山东省聊城市莘县2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

2022-2023学年山东省聊城市莘县八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在下列各数，，，，，，，中无理数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.  下列命题中，假命题是(    )

A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形

3.  若不等式的解集为，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列说法中，不正确的是(    )

A. 是的算术平方根 B. 是的平方根
C. 是的算术平方根 D. 是的立方根

5.  已知点在第三象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  若与是同一个正数的平方根，则为(    )

A.  B.  C.  D. 或

7.  如图，任意四边形各边中点分别是，，，，若对角线，的长都为，则四边形的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  平行四边形中，对角线，，交点为点，则边的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，，边在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，以为圆心，的长为半径画弧交数轴负半轴于点，则表示的数是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，矩形纸片沿过点的直线折叠，恰使得点落在边的中点处，且，则矩形的边的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图：在中，平分，平分，且交于，若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.  若有意义，则的取值范围为______

14.  如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是，边上的中点，连接，若，，则菱形的面积为______ ．

15.  已知关于的不等式组无解，则实数的取值范围是______．

16.  以正方形的边为边作等边，则 ______

17.  如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右滚动到的位置，再到的位置依次进行下去，若已知点，，则点的坐标为______．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

18.  已知的平方根是，的立方根是，求的算术平方根．

四、解答题（本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
解下列不等式组：
解不等式：；
解不等式组，并把解集表示在数轴上，并写出其整数解．
 

21.  本小题分
如图，学校操场边上一块空地阴影部分需要绿化，连接，测出，，，，，求需要绿化部分的面积．

22.  本小题分
D、分别是不等边三角形即的边、的中点，是内任意一点，连接、，点、分别是、的中点，顺次连接点、、、问当与应满足怎样的数量关系时，四边形是菱形，并证明之．

23.  本小题分
如图，中，，、分别是、的中点，连接，在延长线上，且．
求证：四边形是平行四边形；
若四边形是菱形，求的度数．

24.  本小题分
为了进一步改善城市水环境质量，某县对城区部分街道进行雨污分离工程，一处施工工地每天需要挖土，现有甲、乙两队施工，如果甲队每小时挖土，需要费用元，乙队每小时挖土，需要费用元．
甲、乙两队同时挖土，每天需要几小时？
甲、乙两队每挖土的费用各是多少元？如果规定工地每天最多挖土费用不超过元，那么甲队每天至少挖土多少立方米？

25.  本小题分
如图，在中，是边上一点，是的中点，过作的平行线交的延长线，且，连结．
求证：；
如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
当满足什么条件时，四边形为正方形？写出条件即可，不要求证明

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在下列各数中，，，，，，，中无理数是，，共个，
故选：．
根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，找出无理数即可．
本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数．
 

2.【答案】 

【解析】解：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以为假命题；
对角线相等且互相平分的四边形是矩形，所以为真命题；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以为真命题；
对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以为真命题．
故选A．
根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的对角线矩形判断即可．
本题考查了从对角线来判断特殊四边形的方法：对角线互相平分的四边形为平行四边形；对角线互相垂直平分的四边形为菱形；对角线互相平分且相等的四边形为矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．也考查了真命题与假命题的概念．
 

3.【答案】 

【解析】解：不等式的解集为，
，
解得：．
故选B
根据已知解集得到为负数，即可确定出的范围．
此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、是的算术平方根，正确；
B、是的平方根，正确；
C、是的算术平方根，错误；
D、是的立方根，正确，
故选C
原式利用算术平方根，立方根定义判断即可．
此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由点在第三象限，得，
解得，
故选：．
根据第三象限内点的横坐标小于零，纵坐标小于零，可得答案．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

6.【答案】 

【解析】解：与是同一个正数的平方根，
，或，
解得：或．
故选：．
由于一个正数的平方根有两个，且互为相反数，可得到与互为相反数，与也可以是同一个数．
本题主要考查了平方根的概念，解题时注意要求是一个正数的平方根．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，，是四边形各边中点，
，，，
四边形的周长是
故选B．
利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于，或的一半，进而求四边形周长即可．
本题考查了三角形的中位线定理，解决本题的关键是找到四边形的四条边与已知的两条对角线的关系．三角形中位线的性质为我们证明两直线平行，两条线段之间的数量关系又提供了一个重要的依据．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示：
四边形是平行四边形，，，
，，
在中，由三角形三边关系定理得：，
即，
故选：．
根据平行四边形的性质求出和，在中，根据三角形三边关系定理得出，即可得出结果．
本题考查了三角形的三边关系定理和平行四边形的性质，注意：平行四边形的对角线互相平分．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
表示，
表示的是，
故选：．
首先利用勾股定理计算出的长，进而可得的长度，再由点表示的数为可得答案．
此题主要考查了勾股定理，实数与数轴，关键是正确计算出的长．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

四边形是矩形，
，，，
点为的中点，，
，，
在和中，
，
≌，
，
由折叠的性质得，，
，
，
故选：．
根据矩形的性质得出，，，根据中点的定义得出，，利用证明≌，根据全等三角形的性质推出，根据勾股定理求解即可．
此题考查了折叠的性质、矩形的性质，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：平分，平分，
，，即，
为直角三角形，
又，平分，平分，
，，
，，
由勾股定理可知．
故选：．
根据角平分线的定义推出为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得，进而可求出的值．
本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出为直角三角形．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点所在的位置是解题的关键．
首先由，得出动点在与平行且与的距离是的直线上，作关于直线的对称点，连接，连接，则的长就是所求的最短距离然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值．
【解答】
解：设中边上的高是．
，
，
，
动点在与平行且与的距离是的直线上，
如图，作关于直线的对称点，连接，连接，则的长就是所求的最短距离．

在中，，，
，
即的最小值为．
故选D．  

13.【答案】且 

【解析】解：依题意得：且，
解得且．
故答案是：且．
算术平方根的被开方数是非负数且分式的分母不等于零．
本题考查了算术平方根的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：、是和的中点，即是的中位线，
，
则．
故答案是：．
根据是的中位线，根据三角形中位线定理求的的长，然后根据菱形的面积公式求解．
本题考查了三角形的中位线定理和菱形的面积公式，理解中位线定理求的的长是关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
解得，
解得．
根据题意得：．
故答案是：．
首先解每个等式，然后根据不等式组无解即可确定关于的不等式，从而求解．
本题考查了一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

16.【答案】或 

【解析】解：当点在正方形外侧时，
等边，
，
，
，
，
同理可知，
故；
当点在正方形内侧时，
，
，，
，
，
同理可得，
．
故或．
故答案为或
解答本题时要考虑两种情况，点在正方形内和外两种情况，即为锐角和钝角两种情况．
本题主要考查正方形对角线相等平分垂直的性质，本题要分两种情况，这是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：根据题意，可知：每滚动次为一个周期，点，，，在第一象限，点，，，在轴上．
，，
，，
，
点的横坐标为，
同理，可得出：点的横坐标为，点的横坐标为，，
点的横坐标为为正整数，
点的横坐标为，
点的坐标为．
故答案为：．
根据三角形的滚动，可得出：每滚动次为一个周期，点，，，在第一象限，点，，，在轴上，由点，的坐标利用勾股定理可求出的长，进而可得出点的横坐标，同理可得出点，的横坐标，根据点的横坐标的变化可找出变化规律“点的横坐标为为正整数”，再代入即可求出结论．
本题考查了规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
 

18.【答案】解：根据题意可知，
，解得，
，解得，
则，
的算术平方根为．
所以的算术平方根为． 

【解析】先根据平方根的概念可求出的值，再根据立方根的概念求出的值，把、的值代入中求值，即可得出答案．
本题主要考查了平方根和立方根的概念，熟练应用相关概念进行求解是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】分别根据有理数乘方及开方的法则、指数幂及负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，熟知有理数乘方及开方的法则、指数幂及负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
；
，
解第一个不等式得，
解第二个不等式得．
故不等式组的解集为，
把解集表示在数轴上为：

故其整数解为，． 

【解析】不等式去分母，去括号，移项合并，将系数化为，求出解集即可；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分，表示在数轴上，再写出其整数解即可．
本题考查了不等式和不等式组的解，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键．
 

21.【答案】解：，
在中，，，
由勾股定理得，
在中，，，
，
，
需要绿化部分的面积，
答：需要绿化部分的面积为． 

【解析】根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式计算，即可得到答案．
本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，三角形的面积计算，掌握勾股定理、勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：当时，四边形是菱形．
理由：、分别是、的中点，
，，
同理，，，
，，
四边形是平行四边形，
连接，在中，、分别为、中点，
，同理在中，，
，
，
时，四边形是菱形． 

【解析】当时，四边形是菱形，选根据三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再证明即可．
本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是三角形中位线定理的正确运用，属于中考常考题型．
 

23.【答案】证明：，是的中点，
，
，
，
在中，且是的中点，
是等腰底边上的中线，
也是等腰的顶角平分线，
，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；

解：四边形是菱形，
，
由知，，
，
是等边三角形，
，
在中，． 

【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而得到，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据等边对等角可得然后，然后求出，再根据同位角相等，两直线平行求出，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
根据菱形的四条边都相等可得，然后求出，从而得到是等边三角形，再根据等边三角形的每一个角都是求出，然后根据直角三角形两锐角互余解答．
本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质与判定方法是解题的关键．
 

24.【答案】解：设甲、乙两队同时挖土，每天需小时，根据题意可得：
，
解得：，
答：甲、乙两队同时挖土，每天需小时；

甲队每小时挖土立方米，需要费用元，乙队每小时挖土立方米，需要费用元，
甲队每挖土立方米的费用是元，乙队每挖土立方米的费用是元，
设甲队每天挖土立方米，则，
解得：，
答：甲队每天至少挖土立方米． 

【解析】根据甲、乙两队每小时挖土量，进而利用每天需挖土立方米，得出等式求出答案；
分别求出甲、乙两队每挖土立方米的费用，再利用每天最多挖土费用不超过元得出不等式进而求出答案．
此题主要考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据题意得出正确不等关系是解题关键．
 

25.【答案】证明：，
．
是的中点，
，
在与中，
，
≌，
，
，
；

答：四边形为矩形；
解：，，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
四边形为矩形；

，且；
，且，
，
，
，
，
四边形为正方形． 

【解析】证明≌可得，再根据条件可利用等量代换可得；
首先判定四边形为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，进而可得四边形为矩形；
当，且时，四边形为正方形，首先证明，，可得，进而可得四边形为正方形．
此题主要考查了正方形的判定，矩形的判定，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握邻边相等的矩形是正方形．