2023届新疆喀什地区普通高考高三适应性检测数学（文）试题含解析

2023届新疆喀什地区普通高考高三适应性检测数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的交集运算求解.

【详解】由，知.

故选：D

2．已知复数（i是虚数单位），则复数在复平面中所对应的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用复数的四则运算及几何意义即可判定.

【详解】计算可得：，即其在复平面对应的点为.

故选：B

3．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、、、、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级.如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（    ）.

A．这14天中空气质量指数的中位数是179

B．从1日到5日空气质量越来越好

C．这14天中有7天空气质量为“重度污染”

D．连续三天中空气质量指数方差最小是8日到10日

【答案】C

【分析】将14天的空气质量指数由小到大依次排列，即可得出中位数，判断A项；观察数据可判断B项；由图中数据即可得出C项；计算可得，12日到14日空气质量指数的方差小于8日到10日空气质量指数的方差.

【详解】对于A项，由图象可知，14天的空气质量指数由小到大依次为：80，83，138，155，157，165，179，214，214，221，243，260，263，275，所以中位数为，故A项错误；

对于B项，1日为214，2日为275，空气质量变差，故B项错误；

对于C项，由图象可知，14天的空气质量指数在区间内的有：214，214，221，243，260，263，275，共7天（第1天和第12天均为214），故C项正确；

对于D项，经计算可得8日到10日空气质量指数方差为，12日到14日空气质量指数方差为，故D项错误.

故选：C.

4．已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（    ）

A．2 B． C． D．4

【答案】B

【分析】由三视图得到直观图，再根据锥体的体积公式计算可得.

【详解】由三视图可得几何体的直观图如下：

其中为边长为的正方形，平面，且，

所以，即该四棱锥的体积为.

故选：B

5．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先得到函数的定义域、奇偶性，再利用导数说明函数在上的单调性，利用排除法即可判断.

【详解】函数的定义域为， 又，

故为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除B、D；

又当时，则，

所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，

且，，故排除C；

故选：A

6．已知圆，则圆被轴所截得弦长为（    ）

A．4 B． C． D．8

【答案】C

【分析】首先求出圆心坐标与半径，求出圆心到轴的距离，再根据勾股定理计算可得.

【详解】圆的圆心为，半径，

圆心到轴的距离为，所以弦长为.

故选：C

7．将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的图象的一条对称轴为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由辅助角公式化简，再根据三角函数图像的平移变化求得，最后根据三角函数对称轴方程即可求得解．

【详解】由辅助角公式化简可得

，向左平移单位长度得到的解析式为

对称轴方程为

即

所以一条对称轴为

所以选B

【点睛】本题考查了三角函数式的化简，三角函数图像的平移变化及对称轴的求法，属于基础题．

8．数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（    ）．

A．4 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据，结合三角函数的基本关系式，诱导公式和倍角公式，即可求解.

【详解】根据题意，可得，

则.

故选：A．

9．设，，，则的大小关系是

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据对数换底公式及指数幂的化简，然后比较大小即可．

【详解】由换底公式可得

因为 ，所以 ，即

因为 ，即

综上，的大小关系为

所以选C

【点睛】本题考查了对数换底公式的应用，指数幂的化简，比较大小，属于中档题．

10．已知等比数列的前项和为，且，则（    ）

A．3 B．6 C．9 D．18

【答案】D

【分析】由条件用参数表示前三项计算即可.

【详解】，，

故，解之得或（舍去），故.

故选：D

11．的右焦点为，点在双曲线上，若，且，其中为坐标原点，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】根据已知判断在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得.然后在中，根据余弦定理即可得出的齐次方程，然后得出离心率的方程，求解即可得出答案.

【详解】

设双曲线左焦点为，由已知可推得在双曲线右支上，如图所示，

根据双曲线的定义可知，，所以.

由已知，，

在中，有，，，

由余弦定理可得，，

即，

整理可得，，

两边同时除以可得，，

解得或（舍去），

所以.

故选：C.

12．已知函数的定义域为，满足为奇函数且，当时，，则（    ）

A． B． C．0 D．10

【答案】D

【分析】根据题意推得，得到函数的周期为，利用函数的周期性和对称，结合，代入即可求解.

【详解】由为奇函数，可得函数的对称中心为，即

又由，则的对称轴为，即，

所以，即，

又由，所以，即函数的周期为，

则.

故选：D.

二、填空题

13．执行如图所示的程序框图，输出的值为______.

【答案】

【分析】根据程序框图，第一次循环得出，，返回循环；第二次循环得，，执行输出，即可得出答案.

【详解】开始，，，计算可得，

然后计算可得，执行判断，结果否，返回循环；

，，计算可得，

然后计算可得，执行判断，结果是，执行输出可得.

故答案为：.

14．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影为______.

【答案】2

【分析】首先求出，再根据数量积的运算律求出，最后根据计算可得.

【详解】因为，所以，又，，

所以，所以，

所以向量在向量方向上的投影为.

故答案为：

15．已知球的内接圆锥体积为，其底面半径为1，则球的表面积为__________.

【答案】

【分析】利用圆锥体积公式求得圆锥的高，再利用直角三角形建立关于的方程，即可得解.

【详解】由圆锥体积为，其底面半径为，设圆锥高为

则，可求得

设球半径为，可得方程：，解得：

本题正确结果：

【点睛】此题考查了球的内接圆锥问题，关键是利用勾股定理建立关于半径的方程，属于基础题.

16．在三角形中，角、、的对边分别为、、，且的平分线交于，若，则的最小值为______.

【答案】9

【分析】根据面积关系建立关系式，结合基本不等式进行求解.

【详解】因为AD平分∠BAC，所以，，

即，整理得，

得，又，则，

所以，

当且仅当，即，时等号成立，则的最小值是9．

故答案为：9

三、解答题

17．如图，已知三角形是等腰三角形，，，，分别为，的中点，将沿折到的位置如图2，且，取线段的中点为.

(1)求证：平面；

(2)求点到面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取中点，连接，，证明四边形为平行四边形得，从而证得平面；

（2）等积转化法，由求得点到面的距离.

【详解】（1）证明：取中点，连接，，

∵为的中点，则，，∴，，

又∵，分别为，的中点，则，，

∴，，∴四边形为平行四边形，则.

∵平面，平面，∴平面；

（2）由条件知：，,，,∴,

又，，面，∴面，

又面，∴，∴，

∴为直角三角形，∴；

∵，，∴为直角三角形.

∴ , ，

点到面的距离为，

∴，

设点到面的距离为，则，

∴，即，∴.

18．已知数列是等差数列，且满足，是与的等比中项.

(1)求数列的通项公式；

(2)已知数列满足，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，列方程组求解，写出通项公式；

（2）使用错位相减求和即可.

【详解】（1）设等差数列的公差为，由题设可得：，

解得：，

∴；

（2）由（1）知，

所以，

所以

，

所以.

19．某校对是否愿意参与2023春季校园文化艺术节与体育活动进行调查，随机抽查男生，女生各35人，参与调查的结果如下表：

(1)从已知数据判断能否有95%的把握认为是否愿意参与校园文化艺术节和体育活动与性别有关；

(2)用分层抽样方法，在不愿意参与的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少抽到一名女生的事件发生的概率.

附：，其中.

【答案】(1)有95%的把握认为是否愿意参与校园文化艺术节和体育活动与性别有关

(2)

【分析】（1）计算出卡方，即可判断；

（2）首先求出男、女生应抽取的人数，再用列举法列出所有可能情况，最后利用古典概型的概率公式计算可得.

【详解】（1）因为，

所以有的把握认为是否愿意参与校园文化艺术节和体育活动与性别有关；

（2）用分层抽样方法，在不愿意参与的学生中抽取6人，

男生应抽取人，女生应抽人，

设“所抽取的人中至少有一名女生”为事件，

记名男生分别为1、2、3、4；2名女生分别为、，

再从这6人中随机抽取2人的基本事件为：12，13，14，，，23，

24，，，34，，，，，共15种，

其中事件所包含的基本事件为：，，，，，，，，有个，

则事件发生的概率.

20．已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为3.

(1)求；

(2)若点在圆上，，是抛物线的两条切线，是切点，求三角形面积的最大值.

【答案】(1)2

(2)32

【分析】（1）求出圆心及半径，再根据点到圆上的点的距离的最小值为即可得解；

（2）设切点，，根据导数的几何意义求出切线的方程，从而可求得点的坐标，设直线，联立抛物线方程，再利用韦达定理求出，再根据弦长公式及点到直线的距离公式分别求出和点到直线的距离，再结合二次函数的性质即可得解.

【详解】（1）圆的圆心，半径，

由点到圆上的点的距离的最小值为，解得；

（2）由（1）知，抛物线的方程为，即，则，

设切点，，则，

则，

则直线，直线，

联立，解得，

从而得到，

设直线，联立抛物线方程，消去并整理，得，

则，即，

且，，故，

因为，

点到直线的距离，

所以，①

又点在圆上，

故，代入①得，

而，故当时，.

【点睛】方法点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；最值问题经常转化成函数问题处理.

21．已知函数，其中为自然对数的底数．

(1)当时，曲线在处的切线方程；

(2)当时，恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）求出导函数，计算和，由点斜式（或斜截式）得切线方程；

（2）计算，从而，由此得，然后在此情况下对放缩得，设，利用导数，得出时，恒成立，从而得出得的单调性，证得满足题意，得出参数范围．

【详解】（1）当时，，则，

则，．

故曲线在处的切线方程为．

（2）由题意，，

因为，所以．

因为，所以至少满足（否则含的某个区间上是减函数，不满足时，恒成立），

即，解得．

当时，．

设，显然在上单调递增，

则，即恒成立，

从而在上单调递增，故．

故的取值范围是．

【点睛】方法点睛：由导数解决不等式恒成立问题，常常利用分离参数法分离参数化不等式为，由此只要利用导数求得新函数的最大值，然后解不等式即可得．本题利用临界点满足的性质得出参数的范围（必要条件），然后证明其为充分条件，从而得出结论，这种方法的难点是临界点的取得，如区间的端点．

22．已知曲线的方程为，曲线的参数方程为(为参数).

（1）求的参数方程和的普通方程；

（2）设点在上，点在上，求的最小值.

【答案】（1）的参数方程为(为参数)，的普通方程为；（2）1.

【解析】（1）根据椭圆的参数方程以及消参数即可求解.

（2）设，利用点到直线的距离公式以及辅助角公式、三角函数的性质即可求解.

【详解】（1）曲线的参数方程为(为参数)，

曲线的普通方程为.

（2）设，

点到直线的距离为，则的最小值即为的最小值，

因为，其中，

当时，的最小值为1，此时.

23．已知，，为正数，函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若的最小值为，且，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）分类讨论去绝对值，即可得出答案；

（2）解法一：根据绝对值三角不等式可得.根据基本不等式可得，进而推得，即可证明；解法二：根据绝对值三角不等式可得.然后根据柯西不等式即可得出，进而得出证明.

【详解】（1）由已知可得，.

当时，不等式可化为，即，解得，所以；

当时，不等式可化为，该不等式恒成立，所以；

当时，不等式可化为，解得，所以.

综上所述，不等式的解集为.

（2）解法一：

∵，当且仅当时，等号成立，

∴，∴.

∵，，，

∴，

∴，

∴，

当且仅当时，等号成立，

∴.

解法二：

∵，当且仅当时，等号成立，

∴，

∴.

由柯西不等式得：

，当且仅当时，等号成立，

∴.