海南省四校2023届高三数学下学期联考试卷（Word版附解析）

海南省四校2023届高三考试题卷

数学

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知，满足，，且，的夹角为，则（    ）

A.  B. 2 C. 4 D.

4. 2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面，地球的半径为，则该椭圆的短轴长为（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 若抛物线的准线被曲线所截得的弦长为，则（    ）

A 或 B. 或 C. 或 D. 或

6. 已知等比数列前3项和为42，，则（    ）

A. 12 B. 6 C. 3 D.

7. 设、，，若，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 新冠肺炎疫情防控期间，进出小区､超市､学校等场所需要先进行体温检测.某学校对一周内甲､乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A. 乙同学体温的极差为

B. 甲同学体温的分位数为

C. 乙同学的体温比甲同学的体温稳定

D. 甲同学体温的众数为和，中位数与平均数相等

10. 将函数的图象先向左平移个单位，再向上平移2个单位得到函数的图象，则以下说法中正确的是（    ）

A. 函数的解析式为

B. 是函数的一个对称中心

C. 是函数的一条对称轴

D. 函数在上单调递增

11. 如图，在平行四边形中，，，，沿对角线将△折起到△的位置，使得平面平面，下列说法正确的有（    ）

A. 三棱锥四个面都是直角三角形 B. 平面平面

C. 与所成角的余弦值为 D. 点到平面的距离为

12. 记、分别为函数、导函数，若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”，则下列说法正确的为（    ）

A. 函数与存在唯一“点”

B. 函数与存在两个“点”

C. 函数与不存在“点”

D. 若函数与存在“点”，则

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13. 的展开式中的常数项为___________.

14. 函数为定义在上的奇函数，当时，，则___________.

15. 已知在四面体中，，则该四面体外接球的表面积为__________.

16. 已知双曲线，，分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线上的第一象限内的点，点为△的内心，点在轴上的投影的横坐标为___________，△的面积的取值范围为___________.

四､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 的内角，，分别为，，.已知.

（1）求；

（2）从下列①②③中选择两个作为条件，证明另外一个条件成立：

①；②；③.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

18. 等差数列中，分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意两个数不在表格的同一列.

（1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式.

（2）记（1）中您选择的的前n项和为Sn，判断是否存在正整数k，使得成等比数列?若存在，请求出k的值;若不存在，请说明理由.

19. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且.

（1）若､分别为棱､的中点，求证：平面；

（2）为的中点，求直线与侧面所成角的正弦值.

20. 某地A，B，C，D四个商场均销售同一型号的冰箱，经统计，2022年10月份这四个商场购进和销售该型号冰箱的台数如下表（单位：十台）：

（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；

（2）假设每台冰箱的售价均定为4000元．若进入A商场的甲、乙两位顾客购买这种冰箱的概率分别为p，，且甲乙是否购买冰箱互不影响，若两人购买冰箱总金额的期望不超过6000元，求p的取值范围．

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

21. 已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点

（1）求椭圆的方程；

（2）、是椭圆的左､右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点､，直线与直线交于点.记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？

22. 已知实数，函数，是自然对数的底数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）求证：存在极值点，并求最小值.

答案

1. B

解析：解：由题得，

所以.

故选：B

2.A

解析：因为，则.

故选：A.

3.B

解析：，所以，， ，所以.

故选：B

4. D

解析：由题意得，

故，

故选：D.

5. B

解析：由题意可知，圆的圆心为，半径为，

抛物线的准线方程为，圆心到准线的距离为，

解得或.

故选：B.

6.D

解析：设等比数列的公比为，

等比数列前3项和42，当时，不满足题意，

当时，，又，则，

所以，解得，则，则.

故选：D

7. A

解析：因为、，，，则，即，

由题意可得，，

所以，

，

当且仅当时，即当时，等号成立，

故的最小值为.

故选：A.

8.C

解析：由题意知，由，得，

设，则，

当时，单调递增，因，

当且仅当时取等号，故，

又，所以，故，

∴，则，即有，故.

故选:C．

9. BC

解析：对于A选项，乙同学体温最大值为，最小值为，故极差为，A错；

对于B选项，甲同学体温按照从小到大的顺序排列为：

，，，，，，，

又，故甲同学体温的第三四分位数为上述排列中的第个数据，即，B对；

对于C选项，乙同学体温按照从小到大的顺序排列为：

，，，，，，，

故乙同学体温的平均数为：，

故乙同学体温的方差；

又甲同学体温的平均数为：，

故甲同学体温的方差，

又，故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C对；

对D：甲同学体温的众数为,，；

中位数为与平均数相等，D错.

故选：BC.

10. BD

解析：将的图象先向下平移2个单位再向右平移个单位可得的解析式为，故A错误；

因为，所以是函数的一个对称中心，故B正确；

因为不是的最大值或最小值，故不是函数的一条对称轴，故C错误；

当时，，因为在上为减函数，所以在上为增函数，故D正确.

故选：BD

11.ABD

解析：△中，，，

由余弦定理得，故，所以，

因为平面平面，平面平面，面，

所以平面，平面，则；同理平面，

因为平面，所以平面平面，A、B正确；

以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，

因为，，

所以，即与所成角的余弦值为，C错误；

由上知：，若为面的法向量，

所以，令，则，

而，则到平面的距离为，D正确.

故选：ABD.

12. ACD

解析：令.

对于A选项，，则，

由可得，由可得，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，，所以，，

此时，函数与存在唯一“点”，A对；

对于B选项，，则，

函数定义域为，令可得，且，

所以，函数与不存在“点”，B错；

对于C选项，，则，

令可得，解得或，但，，

此时，函数与不存在“点”，C对；

对于D选项，，其中，则，

若函数与存在“点”，记为，

则，解得，D对.

故选：ACD.

13. 24

解析：解：由通项公式得:,

令,即可得,

所以展开式的常数项为:.

故答案为：24

14.

解析：由题设，，故时，

所以，故.

故答案为：

15.##

解析：在平面的射影为三角形的外心.

又，所以由正弦定理得：

三角形的外接圆的半径；

设四面体外接球的半径为.解得：.

所以外接球的表面积为.

故答案为：.

16.    ①. 3    ②.

解析：由题意得：，故，

设点，且在上垂足为H，

根据双曲线定义及切线长定理得：，

又，解得：，

所以点H坐标为，即横坐标为3；

渐近线的倾斜角为，则，

记，则，

所以，即，

又，解得：(负值舍)，

所以，则，

所以.

故答案为：3，

17.（1）

由，则，所以，

又，则，故，

由，故，则.

（2）

选①②：，，由（1）知：，

由，，则，

所以，则，故.

选②③：，，由（1）知：，

由，则，

由，故.

选①③：，，

由，可得，

由（1）知：，则.

18. （1）

解：由题意可知，有两种组合满足条件.

①，此时等差数列中，，公差d=4，

所以数列通项公式为 .

②，此时等差数列中，，公差d=2，

所以数列的通项公式为.

（2）

解：若选择①，，

则 .

若成等比数列，则，

即，整理得，即

此方程无正整数解，故不存在正整数，使成等比数列.

若选择②，，

则.

若成等比数列，则，

即，整理得，

因为k为正整数，所以 .

故存在正整数 ，使得成等比数列.

19. （1）

如下图，连接，由分别是的中点，故且，

在三棱柱中，是中点，故且，

所以且，即为平行四边形，故，

又面，面，故平面；

（2）

由点在底面上的投影为的中点，即面，面，

所以，

由底面是以为斜边的等腰直角三角形，则，

所以两两垂直，构建如下图示的空间直角坐标系，

所以，

则，

若为侧面的法向量，则，令，则，

故，即直线与侧面所成角的正弦值为.

20. （1）

，，，．

所以，则．

故y关于x的线性回归方程为．

（2）

设甲、乙两人中选择购买这种冰箱的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2．

，

，

．

所以，X的分布列为

所以，

．

令，即，解得，又，

所以．所以p的取值范围为．

21.

（1）

解：因为椭圆的离心率为，椭圆的右焦点，

所以，，，则，故，

因此，椭圆的方程为.

（2）

证明：设、，设直线的方程为，其中，

联立，得，，

由韦达定理可得，，

所以，

易知点、，，

所以，直线的方程为，

将代入直线的方程可得，即点，

，，

所以，，

所以，.

22.（1）

（1）当时，，

则

令，得；

令，得；

所以，函数的单调增区间为，单调减区间为．

（2）

令，因为，

所以方程，有两个不相等的实根，

又因为，

所以，

令，列表如下:

所以存在极值点.

所以存在使得成立，

所以存在使得，

所以存在使得对任意的有解，因此需要讨论等式左边的关于的函数，

记，

所以，

当时，单调递减；

当时，单调递增．

所以当时，的最小值为．

所以需要，

即需要，

即需要，

即需要

因为在上单调递增，且，

所以需要，

故的最小值是e．