典例精讲01】(2022•郓城县)张伟同学先向东偏北45°的方向走了50m,又向南偏东45°的方向走了50m,他现在的位置在起点的(  )方向。
    A.正东 B.正北 C.东北 D.东南
    【思路点拨】根据上北下南、左西右东画图,再判断即可。
    【规范解答】解:如图:

    张伟同学先向东偏北45°的方向走了50m,又向南偏东45°的方向走了50m,他现在的位置在起点的正东方向。
    故选:A。
    【考点评析】本题主要考查了方向,解题的关键是根据上北下南、左西右东判断方向。
    【举一反三01】(2021•城阳区)如图,关于少年宫的位置,描述不正确的是(  )

    A.少年宫的位置用数对表示为(4,5)
    B.少年宫在学校北偏东30°方向
    C.少年宫在小红家的北面
    【思路点拨】数对的第一个数字表示列数,第二个数表示行数;根据上北下南、左西右东判断方向即可。
    【规范解答】解:A.根据数对的表示方法可得:少年宫的位置用数对表示为(4,5),所以本选项正确;
    B.根据方向的判断方法可得:少年宫在学校东偏北30°方向或北偏东60°方向上,所以本选项不正确;
    C.根据方向的判断方法可得:少年宫在小红家的北面,所以本选项正确;
    故选:B。
    【考点评析】本题主要考查方向和数对的应用。
    【举一反三02】(2018•南京)如图是方方以自己家为观测点,画出的一张平面图.

    (1)商场在方方家 东 方向 800 米处.
    (2)学校在方方家 北 偏 西  30 度方向 400 米处.
    (3)书店在方方家北偏东45°方向600米处,请在图中表示出来.
    【思路点拨】(1)图上量出商场到方方家距离为4厘米,则实际距离为:4×200=800(米);根据“上北下南,左西右东”即可描述出商场的位置.
    (2)图上量出学校到方方家距离为2厘米,则实际距离为:2×200=400(米);根据“上北下南,左西右东”即可描述出学校的位置.
    (3)600÷200=3(厘米),即图上书店到方方家3厘米,再根据“上北下南,左西右东”即可描述出书店的位置.
    【规范解答】解:(1)图上量出商场到方方家距离为4厘米,则实际距离为:4×200=800(米);
    商场在方方家东方向800米处.
    (2)图上量出学校到方方家距离为2厘米,则实际距离为:2×200=400(米);
    学校在方方家北偏西30度方向400米处.
    (3)600÷200=3(厘米),即图上书店到方方家3厘米;
    故答案为:东,800;北,西,30,400.

    【考点评析】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系,以及以及方向(角度)和距离判定物体位置的方法.
    【举一反三03】(2022•孟津县)某小学的图书馆在操场的北面,厕所和教学楼之间。它所在的建筑是(  )。

    A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
    【思路点拨】依据图上标注的各种信息,以及地图上的方向辨别方法“上北下南,左西右东”,解答即可。
    【规范解答】解:图书馆在操场的北面,厕所和教学楼之间。它所在的建筑是丁。
    故选:D。
    【考点评析】此题主要考查依据方向判定物体位置的方法,关键是弄清楚地图上的方向规定。
    高频考点02:位置
    【典例精讲02】(2022•黄岩区)如图,有一张方格纸,每个方格的边长是1cm,上面堆叠着棱长为1cm的小正方体,小正方体A的位置用(1,1,1)表示,小正方体B的位置用(7,4,3)表示,则小正方体C的位置用(  )示。

    A.(3,9,9) B.(9,3,5) C.(3,9,5) D.(9,3,9)
    【思路点拨】根据题意可知,第一个数表示所在的列,第二个数字表示所在的行,第三个数字表示小正方体的层数。由此表示C的位置即可。
    【规范解答】解:小正方体C的位置可以表示成(3,9,5)。
    故选:C。
    【考点评析】解答本题关键是明确数对表示的意义,并灵活应用。
    【举一反三04】(2023•硚口区模拟)为了增加居民的活动空间,某小区准备新建一个口袋公园。如图1是口袋公园的平面设计图,其中空白部分是活动区域(是完全相同的扇形),阴影部分为绿植区域。
    (1)以正方形中心O为观测点,A在正  北 方向上,距离是  10 米;B在  北 偏(  东 , 45 )°方向上。
    (2)绿植区域共有  4 条对称轴,它的面积是  86 m2。
    (3)在保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下,还可以有不同的设计方案。请在图2正方形中用圆规画出新的设计图,并将绿植区域涂上阴影。

    【思路点拨】(1)根据图上确定方向的方法:上北下南,左西右东,结合图示确定各点的位置;以正方形的中心点为观测点,A点在正北方向,距离为正方形边长的一半,即(20÷2)米,根据正方形的特点,B点在东偏北45°方向上;
    (2)绿植部分的面积等于正方形面积减掉以20米为直径的圆的面积,利用正方形面积公式S=a2及圆的面积公式S=πr2,计算其面积即可;根据图形的特点可知,它有4条对称轴;
    (3)根据图形的特点,设计在正方形中去掉一个以正方形边长为直径的圆,作为绿植区域即可。
    【规范解答】解:(1)20÷2=10(米)
    答:以正方形中心O为观测点,A在正北方向上,距离是10米;B在北偏东偏45度方向上。
    (2)20×20﹣3.14×(20÷2)2
    =400﹣314
    =86(平方米)
    答:绿植区域共有4条对称轴,它的面积是86平方米。
    (3)如图:

    故答案为:北,10,东偏北,45;4,86。
    【考点评析】本题考查了位置与方向、图形对称轴条数的确定、求组合图形的面积及平面图形的设计,需熟练掌握各个知识点。
    【举一反三05】(2023•樊城区模拟)如图是某市的局部平面图,看图完成以下问题.
    (1)电信局到市政府的距离是 1000 米.
    (2)诚信路与建设路垂直,与东风路相距750米,请你在图上画出来.
    (3)人民医院在市政府北偏东30°、1.5千米的位置上,请你在图上用☆号标出来.

    【思路点拨】(1)根据地图上的方向,上北下南,左西右东,以市政府的位置为观测点,量出电信局到市政府的图上距离,根据图中所标注的比例尺,即可求出电信局到市政府的实际距离.
    (2)市政府在建设路,同理,以市政府为观测点即可确定诚信路的方向,根据诚信路与市政府的实际距离及图上所标注的比例尺即可求出诚信路与市政府的图上距离的点,过这点作建设路所在直线的平行线,诚信路就在这一直线上.
    (3)同理,以市政府为观测点即可确定人民医院的方向,根据人民医院与市政府的实际距离及图上所标注的比例尺即可求出诚信路与市政府的图上距离,从面画出医院的位置.
    【规范解答】解:(1)量得电信局到市政府的图上距离是2厘米
    2×500=1000(米)
    答:电信局到市政府的距离是1000米.

    (2)750÷500=1.5(厘米)
    即诚信路与建设路垂直,与东风路相距图上距离1.5厘米处,在图上画出来(如下图):

    (3)1.5千米=1500米
    1500÷500=3(厘米)
    即民医院在市政府北偏东30°、图上距离3厘米的位置上,在图上用☆号标出来(如下图).

    故答案为:1000.
    【考点评析】此题考查了利用方向与距离在平面图中确定物体位置的方法以及线段比例尺的灵活应用.
    【举一反三06】(2022•潍城区)如图是超市周边平面图。
    (1)我发现,宾馆在超市的  北 偏 西  30 °方向, 1500 米处。
    (2)从宾馆到东风街要铺一条排水管道,怎样铺距离最近?请在图中完整地画出来。你这样画的理由是  直线外一点与这条直线所有点的连线中,垂线段最短 。

    【思路点拨】(1)方向和距离确定物体的位置,根据图例可知宾馆在超市的北偏西30°方向,500×3=1500(米)处。
    (2)根据直线外一点与这条直线所有点的连线中,垂线段最短,作图解答即可。
    【规范解答】解:(1)500×3=1500(米)
    答:宾馆在超市的北偏西30°方向,1500米处。
    (2)从宾馆到东风街要铺一条排水管道,距离最近,作图如下:

    这样画的理由是:直线外一点与这条直线所有点的连线中,垂线段最短。
    故答案为:北,西,30,1500;直线外一点与这条直线所有点的连线中,垂线段最短。

    【考点评析】此题主要考查了方向与位置知识以及直线外一点与这条直线所有点的连线中,垂线段最短及方向与位置知识,结合题意分析解答即可。
    高频考点03:比例尺
    【典例精讲03】(2022•永济市)关于比例尺1:50000,下列说法不正确的是(  )
    A.图上距离是实际距离的
    B.图上1厘米的线段表示实际距离50000千米
    C.把实际距离缩小到它的画在图纸上
    【思路点拨】选项A:比例尺1:50000表示图上1厘米表示实际距离50000厘米,所以图上距离是实际距离的,所以选项A说法正确;
    选项B:由上面选项A的分析可知,比例尺1:50000表示图上1厘米表示实际距离50000厘米,所以题干中说表示50000千米是错误的,所以选项B说法错误;
    选项C:根据比例尺的意义,比例尺1:50000表示图上1厘米表示实际距离50000厘米,即把实际距离50000厘米画在图纸上画1厘米即可,所以也就是把实际距离缩小到它的画在图纸上,所以选项C说法正确。据此判断即可解答。
    【规范解答】解:由分析可得,选项A和C的说法都正确,只有选项B的说法错误。
    故选:B。
    【考点评析】本题考查了比例尺的意义的掌握情况。
    【举一反三07】(2022•安顺)把线段比例尺改成数值比例尺是  1:20000000 ,在这样一幅比例尺的地图上,量得关岭县到成都市的距离是2.6cm,关岭县到成都市的实际距离是  520 km。

    【思路点拨】图上距离1厘米表示实际距离220千米,依据比例尺的意义,即比例尺=图上距离:实际距离,即可求出其数值比例尺;依据“实际距离=图上距离÷比例尺”即可求出两地的实际距离。
    【规范解答】解:200千米=20000000厘米
    1厘米:20000000厘米=1:20000000
    2.6÷=52000000(厘米)
    52000000厘米=520千米
    答:关岭县到成都市的实际距离是 520千米。
    故答案为:1:20000000,520。
    【考点评析】此题主要考查比例尺的意义,以及图上距离、实际距离和比例尺的关系,解答时要注意单位的换算。
    【举一反三08】(2023•原阳县模拟)一幅比例尺为1:60000000的地图上量得甲乙两地距离是12厘米,甲车每小时行70千米,乙车每小时行50千米,几小时两车可以相遇?
    【思路点拨】根据图上距离÷比例尺=实际距离,列式求得甲乙两地的实际距离,再根据路程÷速度和=相遇时间,列式解答即可.
    【规范解答】解:12÷=720000000(厘米)
    720000000厘米=7200千米
    7200÷(50+70)
    =7200÷120
    =60(小时)
    答:60小时后相遇.
    【考点评析】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者之间的数量关系及速度,路程与时间的数量关系.
    【举一反三09】(2022•大同)在比例尺是1:6000000的地图上,量得两地间的距离是6厘米,甲乙两辆汽车同时从两地相向开出,3小时后相遇,已知甲乙两车的速度比是7:5,求甲乙两车的速度是多少?
    【思路点拨】图上距离和比例尺已知,依据“实际距离=图上距离÷比例尺”即可求出甲乙两地的实际距离,再据“速度和=路程÷相遇时间”即可求出二者的速度和,二者的速度比已知,利用按比例分配的方法就能求出各自的速度.
    【规范解答】解:6÷=36000000(厘米)=360(千米);
    360÷3=120(千米/小时);
    120×=70(千米/小时),
    120﹣70=50(千米/小时);
    答:甲车的速度是70千米/小时,乙车的速度是50千米/小时.
    【考点评析】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺之间的关系,以及相遇问题中的基本数量关系“速度和=路程÷相遇时间”的灵活应用.
    高频考点04:路线图
    【典例精讲04】(2021•梓潼县)如图是一张机器人的行走路线图.
    (1)机器人从出发站出发,向  北 偏  西  35 °方向,行走了  25 m到达A站.
    (2)从A站出发如何走可以到达B站?
    (3)机器人最终的目的地是C站.C站位于B站南偏东25°方向,距离B站15m的位置上,请你在图上标出C站的位置.

    【思路点拨】(1)根据地图上的方向:上北下南,左西右东,以出发站的位置为观测点,即可确定A站位置的方向,根据A站与出发站的图上距离及图中所标注的线段比例尺即可求出A站与出发站的实际距离距离.
    (2)同理,以A站的位置为观测点,即可确定B站位置的方向,根据A站与B站的图上距离及图中所标注的线段比例尺即可求出A站与B站的实际距离距离.
    (3)同理,以B站的位置为观测点,即可确定C位置的方向,根据C站与B站的实际距离及图中所标注的线段比例尺即可求出C站与B站的实际图上距离,从而画出C站的位置.
    【规范解答】解:(1)5×5=25(m)
    答:机器人从出发站出发,向北西35°方向,行走了25m到达A站.

    (2)5×5=25(m)
    答:机器人A出发站出发,向东偏30°方向,行走了25m到达B站.

    (3)15÷5=3(cm)
    即C站位于B站南偏东25°方向,与B站的图上距离是3cm,在图上标出C站的位置如下:

    故答案为:北,西,35,25.
    【考点评析】此题考查路线图,关键是利用方向与距离在平面图中确定物体位置的方法以及线段比例尺的灵活应用.
    【举一反三10】(2020•青羊区)下面是小明家位置图,按要求回答:(需要时可用直尺.)

    (1)奶奶生病了,请你用文字描述奶奶从小明家去医院看病所走的线路.
    (2)看完病,奶奶有点饿了,想在医院的正西方向距医院200米的饭店就餐,请在图中用☆标出饭店的位置并写出计算过程.
    【思路点拨】(1)根据图例从方向和距离两个方面可描述奶奶从小明家去医院的线路,
    (2)根据图上距离=实际距离×比例尺,求出饭店到医院的图上距离,然后根据方向画出位置.据此解答.
    【规范解答】解:(1)奶奶从小明家向西走100米到邮局,再从邮票向西偏北45°走100米到商场,然后从商场向西走100米到医院.
    (2)200米=20000厘米,
    20000×=2(厘米).
    画图如下:

    【考点评析】本题主要考查了学生根据方向和距离描述问题和画图的能力.
    【举一反三11】2022•大埔县)如图,公共汽车从火车站出发。向东行驶  2 km到达医院,再向北偏  东 50°方向行驶  3 km到达新华书店。然后向东行驶1.6km到达中心广场,再向南偏东55°方向行驶2.4km到达公园,最后向  北 偏东30°方向行驶2.6km到达体育馆。

    【思路点拨】首先确定图上方向,依据图上标注的各种信息,以及地图上的方向辨别方法“上北下南,左西右东”就可以直接填写答案。
    【规范解答】解:公共汽车从火车站出发。向东行驶 2km到达医院,再向北偏 东50°方向行驶 3km到达新华书店。然后向东行驶1.6km到达中心广场,再向南偏东55°方向行驶2.4km到达公园,最后向 北偏东30°方向行驶2.6km到达体育馆。
    故答案为:2,东,3,北。
    【考点评析】此是考查路线图,即根据方向和距离确定物体的位置,根据方向和距离确定物体的位置关系是观测点位置的确定,同一物体,所选的观测点不同,方向、距离也会改变。
    【举一反三12】(2017秋•淮安期末)如图表示一段公路,如果从A、B两点各修一条小路与公路连通,要使两条小路最短,怎样修?请在图中画出来.

    【思路点拨】因为直线外一点与这条直线所有点的连线中,垂线段最短,所以,只要分别作出A、B两点到公路的垂线段即可.
    【规范解答】解:如图所示,只要分别作出A、B两点到公路的垂线段,这两条小路就最短;

    【考点评析】此题主要考查直线外一点与这条直线所有点的连线中,垂线段最短

    一.选择题
    1.(2022•郴州)明明坐在第4行第3列,用(3,4)表示。王芳坐在第5行第1列,可表示(  )
    A.(4,5) B.(5,1) C.(1,5)
    【思路点拨】根据利用数对表示万人位置的方法,用数对表示物体的位置时,列数在前,行数在后,据此解答。
    【规范解答】解:明明坐在第4行第3列,用(3,4)表示。王芳坐在第5行第1列,可表示为(1,5)。
    故选:C。
    【考点评析】此题考查的目的是理解掌握利用数对表示物体位置的方法及应用,关键是明确:用数对表示物体的位置时,列数在前,行数在后。
    2.(2022•甘井子区)从向北偏东30°方行了800米的地,原路要向(  )
    A.北偏东30°方行了800米 B.南偏西60°方行了800米
    C.北偏西30°方行了800米 D.南偏西30°方行了800米
    【思路点拨】根据位置的相对性:两地相互之间的方向相反,角度不变,距离相等,据此解答。
    【规范解答】解:从向北偏东30°方行了800米的地,原路要向南偏西30°方行了800米。
    故选:D。
    【考点评析】本题主要考查了学生对位置相对性知识的掌握情况。
    3.(2022•阳泉)下列说法错误的是(  )
    A.若A点在B点的北偏西30°方向,则B点在A点的南偏东60°方向
    B.某小组男生人数占总人数的25%,则女生人数与男生人数的比是3:1
    C.一个比例的两个外项互为倒数,那么两个内项也一定互为倒数
    D.如果圆柱的底面周长和高都是5dm,那么它的侧面沿高展开后一定是正方形
    【思路点拨】A.根据位置的相对性可知,它们的方向相反,角度相等;
    B.假设总人数是100人,用“总人数×25%”求出男生人数,100﹣男生人数=女生人数,进而求出它们的比;
    C.比例的性质:在比例中,两个外项的积等于两个内项的积,这叫做比例的基本性质;两个数互为倒数,它们的乘积为1;
    D.圆柱的侧面沿高展开后是长方形,长=底面周长,宽=圆柱的高。
    【规范解答】解:A.根据位置的相对性可知,若A点在B点的北偏西30°方向,则B点在A点的南偏东30°方向;原说法错误;
    B.假设总人数100人,男生人数:100×25%=25人,则女生人数:100﹣25=75人,则女生人数与男生人数的比是75:25=3:1;原说法正确;
    C.一个比例的两个外项互为倒数,那么外项之积为1,根据比例的基本性质,内项之积也为1,所以两个内项也一定互为倒数;原说法正确;
    D.圆柱的侧面沿高展开后一般是长方形,长=底面周长,宽=圆柱的高,底面周长和高都是5dm,那么这个长方形的长和宽都是5dm,所以是正方形;原说法正确。
    故选:A。
    【考点评析】此题需要学生掌握位置与方向、比与比例的意义,比例的基本性质,圆柱的侧面展开图等。
    4.(2022•朝阳区模拟)小梅、小亮想用图来表示他们两家的位置。如果小梅家的位置用点(3,2)表示,那么小亮家的位置就应该用点(6,4)表示。在下面4幅图中,能正确表示出小梅家和小亮家位置的是(  )
    A.
    B.
    C.
    D.
    【思路点拨】根据利用数对表示物体位置的方法,用数对表示物体的位置时,列数在前,行数在后。据此解答即可。
    【规范解答】解:小梅家的位置用点(3,2)表示,也就是小梅家的位置在第3列,第2行;小亮家的位置就应该用点(6,4)表示,也就是小亮家的位置在第6列,第4行。
    首先排除图C、图D,因为图C中两家的位置在同一列,图D中两家的位置在同一行,都不符合题意;再排除图B,因为图B中小亮家的位置所在的行数不对;只有图A能正确表示出小梅家和小亮家位置。
    故选:A。
    【考点评析】此题考查的目的是理解掌握利用数对表示物体位置的方法及应用,关键是明确:用数对表示物体的位置时,列数在前,行数在后。
    5.(2019•平度市)选择合适的数对表示右下角点的位置,正确的是(  )

    A.(6,8) B.(6,13) C.(8,7) D.(8,6)
    【思路点拨】数对的前一个数表示列,后一个数表示行,而右下角的点与右上角的点处在同一列,与左下角的点处在同一行。于是确定表示点的数对。
    【规范解答】解:右下角点的位置可用数对(8,7)表示。
    故选:C。
    【考点评析】理解处在同一列的点,数对的第一个数相同,处在同一行的点,数对的第二个数相同,是解本题的关键。
    二.填空题
    6.(2022•皇姑区)奇思排在一个正方形方阵队伍中,无论从方阵的哪一面看,他的位置都能用数对(8,8)表示,这个方阵共有  225 人。
    【思路点拨】因为奇思排在一个正方形方阵队伍中,无论从方阵的哪一面看,他的位置都能用数对(8,8)表示,所以他应该在方阵的最中间位置.他的前后左右都有8人,所以这个方阵的行数和列数都是8+8﹣1=15,行数乘以列数即为总人数。据此解答即可。
    【规范解答】解:8+8﹣1=15(人)
    15×15=225(人)
    答:这个方阵共有225人。
    故答案为:225。
    【考点评析】此题考查的目的是理解掌握利用数对表示物体位置的方法及应用,关键是找出奇思所在行和列的人数,再根据奇思所在行的人数和所在列的人数与方阵的行数、列数关系。
    7.(2021•青州市)如图:轮船在灯塔的  北 偏  西50° 。方向, 50 千米处。

    【思路点拨】用方向和距离结合来描述路线时,要注意三个要素:一是观测点(即参照物),二是方向,三是距离。
    【规范解答】解:5×10=50(千米)
    所以轮船在灯塔北偏西50°方向50千米处。
    故答案为:北,西50°,50。
    【考点评析】本题考查根据方向和距离确定物体的位置,会根据位置描述方向是解本题的关键。
    8.(2021•上城区)将△ABC绕点A顺时针旋转90°,与点B对应的点我们记作B′,与点C对应的点我们记作C′。如果点A的位置用数对(5,4)表示,B点用数对(8,6)表示,那么点B′用数对表示为(  7 , 1 )那么点C′用数对表示(  5 , 0 )。

    【思路点拨】A点位置不变,先确定出B点和C点绕点A顺时针旋转90°后的点B′和C′,顺次连接得旋转后的图形AB′C′,再用数对表示出B′和C′的位置。
    【规范解答】解:

    B′(7,1),C′(5,0)。
    故答案为:7、1,5、0。
    【考点评析】此题主要考查用数对表示位置和图形的旋转,掌握作图方法是关键。
    9.(2021•舞阳县)如图所示,以小汽车为观测点,加油站在小汽车的  东 偏  北 , 30 °方向上。

    【思路点拨】根据上北下南、左西右东判断方向即可。
    【规范解答】解:以小汽车为观测点,加油站在小汽车的东偏北,30°方向上。
    故答案为:东;北;30。
    【考点评析】本题主要考查了方向,解题的关键是根据上北下南、左西右东判断方向。
    10.(2022•镇海区)如图中,点A(3,0)和点B(9,0)确定线段AB。另有一个点C,和A、B构成等腰直角三角形的三个顶点,且直角边为AB和BC。那么点C的位置用数对表示为C (9,6) ,这个三角形绕直角边BC旋转一圈后形成的图形体积为  226.08 。

    【思路点拨】根据利用数对表示物体位置的方法,用数对表示物体的位置时,列数在前,行数在后。已知点A(3,0)和点B(9,0)确定线段AB。另有一个点C,和A、B构成等腰直角三角形的三个顶点,且直角边为AB和BC。那么点C的位置用数对表示为C(9,6)。再根据圆锥的特征可知,这个三角形绕直角边BC旋转一圈后形成的图形是圆锥,这个圆锥的底面半径和高都是6,根据圆锥的体积公式:Vr2h,把数据代入公式解答。
    【规范解答】解:9﹣3=6
    所以C的位置用数对表示为C(9,6)。
    3.14×62×6
    =3.14×36×6
    =226.08
    答:这个立体图形的体积是226.08。
    故答案为:(9,6),226.08。
    【考点评析】此题考查的目的是理解掌握利用数对表示物体位置的方法及应用,圆锥的体积公式及应用,关键是熟记公式。
    11.(2022•古县)下面每个小方格的边长都表示1厘米。

    (1)把图形①绕B点顺时针旋转90°,画出旋转后的图形。旋转后,A点的位置用数对表示为  (3,5) 。
    (2)按1:2的比画出图形②缩小后的图形。缩小后图形的面积是原来的   。
    (3)在图形③中画出一个最大的圆,这个圆的面积是  12.56 平方厘米。
    【思路点拨】(1)根据旋转图形的特征,图形①绕点B顺时针旋转90°后,点B的位置不动,其余各部分均绕点B按相同的方向,旋转相同的度数,即可得到旋转后的图形;再根据用数对表示点的位置的方法,第一个数字表示列数,第二个数字表示行数,即可用数对表示出点A的位置。
    (2)根据图形放大与缩小的意义,把图②的各边缩小到原来的一半,即可画出图②按1:2缩小后的图形;根据三角形的面积公式分别求原三角形和缩小后的三角形的面积,再进行计算即可。
    (2)以正方形的边长为直径画圆,利用圆的面积公式计算即可。
    【规范解答】解:(1)如图。已知A点的位置用数对表示为(3,5)。
    (2)如图。1×2=2(平方厘米)
    2×4=8(平方厘米)
    2÷8=
    答:缩小后图形的面积是原来的。
    (3)3.14×(4÷2)2
    =3.14×4
    =12.56(平方厘米)

    故答案为:3,5;;12.56。
    【考点评析】熟练掌握旋转、缩小、数对、圆的面积计算等相关知识点是解题关键。
    三.应用题
    12.(2021•兰陵县模拟)济南到北京的距离约是400km。在比例尺是1:5000000的地图上,两地之间的长度是多少厘米?
    【思路点拨】要求两地的图上距离是多少厘米,根据“实际距离×比例尺=图上距离”,代入数值,计算即可.
    【规范解答】解:400千米=40000000厘米
    40000000×=8(厘米)
    答:两地之间的长度是8厘米。
    【考点评析】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系,进行分析解答即可得出结论。
    13.(2021•潮州)在比例尺是1:20000000的地图上,量得甲、乙两城的公路线长4.5厘米。一辆汽车从甲地开去乙地,用了12小时,平均每小时行多少千米?
    【思路点拨】根据实际距离=图上距离÷比例尺,求出两地之间的实际距离,再根据速度=路程÷时间求出从甲地到乙地速度。
    【规范解答】解:4.5÷=90000000(厘米)
    90000000厘米=900千米
    900÷12=75(千米)
    答:平均每小时行75千米。
    【考点评析】本题考查了比例尺的应用,需灵活使用比例尺、图上距离和实际距离的关系。
    14.(2019•麻城市)在比例尺是1:5000000的地图上,武汉与北京相距24cm。甲高铁从武汉出发,每小时行220千米;同时乙高铁从北京出发,相向而行,2.5小时后两车相遇。乙高铁每小时行多少千米?
    【思路点拨】先根据比例尺的意义,用图上距离÷比例尺=实际距离,代入数据求出武汉与北京两地的实际距离,然后根据两车相遇时间,实际距离﹣甲高铁行的路程=乙高铁行的路程,再根据路程÷时间=速度即可解答。
    【规范解答】解:24÷=120000000(厘米)
    120000000厘米=1200千米
    (1200﹣220×2.5)÷2.5
    =(1200﹣550)÷2.5
    =650÷2.5
    =260(千米/小时)
    答:乙高铁每小时行260千米。
    【考点评析】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系,再根据“路程、速度、时间”三者的关系,解决问题。
    15.下面是小明坐出租车去展览馆的路线图.已知出租车在3千米以内(含3千米)按起步价8元计算,以后每增加1千米车费就增加1.4元.请你按图中提供的信息算一算,小明完成这次参观一共要花多少元出租车费?

    【思路点拨】先用“4+8”求出小明从家到文化馆再到展览馆的图上距离,然后根据“图上距离÷比例尺=实际距离”,代入数值,计算出小明从家到展览馆的实际距离;用“小明从家到展览馆的实际距离﹣3”求出超过3千米的路程,根据“单价×数量=总价”求出超出3千米增加的车费,然后后根据“起步价+增加的车费=租车总费用”,由此解答即可.
    【规范解答】解:(4+8)÷
    =12×250000
    =3000000(厘米)
    3000000厘米=30千米
    8+(30﹣3)×1.4
    =8+37.8
    =45.8(元)
    答:小明完成这次参观一共要花45.8元出租车费.
    【考点评析】解答此题应根据:(1)图上距离、比例尺和实际距离三者的关系,(2)单价、数量和总价三个量之间的关系.
    16.(2020•宁津县)在比例尺是1:4000000的地图上,量得甲、乙两地相距20厘米,两列火车同时从甲、乙两地相对开出、甲车每小时行55千米,乙车每小时行45千米,几小时后相遇?
    【思路点拨】这道题是已知比例尺、图上距离,求实际距离,根据图上距离÷比例尺=实际距离列式求得实际距离,再根据“路程÷速度之和=相遇时间”,即可解答.
    【规范解答】解:20÷,
    =20×4000000,
    =80000000(厘米);
    80000000厘米=800千米;
    800÷(55+45),
    =800÷100,
    =8(小时);
    答:8小时相遇.
    【考点评析】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者之间的数量关系:比例尺=图上距离÷实际距离,灵活变形列式解决问题.
    四.操作题
    17.(2022•留坝县)按要求填一填,画一画。
    (1)点A的位置用数对(6,9)表示,点B的位置用数对(  2 , 8 )表示,点C的位置用数对(  10 , 3 )表示。
    (2)以虚线为对称轴,画出图形①的轴对称图形。
    (3)将图形①先向左平移6格,再向下平移2格。
    (4)将图形②绕点A逆时针旋转90°。
    (5)将图形③缩小,使得缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1:2。

    【思路点拨】(1)根据用数对表示物体位置的方法,数对的第一个数表示列,数对的第二个数表示行,据此表示出点B、C的数对即可。
    (2)根据轴对称图形的特点,在对称轴的右边找出左边图形的对称点,再依次连接即可。
    (3)根据平移的特征,将图形①的各顶点先向左平移6格,再向下平移2格,然后依次连接各顶点即可。
    (4)根据旋转的特征,将图形②绕点A逆时针旋转90度,点A的位置不变,其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的角度,即可画出旋转后的图形。
    (5)根据图形放大与缩小的意义,将图形③缩小,缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1:2,所以缩小后的图形的长是2、宽是1,据此画图即可。
    【规范解答】解:(1)点B的位置用数对(2,8)表示,点C的位置用数对(10,3)表示。
    (2)以虚线为对称轴,画出图形A的轴对称图形(图中红色部分)。
    (3)将图形①先向左平移6格,再向下平移2格(图中绿色部分)。
    (4)将图形②绕点A逆时针旋转90°(图中蓝色部分)。
    (5)将图形③缩小,使得缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1:2(图中紫色部分)。
    故答案为:2,8,10,3。

    【考点评析】此题考查了用数对表示物体位置的方法,画轴对称图形的方法,作平移后的图形的方法,作旋转一定角度后的图形的方法和放大与缩小的意义。
    18.(2022•殷都区)按要求填一填,画一画。(每个方格的边长为1厘米)

    (1)三角形ABC面积是  16 cm2。用数对表示三个顶点的位置分别是:A(  9,4 ),B (9,12) ,C (13,4) 
    (2)画出三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后的图形。
    (3)按1:2画出三角形ABC缩小后的图形。
    【思路点拨】(1)根据三角形的面积公式,代入数据求出面积即可。根据用数对表示物体位置的方法,数对的第一个数表示列,数对的第二个数表示行,据此表示出点A、B、C的数对即可。
    (2)根据旋转的特征,三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,点A的位置不变,其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的角度,即可画出旋转后的图形。
    (3)根据图形放大与缩小的意义,将三角形ABC缩小,缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1:2,所以缩小后的图形的高是4厘米、底是2厘米,据此画图即可。
    【规范解答】解:(1)4×8÷2=16(平方厘米)
    三角形ABC面积是16cm2。用数对表示三个顶点的位置分别是:A(9,4),B(9,12),C(13,4)。
    (2)画出三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后的图形(图中红色部分)。
    (3)按1:2画出三角形ABC缩小后的图形(图中绿色部分)。

    故答案为:16,(9,4),(9,12),(13,4)。
    【考点评析】此题考查了用数对表示物体位置的方法,作旋转一定角度后的图形的方法和放大与缩小的意义。
    19.(2022•滁州)根据要求填一填,画一画。(每个小正方形边长表示1厘米)

    (1)点A用数对表示是  (6 , 8) ,点A在点B的  东 偏  北45° 方向上。
    (2)将三角形绕点C顺时针方向旋转90°,画出旋转后的图形。旋转后点A用数对表示是  (10 , 4) 。
    (3)设计一个轴对称图形,面积与图中的三角形面积相等。
    (4)过长方形其中一条边上的某一点画一条线段,把长方形分成一个三角形和一个梯形,使它们的面积比为1:3。
    【思路点拨】(1)根据用数对表示点的位置的方法,第一个数字表示列,第二个数字表示行,即可用数对表示出点A的位置。根据平面图上方向的辨别“此北下南,左西右东”,以点A的位置为观测点,即可确定点A的方向。
    (2)根据旋转的特征,三角形ABC绕点C顺时针旋转90°,点C的位置不动,这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。根据旋转后点A所在的列、行,即可用数对表示出点A的位置。
    (3)画法不唯一。根据三角形的面积计算公式“S=ah”,长方形面积计算公式“S=ab”,画一个长与三角形底相等,高为三角高的长方形,其面积与三角形面积相等,且长方形为轴对称图形,过对边中点的直线,就是它的对称轴。
    (4)画法不唯一。根据梯形面积计算公式“S=(a+b)h”、三角形的面积计算公式“S=ah”,把长方形一组对边的长度之和平均分成(1+3)份,用除法求出1份(三角形底)的长度,再用乘法求出3份(梯形上、下底之和)的长度,由三角形与梯形等,三角形面积与梯形的面积之比是1:3。
    【规范解答】解:(1)点A用数对表示是(6,8),点A在点B的东偏 北45°方向上。
    (2)将三角形绕点C顺时针方向旋转90°,画出旋转后的图形(图蓝色部分)。旋转后点A用数对表示是(10,4)。
    (3)设计一个轴对称图形,面积与图的三角形面积相等(图红色部分,画法不唯一)。
    (4)过长方形其中一条边上的某一点画一条线段,把长方形分成一个三角形和一个梯形,使它们的面积比为1:3(图红色线段)。

    故答案为:(6,8),东,北45°;(10,4)。
    【考点评析】此题考查的知识点:数对与位置、根据方向确定物体的位置、作旋转一定度数后的图形、轴对称图形的特征、三角形面积的计算、梯形面积的计算等。
    20.(2022•即墨区)动手操作。
    (1)把如图中A点用数对表示是(  3 , 6 ),B点用数对表示是(  7 , 3 )。把长方形绕A点逆时针旋转90°,请画出旋转后的图形。
    (2)将旋转后的长方形向右平移3格。
    (3)再画出一个长方形,与已知长方形周长相等但面积不等。

    【思路点拨】(1)根据图示用数对表示出A、B两点的位置,并画出长方形绕A点逆时针旋转90°后的图形。
    (2)将旋转后的长方形的各个顶点向右平移3格,再顺次连接。
    (3)已知长方形的周长为14,画一个长与宽的和为7的长方形。
    【规范解答】解:(1)图中A点用数对表示是(3,6),B点用数对表示是(7,3)。再画出长方形绕A点逆时针旋转90°后的图形①
    (2)将图形①的各个顶点向右平移3格,再顺次连接得图形②。
    (3)画一个长为5,宽为2的长方形。(画法不唯一)

    故答案为:3,6;7,3。
    【考点评析】本题考查了用数对表示位置、图形的旋转、平移、画一定周长的长方形,需准确画图。
    21.(2022•临漳县)(1)图中点A的位置用数对  (2,1) 表示,点B的位置用数对  (5,1) 表示。
    (2)图中每个小正方形的面积表示1平方厘米,请以AB为一条边,画一个面积是6平方厘米的三角形ABC。
    (3)将三角形ABC按2:1放大后画在方格纸上。

    【思路点拨】(1)根据利用数对表示物体位置的方法,用数对表示物体的位置时,列数在前,行数在后。据此解答。
    (2)根据三角形的面积公式:S=ah÷2,那么h=2÷a,据此求出三角形的高,根据三角形的画法画出这个三角形(画分不唯一)。
    (3)根据图形放大的方法,先分别求出放大2倍后,三角形的底和高各是多少厘米,然后画出放大后的三角形。
    【规范解答】解:(1)图中点A的位置用数对(2,1)表示,点B的位置用数对(5,1)表示。
    (2)6×2÷3=4(厘米)
    作图如下:(画法不唯一)
    (3)3×2=6(厘米)
    4×2=8(厘米)
    作图如下:

    故答案为:(2,1),(5,1)。
    【考点评析】此题考查的目的是理解掌握利数对表示物体位置的方法及应用、三角形的面积公式、图形放大的方法及应用。
    22.(2022•阳信县)观察下面的平面图并回答问题。
    (1)车站在学校  北 偏  西  45 °方向上。
    (2)过点A作AC的垂线;商店D在车站的正东方向,且在所画AC边的垂线上,在图中标出商店D的位置。
    (3)若学校用数对(3,2)表示,则游乐园的位置用数对  (8,2) 表示。

    【思路点拨】(1)根据利用方向和角度表示物体位置的方法,先确定参照物的位置,再确定其他物体的位置。据此解答。
    (2)根据垂线的画法,利用三角板的直角作垂线,过点A作AC的垂线;商店D在车站的正东方向,且在所画AC边的垂线上,据此作图即可。
    (3)根据利用数对表示物体位置的方法,用数对表示物体的位置时,列数在前,行数在后,据此解答。
    【规范解答】解:(1)车站在学校 北偏西45°方向上。
    (2)过点A作AC的垂线;商店D在车站的正东方向,且在所画AC边的垂线上,作图如下:

    (3)学校用数对(3,2)表示,则游乐园的位置用数对(8,2)表示。
    故答案为:北,西,45;(8,2)。
    【考点评析】此题考查的目的是理解掌握利用方向和角度、利用数对表示物体位置的方法及应用,垂线的画法及应用。
    五.解答题
    23.(2022•通州区)在比例尺为1:9000000的航空图上,甲、乙两个城市相距30cm,有两架飞机同时从甲、乙两个城市起飞,分别以810千米/时和690千米/时的速度相向飞行,经过几时两架飞机在空中相遇?
    【思路点拨】根据比例尺和图上距离,先求出甲、乙两个城市的实际距离,注意将单位化成km;然后用实际距离除以两架飞机的速度和,就可以求出相遇时间。
    【规范解答】解:9000000×30=270000000(cm)
    270000000cm=2700km
    2700÷(810+690)
    =2700÷1500
    =1.8(时)
    答:经过1.8时两架飞机在空中相遇。
    【考点评析】本题是一道相遇问题,掌握比例尺的意义以及相遇问题的数量关系是解题的关键。
    24.(2022•中原区)根据新华社资料显示,在疫情防控常态背景下,旅游消费呈现出显著的本地化、小半径特征,周边游、本地游、露营成为今年“微度假”主流。
    假期,奇奇随爸爸妈妈和朋友一起去郊区露营,并策划了一个定向越野活动。
    (1)通过实地考察,越野项目是从帐篷的位置出发,向北偏东45°方向跑210米,到一棵大树下插上小红旗,记为点A,请在如图中标出点A;再跑到点B(L,6),拍照打卡,请在如图中标出点B。最后按原路返回帐篷的位置。(小正方形的边长为1个单位长度,代表实际距离50米,对角线是1.4个单位长度,代表实际距离70米。)

    (2)请在横线上描述出从点B返回帐篷位置的路线: 从点B向西走150米到点A,再向南偏西45°方向走210米到帐篷 。
    (3)奇奇发现很多帐篷从侧面观察都近似于三角形,这是因为三角形具有  稳定 性。
    【思路点拨】(1)根据平面图上方向的辨别“上北下南,左西右东”,以帐篷的位置为观测点,即可确大树的方向,根据帐篷与大树的距离及每条小方格的对角线所代表的距离,即可确定大树的位置。根据用数对表示位置的方法,第一个数字表示列,第二个数字表示行,即可确定拍照打卡的位置。
    (2)同理,以点B的位置为观测点,即确定点A的方向,根据点B到点A的格数及每格代表的实际距离;根方向的相对性质,以帐篷的位置为观测点看A与以A的位置看帐篷的位置方向完全相反,所偏的度数及距离不变。
    (3)帐篷从侧面观察都近似于三角形,是因为三角形具有稳定性质。
    【规范解答】解:(1)根据题意画图如下:

    (2)从点B返回帐篷位置的路线:从点B向西走150米到点A,再向南偏西45°方向走210米到帐篷。
    (3)奇奇发现很多帐篷从侧面观察都近似于三角形,这是因为三角形具有稳定性。
    故答案为:从点B向西走150米到点A,再向南偏西45°方向走210米到帐篷;稳定。
    【考点评析】此题考查的知识点:数对与位置、根据方向和距离确定物体的位置、跑线图、三角形的稳定性质等。
    25.(2022•德阳)
    (1)用数对表示点A的位置是(  4 , 3 )。
    (2)点C在点A的  东 偏  北  55 度方向上。
    (3)画出三角形ABC绕点A逆时针旋转90°后的图形。
    (4)以虚线为对称轴,画一个三角形A′B′C′,与三角形ABC对称。
    (5)按2:1的比画出三角形ABC放大后的图形。
    【思路点拨】(1)根据用数对表示点的位置的方法,第一个数字表示列,第二个数字表示行,即可用数对表示出点A的位置。
    (2)根据平面图上方向的辨别“上北下南,左西右东”,以点A的位置为观测点,即可确定点C的方向(所偏的度数用量角器量出)。
    (3)根据旋转的特征,三角形ABC绕点A逆时针旋转90°,点A的位置不动,这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。
    (4)根据轴对称图形的特征,对称点到对称轴的距离相等,对称点的连线垂直于对称轴,在对称轴(虚线)的右边画出三角形ABC的对称点A′、B′、C′,依次连接即可画一个三角形A′B′C′,与三角形ABC对称。
    (5)三角形ABC为直角三角形,直角三角形两直角边即可确定其形状,把三角形ABC的各边均放大到原来的2倍,所到的图形就是原图形按2:1放大后的图形。
    【规范解答】解:(1)用数对表示点A的位置是(4,3)。
    (2)点C在点A的东偏55度方向上。
    (3)画出三角形ABC绕点A逆时针旋转90°后的图形(下图蓝色部分)。
    (4)以虚线为对称轴,画一个三角形A′B′C′,与三角形ABC对称(下图绿色部分)。
    (5)按2:1的比画出三角形ABC放大后的图形(下图红色部分)。

    故答案为:4,3;东,北,55。
    【考点评析】此题考查的知识点:作旋转一定度数后的图形、作轴对称图形、图形的放大与缩小、数对与位置、根据方向确定物体的位置。
    26.(2022•共和县)按要求画图并填空。(下面每个小正方形的边长表示1cm)

    ①画出三角形AOB绕O点逆时针旋转90°后的图形A′OB′。
    ②原图中A点的位置若用数对(9,2)表示,那么旋转后A′的位置是(  5 , 6 )。
    ③画出三角形AOB按2:1放大后的图形,放大后三角形的面积为  24 cm2。
    【思路点拨】①O点位置不变,确定出A点和B点绕O点逆时针旋转90°后的位置A′和B′,再顺次连接。
    ②根据坐标图用数对表示A′的位置。
    ③将三角形AOB的底和高同时扩大到原来的2倍,画出放大后的图形,再求出面积。
    【规范解答】解:①O点位置不变,确定出A点和B点绕O点逆时针旋转90°后的位置A′和B′,再顺次连接得三角形A′OB′。

    ②原图中A点的位置若用数对(9,2)表示,那么旋转后A′的位置是(5,6)。
    ③将三角形AOB的底和高同时扩大到原来的2倍,在三角形AOB的右边画出放大后的三角形。
    放大后三角形的面积:8×6÷2=24(cm2)。
    故答案为:5,6;24。
    【考点评析】本题考查了用数对表示位置、图形的旋转、图形的放大与缩小及三角形面积的求法,需能熟练画图。

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