2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第六章　必刷小题11　数　列

必刷小题11　数　列

一、单项选择题

1．数列－，，－，，…的通项公式可能是an等于(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　由a1＝－，排除A，C；由a2＝，排除B；分母为奇数列，分子为(－1)n，故D正确．

2．已知数列{an}为等比数列，公比为q，若a5＝4(a4－a3)，则q等于(　　)

A．4  B．3  C．2  D．1

答案　C

解析　由题意，得a1q4＝4(a1q3－a1q2)，解得q＝2.

3．在正项等比数列{an}中，a2＝4，a6＝64，Sn＝510，则n等于(　　)

A．6  B．7  C．8  D．9

答案　C

解析　由a2＝4，a6＝64，得q4＝＝16(q>0)，

所以q＝2，a1＝2，

所以510＝，解得n＝8.

4．定义[x]表示不超过x的最大整数，若数列{an}的通项公式为an＝3n－1，则等式＋＋＋…＋等于(　　)

A．30  B．29  C．28  D．27

答案　D

解析　＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝0＋(1×2)＋(2×2)＋(3×1)＋(4×2)＋(5×2)＝27.

5．等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝12，则{an}的前8项和为(　　)

A．90   B．30(＋1)

C．45(＋1)   D．72

答案　A

解析　等比数列{an}中，a1＋a2＝6，

a3＋a4＝(a1＋a2)q2＝12，

∴q2＝2，a5＋a6＝(a3＋a4)q2＝24，同理a7＋a8＝48，

则{an}的前8项和a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝6＋12＋24＋48＝90.

6．设数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列{lg an}与{lg bn}的前n项和，且＝，则等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　因为数列{an}，{bn}都是正项等比数列，所以数列{lg an}与{lg bn}为等差数列，

因为＝，所以＝＝

＝＝＝.

则＝.

7．(2022·新高考全国Ⅱ)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3等于(　　)

A．0.75   B．0.8

C．0.85   D．0.9

答案　D

解析　设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，

则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，

依题意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2，

且＝0.725，

所以＝0.725，

故k3＝0.9.

8．等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝－5，a3＝－1.记bn＝(n＝1,2，…)，则数列{bn}的(　　)

A．最小项为b3   B．最大项为b3

C．最小项为b4   D．最大项为b4

答案　C

解析　等差数列{an}中，a1＝－5，a3＝－1，

所以d＝2，an＝－5＋2(n－1)＝2n－7，Sn＝－5n＋×2＝n2－6n，

则bn＝＝，令f(x)＝，x>0，则f′(x)＝>0，

故f(x)在，上单调递增，没有最大值，

因为b1＝1，b3＝9，b4＝－8，结合数列的函数特性易得，当n＝4时，bn取得最小值．

二、多项选择题

9．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有(　　)

A．a7  B．a8  C．S15  D．S16

答案　BC

解析　由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，则a8为定值，

S15＝＝15a8为定值，

但S16＝＝8不是定值．

10．下列说法正确的是(　　)

A．任意等差数列{an}和{bn}，数列{an＋bn}是等差数列

B．存在等差数列{an}和{bn}，数列{anbn}是等差数列

C．任意等比数列{an}和{bn}，数列{an＋bn}是等比数列

D．存在等比数列{an}和{bn}，数列{anbn}是等比数列

答案　ABD

解析　A项，若{an}和{bn}都是等差数列，不妨设an＝k1n＋b1，bn＝k2n＋b2，

故可得an＋bn＝(k1＋k2)n＋b1＋b2，则an＋1＋bn＋1＝(k1＋k2)(n＋1)＋b1＋b2，

则an＋1＋bn＋1－(an＋bn)＝k1＋k2，故数列{an＋bn}是等差数列，故A正确；

B项，设数列{an}是数列1,1,1；数列{bn}是数列2,2,2，故可得数列{anbn}是数列2,2,2，是等差数列，故B正确；

C项，若{an}和{bn}是等比数列，设an＝a1q，bn＝b1q，故可得an＋bn＝a1q＋b1q，an＋1＋bn＋1＝a1q＋b1q，则＝，不是常数，故{an＋bn}不是等比数列，故C错误；

D项，设数列{an}是数列1,1,1；数列{bn}是数列2,2,2，故可得数列{anbn}是数列2,2,2，是等比数列，故D正确．

11．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则有(　　)

A．Sn＝3n－1   B．{Sn}为等比数列

C．an＝2·3n－1   D．an＝

答案　ABD

解析　由题意，数列{an}的前n项和满足an＋1＝2Sn(n∈N*)，

当n≥2时，an＝2Sn－1，

两式相减，可得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，

可得an＋1＝3an，即＝3(n≥2)，

又a1＝1，则a2＝2S1＝2a1＝2，所以＝2，

所以数列{an}的通项公式为

an＝

当n≥2时，Sn＝＝＝3n－1，

又S1＝a1＝1，适合上式，

所以数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，

又＝＝3，

所以数列{Sn}为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD是正确的．

12．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若an>0，a1＝，Sn<2，则{an}的公比可取的值为(　　)

A.  B.  C.  D．2

答案　AB

解析　设等比数列{an}的公比为q，则q≠1.

∵an>0，a1＝，Sn<2，

∴{an}是递减数列，×qn－1>0，<2，

∴1>q>0且1≤4－4q，解得0<q≤.

∴{an}的公比的取值范围是，

故{an}的公比可取的值为或.

三、填空题

13．已知数列{an}满足a1＝1，－＝1，则a5＝________.

答案　－

解析　∵－＝1，∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，

∴＝＋(n－1)×1＝n－，∴＝5－＝，解得a5＝－.

14．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.

答案　2

解析　由题意，得

解得

所以q＝＝＝2.

15．在数列{an}中，a1＝2，且nan＋1＝(n＋2)an，则an＝________.

答案　n(n＋1)

解析　由已知得，＝，则有＝，＝，＝，…，＝，＝，将这(n－1)个等式相乘得，＝，则an＝n(n＋1)．

16．已知数列{an}的前n项和为Sn.且a1＝1，{lg Sn}是公差为lg 3的等差数列，则a2＋a4＋…＋a2n＝________.

答案　

解析　S1＝a1＝1，则lg S1＝lg 1＝0，

∵{lg Sn}是公差为lg 3的等差数列，

∴lg Sn＝(n－1)lg 3＝lg 3n－1，则Sn＝3n－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－3n－2＝2×3n－2，

a2＝2，当n≥2时，＝＝3，∴数列{an}自第二项起构成公比为3的等比数列，可得a2＋a4＋…＋a2n＝＝.