中考数学一轮突破 基础过关 第18讲三角形的有关概念和性质

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第18讲　三角形的有关概念和性质、全等三角形课标要求(1)理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性．(2)探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．证明三角形的任意两边之和大于第三边．(3)理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．(4)掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．(5)掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．(6)掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等．(7)证明定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等．(8)探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．(9)理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．(10)了解三角形重心的概念.考情分析　　该内容主要是以选择题、填空题、证明题的形式来考查，分值为3～12分．主要考查的内容为：(1)三角形的三边关系；(2)三角形中的有关线段；(3)三角形中有关角度的计算；(4)全等三角形的判定；(5)全等三角形的性质．尤其是全等三角形的判定和性质，这两个知识点几乎每年各地市都考．预测这两个知识点依然是2021年中考的热点，建议加强对判定方法、性质的理解，多做练习加以巩固. 一、三角形的概念和性质1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的______条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接．2. 三角形的分类(1)按角分三角形(2)按边分三角形3. 三角形的高、中线、角平分线、中位线(1)高：在三角形中，过一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和________之间的线段叫做三角形的高．三条高的交点叫做三角形的________．注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线．(2)中线：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的________的线段叫做三角形的中线；三角形的三条中线的交点叫做三角形的________．(3)角平分线：在三角形中，一个________角的平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的________叫做三角形的角平分线；三角形的三条角平分线的交点叫做三角形的________．(4)中位线：连接三角形两边________的线段叫做三角形的中位线；三角形的中位线________于第三边，且等于第三边的________．4. 三角形的性质(1)三角形的内角和为________．(2)三角形的外角和为________．(3)三角形的一个外角等于和它________的两个内角的和；三角形的一个________大于与它不相邻的任何一个________．(4)三角形的任意两边之和________第三边，任意两边之差________第三边．二、全等三角形1. 全等图形：能够完全________的两个图形称为全等图形；全等图形的形状和大小都________．2. 全等三角形(1)定义：能够完全________的两个三角形叫做全等三角形．(2)性质：①全等三角形对应边________；②全等三角形对应角________．3. 判定(1)对应________相等的两个三角形全等(SSS)．(2)________和它们的________对应相等的两个三角形全等(ASA)．(3)________和其中一角的________对应相等的两个三角形全等(AAS)．(4)________和它们的________对应相等的两个三角形全等(SAS)．(5)________和一条________对应相等的两个直角三角形全等(HL)．  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,　　　　　　　　　　　　　　　三角形中的有关线段  (梧州，第14小题，3分)如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BC＝6 cm，则DE的长度是________cm.【思路点拨】由于D，E分别是AB，AC的中点，故可利用三角形的中位线定理得到DE＝BC＝×6＝3 cm.小结三角形的中位线定理不仅反映了线段之间的位置关系，而且也反映了线段之间的数量关系．利用这一定理，可以实现位置关系与数量关系之间的转化.  (玉林、防城港，第6小题，3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是(　　)A．AD＝AE  B．DB＝ECC．∠ADE＝∠C  D．DE＝BC,　　　　　　　　　　　　　　　三角形的三边关系  (贺州，第7小题，3分)一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为(　　)A．12  B．16  C．20  D．16或20【思路点拨】本题考查三角形的三边关系及等腰三角形的性质．分类讨论：若腰长为4，因为4＋4＝8，此时不能构成三角形；若腰长为8，因为8－4<8<8＋4，此时能构成三角形，故C选项正确． (来宾，第18小题，3分)在长度为2，5，6，8的四条线段中，任取三条线段，可构成________个不同的三角形．,　　　　　　　　　　　　　　　三角形中有关角度的计算 (北部湾经济区，第6小题，3分)如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于(　　)A．40°  B．45°  C．50°  D．55°【思路点拨】∠ACD＝∠A+∠B＝60°＋40°＝100°，又因为CE平分∠ACD，所以∠ECD＝∠ACD＝100°＝50°. (柳州，第10小题，3分)如图，图中∠1的大小等于(　　)A．40°  B．50°C．60°  D．70°  ,　　　　　　　　　　　　　　　全等三角形的性质和判定)  (柳州，第20小题，6分) 如图，已知OC平分∠MON，点A、B分别在射线OM、ON上，且OA＝OB.求证：△AOC≌△BOC.【思路点拨】本题考查全等三角形的判定定理．根据两边及其角边分别对应相等的两个三角形全等，可以判定△AOC≌△BOC.  小结在判定两个三角形全等时必须具备的条件中，“边”是不可缺少的，边边角(SSA)和角角角(AAA)是不能作为判定两个三角形全等的方法．这就要求证明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已经具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要证明结论的内在联系，从而选择最适当的方法. (河池，第22小题，8分) (1)如图①，已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2.求证：△ACE≌△BCE；(2)如图②，已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4.探究AE与BE的数量关系，并说明理由． 
1. 如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C等于(　　)A．100°  B．80°  C．60°  D．40°2. 三角形的下列线段中，能将三角形分成面积相等的两部分的是(　　)A．中线  B．角平分线C．高  D．中位线3. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是(　　)A．1 cm，2 cm，4 cm  B．4 cm，6 cm，8 cmC．5 cm，6 cm，12 cm  D．2 cm，3 cm，5 cm4. 如图，在△ABC中，D，E两点分别在BC，AC上，若BD＝CD，∠B＝∠CDE，DE＝2，则AB的长度是(　　)A．4  B．5  C．6  D．7,第4题图)　　　,第5题图)5. 一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是(　　)A．75°  B．60°  C．65°  D．55°6. 如图所示，在△ABC中，BC＝8，点D是AC的中点，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，则AC的长是(　　)A．4  B．6  C．8  D．10,第6题图)　　　,第7题图)7. 如图，下列条件中不能证明△ABD≌△ACD的是(　　)A．BD＝DC，AB＝ACB．∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CADC．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CADD．∠B＝∠C，BD＝DC8. 如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为(　　)A．3  B．4C．3  D．49. 在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝2∠B，则∠B＝________.10. 如图，BE是△ABC的角平分线，AD是△ABC的高，∠ABC＝66°，则∠AOE＝________.,第10题图)　　　,第11题图)11. 如图所示，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△DBE.(只需添加一个即可)　.12. (百色) 已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，BC＝EF，∠B＝∠E.求证：(1)△ABC≌△DEF；(2)AF＝DC.       13. 如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B，C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：BE＝CF.         14. 如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1＝∠B.求证：AB＝AC＋CD.    第18讲　三角形的有关概念和性质、全等三角形【基础梳理】一、1.三　3.(1)垂足　一点　(2)中点　重心　(3)内　线段　一点　(4)中点　平行　一半　4.(1)180°(2)360°　(3)不相邻　外角　内角　(4)大于　小于二、1.重合　相同　2.(1)重合　(2)①相等　②相等3．(1)三边　(2)两角　夹边　(3)两角　对边(4)两边　夹角　(5)斜边　直角边【重点突破】[例1]3　[变式1]D　[例2]C　[变式2]2　[例3]C　[变式3]D[例4]证明：∵OC平分∠MON，∴∠AOC＝∠BOC.在△AOC和△BOC中，∴△AOC≌△BOC(SAS)．[变式4](1)证明：在△ACE与△BCE中， ∴△ACE≌△BCE.(2)解：AE＝BE.理由：如图，作∠DAF＝∠B，交DE的延长线于点F，在△ADF与△BCE中，∴△ADF≌△BCE.∴AF＝BE，∠AFD＝∠BEC.∵∠BEC＝∠AEF，∴∠AFD＝∠AEF.∴AF＝AE.又∵AF＝BE，∴AE＝BE. 【达标检测】1．B　2.A　3.B　4.A　5.A　6.C　7.D　8.B　9．40°　10.57°　11.BC＝BE(答案不唯一)12．证明：(1)∵AB∥DE，∴∠A＝∠D. 在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(AAS)．(2)由(1)可得AC＝DF，∴AC－CF＝DF－FC.∴AF＝DC.13．证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD，在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴BE＝CF.14．证明：∵∠1＝∠B，∴∠AED＝2∠B，DE＝BE，∵∠C＝2∠B，∴∠C＝∠AED.在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED(AAS)∴AC＝AE，CD＝DE.∴CD＝BE.∴AB＝AE＋EB＝AC＋CD.