中考数学一轮突破 基础过关 第24讲与圆有关的位置关系

这是一份中考数学一轮突破 基础过关 第24讲与圆有关的位置关系，共14页。学案主要包含了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆的切线等内容，欢迎下载使用。
第24讲　与圆有关的位置关系课标要求(1)了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线. (2)探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．注：考试中，不要求用(2)证明其他命题.考情分析　　该内容主要是以选择题、填空题、综合解答题的形式来考查，分值为3～10分．主要考点为点与圆、直线与圆的位置关系，圆切线的性质和判定等．预测2021年中考，以上考点依然会出现，建议加强理解定义，掌握性质与定理，灵活运用方法，并加以练习巩固.    一、点与圆的位置关系点与圆的位置关系有________、________和________．设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP＝d.点P在⊙O外⇔d________r.点P在⊙O上⇔d________r.点P在⊙O内⇔d________r.二、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有________、________和________．设⊙O的半径为r，圆心O到直线AB的距离为d.AB与⊙O相离⇔d______r．(公共点为______个)AB与⊙O相切⇔d______r．(公共点为______个)AB与⊙O相交⇔d______r．(公共点为______个)三、圆的切线1. 定义：直线与圆有________公共点(即直线与圆________)时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做________．2. 性质：圆的切线垂直于过切点的________．3. 判定：经过直径的________并且________于这条直径的直线是圆的切线．4. 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和________之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．从圆外一点可以引圆的________条切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线________两切线的夹角．5. 内切圆：和三角形三边都________的圆叫做这个三角形的内切圆．内切圆的圆心是三角形三条________的交点，叫做三角形的________心．  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,　　　　　　　　　　　　　　　点与圆、直线与圆的位置关系  (梧州，第6小题，3分)已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为(　　)A．相离  B．相切C．相交  D．无法确定【思路点拨】∵圆心到直线的距离d＝3，圆的半径r＝5, d< r，∴圆和直线相交，故选C. (百色，第11小题，3分)以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是(　　)A．0≤b＜2  B．－2≤b≤2C．－2<b<2  D．－2＜b＜2 ,　　　　　　　　　　　　　　　圆的切线的性质和判定  (北部湾经济区，第25小题，10分) 如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B.(1)求证：AP是⊙O的切线：(2)连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；(3)若tan∠OAF＝，求的值．【思路点拨】(1)要证AO是⊙O的切线，只要证得∠CAE＝90°即可，因为直径所对的圆周角是直角，可考虑用等角代换证明；(2)要证△FAD∽△DAE，因为∠ADE＝90°，故只要证得∠AFD＝90°即可得到一组角相等，再证得一组角相等即可；(3)因为tan∠OAF＝＝，故设OF＝x，则AF＝2x，然后利用勾股定理、相似三角形的性质和锐角三角形函数等将AE和AP用含x的代数式表示出来即可求解． 小结1. 与切线有关的计算(1)与切线有关的线段问题：常需构造直角三角形(切线垂直于过切点的半径或直径所对的圆周角为直角)，利用勾股定理或锐角三角函数求解．有时也会根据圆中相等的角得到相似三角形，根据相似三角形对应边成比例建立等式来解决问题；(2)与切线有关的角度问题：往往与圆周角、圆心角有关，求解过程中有时需要作出合适的辅助线，构造与所求角有关的圆心角或直角三角形进行求解，特别要注意一些特殊角，如直径所对的圆周角等于90°、和圆的半径相等的弦所对的圆心角等于60°、切线与过切点的半径或直径所构成的角等于90°2. 切线的判定(1)若切点明确，则“连半径，证垂直”：当直线与圆有交点时，连接交点与圆心得半径，证明这条半径与该直线垂直；(2)若切点不明确，则“作垂直，证半径”：当直线和圆没有明确的交点时，可以经过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径.  (贺州，第25小题，10分) 如图，AB是⊙O的直径，D是AB的延长线上一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC的延长线于点E，AC平分∠BAE .(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若CD＝6，求⊙O的直径 . 1. (桂林)如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是(　　)A．60°　　  B．65°  C．70°   D. 75°第1题图第2题图2. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠ACP＝(　　)A．30°  B．45°  C．60°  D．67.5°3. 如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为( C )A．3  B．4  C．5  D．6第3题图　　　　第4题图 4. (枣庄)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C.连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝________．5. ⊙O的半径为3 cm，当圆心O到直线AB的距离为________cm时，直线AB与⊙O相切．6. 在同一平面上，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6 cm，最短为2 cm，则⊙O的半径为______cm.7. 如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________．,第7题图)　　　　　,第8题图)8. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P＝46°，则∠BAC＝________ °.9. 在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片的边长应为________．10. 如图，PA与⊙O相切于点A，PC经过⊙O的圆心且与该圆相交于两点B，C，若PA＝4，PB＝2，则sin P＝________.   ,第10题图) 　　　　 ,第11题图) 11. (眉山)如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，点A、B为切点，连接AO并延长交PB的延长线于点C，过点C作CD⊥PO，交PO的延长线于点D.已知PA＝6，AC＝8，则CD的长为________．12. (白银)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E.(1)求证：AC是⊙D的切线；(2)若CE＝2，求⊙D的半径．                13. (南充)如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD＝∠A.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若BC＝5，BD＝3，求点O到CD的距离.                     14. (柳州) 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G .(1)求证：△ACD∽△CFD；(2)若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；(3)若sin∠CAD ＝ ，求tan∠CDA的值．     第24讲　与圆有关的位置关系【基础梳理】一、在圆内　在圆上　在圆外　＞　＝　＜二、相交　相切　相离　＞　0　＝　1　＜　2三、1.唯一　相切　切点　2.半径　3.外端　垂直　4.切点　两　相等　平分　5.相切　角平分线　内【重点突破】[例1]C　[变式1]D[例2](1)证明：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∴∠ACE＋∠DAC＝90°.又∵∠DAE＝∠ACE，∠DAE＋∠DAC＝90°，∴∠CAE＝90°.又∵OA是⊙O的半径，∴AP为⊙O的切线．(2)连接OB，∵PA，PB为圆的切线，∴PA＝PB.又∵OB＝OA，OP＝OP，∴△OBP≌△OAP(SSS)．∴∠BOD＝∠DOA.∴＝.∴∠FAD＝∠ACE.∴OF⊥AB.又∵∠ACE＝∠DAE，∴∠FAD＝∠DAE，∠AFD＝∠ADE＝90°.∴△FAD∽△DAE.(3)在Rt△OFA中，tan∠OAF＝.设OF＝x，AF＝2x，OA＝x, 故AP＝2OA＝2x，∴DF＝OD－OF＝OA－OF＝(－1)x.且△FAD∽△DAE.∴∠FAD＝∠DAE＝∠ACE.∴tan∠ACE＝tan∠FAD.即＝＝.∴AE＝·x＝x.∴＝＝.[变式2](1)证明：如图，连接OC，则OC＝OA.∴∠OAC＝∠OCA. ∵AC平分∠BAE，∴∠EAC＝∠BAC.∴∠EAC＝∠OCA.∴AE∥OC.∴∠AEC＝∠OCD.∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°.∴∠OCD＝90°，且点C在⊙O上．∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(2)解：∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝∠D＋∠BCD.∵BC＝BD，∴∠D＝∠BCD.∴∠OCB＝2∠BCD.∵∠OCD＝90°，∴∠OCB＋∠BCD＝90°，∴2∠BCD＋∠BCD＝90°，即∠D＝∠BCD＝30°.∵在Rt△OCD中，tan∠D＝，∴OC＝OD·tan30°＝6×＝2.∴AB＝2OC＝4.即⊙O的直径是4.【达标检测】1．B　2.D　3.C　4.27°　5.3　6.2　7.AB⊥BC　8.23　9．5　10.　11.212．(1)证明：连接DA.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.又∵DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝30°.∴∠DAC＝120°－30°＝90°.∴AC⊥A  D.∴AC是⊙D的切线．(2)解：设半径为r，则DA＝DE＝r.在RtADC中，∵∠C＝30°，∴CD＝2AD.即CE＋r＝2r.∴r＝CE＝2.13．(1)证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＋∠ACD＝∠ACB＝90°.∴OC⊥BC.∴BC是⊙O的切线．(2)解：过点O作OE⊥CD于点E.在Rt△BCD中，∵BC＝5，BD＝3，∴CD＝4.∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠BCD＝∠A，∴Rt△BDC∽Rt△CDA.∴＝＝.∴AD＝.∵OE⊥CD，∴E为CD的中点．又∵点O是AC的中点，∴OE＝AD＝.14．(1)证明：∵OD⊥BC，∴＝.∴∠DCB＝∠CAD.又∵∠CDF＝∠ADC，∴△ACD∽△CFD.(2)证明：如图，连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ABC＋∠CAB＝90°.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.又∵∠CDA＝∠OBC，∠CDA＝∠GCA.∴∠OCB＝∠GCA.∴∠OCG＝∠GCA＋∠OCA＝∠OCB＋∠OCA＝90°.又∵CO是⊙O的半径，∴CG是⊙O的切线．(3)解：如图，连接BD.∵∠CAD＝∠CBD，OD⊥BC，∴sin∠CAD＝sin∠CBD＝＝.设DE＝x，OD＝OB＝r，OE＝r－x，则BD＝3x，∴在Rt△BDE中，BE＝＝＝2x.∴BC＝2BE＝4x.在Rt△OBE中，∵OE2＋BE2＝OB2，即(r－x)2＋(2x)2＝r2，∴r＝x，∴AB＝2r＝9x.在Rt△ABC中，∵AC2＋BC2＝AB2，∴AC2＋(4x)2＝(9x)2.∴AC＝7x或AC＝－7x(舍去)，∴tan∠CDA＝tan∠CBA＝＝＝.