2023届四川省遂宁市高三下学期三诊考试（三模）数学（理）Word版

遂宁市高中2023届三诊考试

数学（理科）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合，，则

A．       B．      C．    D．

2．若复数满足，其中为虚数单位，则=

A．0             B．         C．         D. 1

3．下图是遂宁市2022年4月至2023年3月每月最低气温与最高气温（℃）的折线统计图：已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数＝0.88，则下列结论正确的是

A．月温差（月最高气温﹣月最低气温）的最大值出现在8月

B．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性负相关

C．每月最高气温与最低气温的平均值在4-8月逐月增加

D．9﹣12月的月温差相对于5﹣8月，波动性更小

4．下列说法不正确的是

A．若，则

B．命题，，则：，

C．回归直线方程为，则样本点的中心可以为

D．在中，角的对边分别为则“”是“”的充要条件

5．已知实数，满足则的最小值为

A．           B．            C．-1          D．1

6．已知数列为等比数列，是函数的极值点，设等差数列的前项和为，若，则

A．或       B．           C．          D．2

7．函数的图像大致为

A.

B.

C.

D.

8.已知数列的前项和为，且，，则

A．210         B．110        C．50  D．55

9．已知，则

A．30          B．-30         C．17        D．-17

10．如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点

（在的左边），且．下列说法不正确的是

A．当运动时，二面角的最小值为

B．当运动时，三棱锥体积不变

C．当运动时，存在点使得

D．当运动时，二面角为定值

11．已知为双曲线的左焦点,过点的直线与圆交于两点（在之间），与双曲线在第一象限的交点为,若为坐标原点),则双曲线的离心率为

A．        B．      C．        D．

12．已知函数存在零点，则实数的值为

A．-3             B．-2          C．        D．

第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）

注意事项：

1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量，且，则___________.

14. 已知函数，，，且，则=     

15．某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体

积为，则该三棱锥外接球的表面积   

16．已知抛物线的焦点为F，准线为，点在

抛物线上，点为与轴的交点，且，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，则     

三、解答题：共70分。第17题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．（12分）在中，角所对的边分别，且

（1）求角A的值；

（2）已知在边上，且,求的面积的最大值

18．（12分）某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试.

（1）若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中，，试估计初试成绩不低于80分的人数；（精确到个位数）

（2）复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及期望

附：若随机变量X服从正态分布，则： ，，．

19．（12分）如图，已知四棱锥中，，是面积为的等边三角形且，

（1）证明：；

（2）求平面与平面所成角的余弦值.

20.（12分）已知椭圆的左、右顶点为，点是椭圆的上顶点，直线与圆相切，且椭圆的离心率为

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点在椭圆上，过左焦点的直线与椭圆交于两点（不在轴上）且(O为坐标原点)，求的取值范围.

21．（12分）已知函数, 其中e为自然对数的底数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）记函数，若函数存在两个不同的极值点，求实数的取值范围.

选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）

在直角坐标系中，已知曲线（为参数, ）,在极坐标系中，曲线是以为圆心且过极点O的圆．

（1）分别写出曲线普通方程和曲线的极坐标方程；

（2）直线与曲线、分别交于M、N两点（异于极点O），求．

23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）

已知函数，.

（1）若，求不等式的解集；

（2）已知，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围.

遂宁市高中2023届三诊考试

数学（理科）试题参考答案及评分意见

一、选择题（12×5=60分）

二、填空题（4×5=20分）

13. -7     14．  15．41     16．1

三、解答题

17．（12分）

解：（1）在中因为bcosA+acosB=2ccosA.

由正弦定理得，

所以………………………………………2分

因为，所以.故…4分

又是的内角，所以.从而.

而A为的内角，所以………………………………………6分

（2）因为所以所以…8分

从而………10分

由基本不等式可得：,当且仅当时等号成立

故的面积的最大值为…………………………12分

18. （12分）

（1）因为学生初试成绩X服从正态分布，其中，，

则，

所以，………………3分

所以估计初试成绩不低于80分的人数为 人………5分

（3）Y的取值分别为0，10，20，30，………………6分

则，………………7分

，………………8分

，………………9分

， ………………10分

故Y的分布列为：

所以数学期望为……………12分

19（12分）

（1）取得中点，连接，如图所示：

因为，所以，因为的面积为的等边三角形，所以.

在中，，因为

，所以，………………2分

因为是等边三角形，为线段的中点，所以，又因为，平面，所以平面，………………4分

又,

………………6分

（2）以为原点，分别为轴，平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，设为平面的法向量，则，取平面的一个法向量为，………………9分

取平面SAB法向量，………………………………………………10分

平面SAB与平面所成的角为，则，所以，所以平面SAB与平面SCD所成角的余弦值为.………12分

20（12分）

解：（1）由题设因为，

所以：………………2分

，所以，

所以椭圆方程为………………5分

（2）由（1）知的坐标为，

①当直线的斜率不存在时，，，则；…………6分

②当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为且，

联立，得，

设，，则，，………………7分

，………………8分

设点，则，即，代入椭圆方程得，

解得，，所以，………………9分

所以，……………………………10分

又，所以的取值范围是. ………………………………11分

综上所述，的取值范围是.…………………………………………12分

21．（12分）

解：（1）因为，所以…………………1分

当时，,，所以f(x)在 R上单调递减；…………………2分

当时，令，得，令，得

综上所述，当在R上单调递减；

当时，在上单调递增，在,)上单调递减.5分

（2）因为，

所以

则.………………………………………………………6分

令 ，则.

①当时，，则在R上单调递减，不可能存在两个极值点；

②当 时，因为函数存在两个不同的极值点，所以=0有两个不同的实根，

因为，即=0有两个不同的实根.

令，则,

令，则

所以单调递增.

因为，所以在上单调递减，在上单调递增.

所以…………………………………………9分

当时，G(x)≥0,G(x)=0不可能有两个不等实根.

当时，

在上连续且单调，所以存在唯一实数，使得.10分

当时，易证,

取，则，即

因为在上连续且单调

所以存在唯一实数 ，使得,则

所以函数存在两个不同的极值点.

综上实数的取值范围为.……………………………………12分

22．（10分）

（1）由曲线（为参数, ），

消去参数，得……………2分

所以曲线的直角坐标方程为……………3分

因为曲线是以为圆心的圆，且过极点O，所以圆心为，半径为1，

故的直角坐标方程为：，

即，将代入可得：圆的极坐标方程为………5分

（2）因为曲线的直角坐标方程为.即，

将代入化简可得的极坐标方程为：（），

所以的极坐标方程为；的极坐标方程为；…7分

因为M、N是直线与曲线、的两个交点，

不妨设， 由（1）得：，：，

所以，从而，……………10分

23．（10分）

（1）解：当时，，

，

当时，即，；

当时，即，；

当时，即，，

综上可得不等式的解集为……………………………………………………5分

（2）解：，当且仅当

时取等号，，………………………………6分

又，且，

当且仅当，即，时等号成立，

所以 ………………………………………………………8分

根据题意可得，解得或，

的取值范围是.……………………………………………10分