河南省实验中学2022-2023学年高二数学下学期期中考试试题（Word版附答案）

河南省实验中学2022-2023学年下期期中试卷

高二  数学 

（时间：120分钟，满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知函数，则　　

A． B． C． D．

2.已知等比数列的各项均为正数，且，则　　

A．3 B．4 C．5 D．6

3.将3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有　　排法．

A．120 B．24 C．48 D．96

4.已知表示等差数列的前项和，且，那么　　

A． B． C． D．

5.若，则　　

A． B．1 C．15 D．16

6.数列中，，为正整数），则　　

A． B． C． D．

7.函数存在两个极值点，则实数的取值范围是　

A．  B．    C． D．

8.将4个A和2个B随机排成一行，则2个B不相邻的概率为　

A．   B． C． D．

9.函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是　

A． B． C． D．

10.数列满足，，，，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

11.设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是　　

A． B． C． D．

12.设，则　　

A． B． C． D．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.在的展开式中，的系数为   　．（用数字作答）

14.设数列，均为等差数列，它们的前项和分别为，，若，则　　．

15.在学雷锋志愿活动中，安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有   　种．

16.已知正实数，满足，则的最小值为   　．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，其

余试题每题12分）

17.已知{an}满足：，，．

(1)求an；

(2)令，求数列{bn}的前n项和Tn．

18.已知函数f(x)＝x2－2x＋aln x．

(1)若函数在x＝1处的切线与直线x－y－2＝0垂直，求实数a的值；

(2)当a>0时，讨论函数的单调性．

19.设数列的前n项和为，且．

(1)求；      (2)求数列的前n项和．

20.如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，，M为BC的中点．

(1)证明：AM⊥平面PBD；

(2)求二面角P－AM－D的正弦值．

21.已知椭圆，离心率，过点．

(1)求C的方程；

(2)直线过点，交椭圆与A、B两点，记 ，证明．

22.已知函数．

(1)若时，恒成立，求的取值范围；

(2)记，讨论函数与的交点个数．

河南省实验中学2022--2023高二数学期中考试答案

参考答案

13．             14．              15．150              16．1

9.解：函数的定义域是，在有解，

即，即，解得，所以的取值范围是．

10.解：数列满足，则，且，

数列是以3为首项，3为公比的等比数列，则，即，

又，，转化为对恒成立，即，

又数列是递增数列，则当时，，即，

故实数的取值范围是．

11.解：设，，即，

，在上单调递减，又，

不等式，

即，，原不等式的解集为．

12.解：由，令，，

所以，因为，

因为，所以，，故，所以在上单调递减，

又，所以，

所以，即，所以．

由，令，，所以，所以在上单调递增，所以，所以，

即，所以，综上，．

16.解：，即，

设，则，且，所以在上单调递增，

正实数，，，即，所以，等价于，

即，则，于是最小值为1．

17.解：(1){an}满足：，则{an}为等差数列，，，

即，解得，；......................5分

(2)  ，

则．......................10分

18.解：函数定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝2x－2＋．

(1)由已知得f′(1)＝2×1－2＋a＝－1，得a＝－1．..............4分

(2)f′(x)＝2x－2＋＝(x>0)，对于方程2x2－2x＋a＝0，记Δ＝4－8a.

①当Δ≤0，即a≥时，f′(x)≥0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

②当Δ>0，即0<a<时，令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝.又a>0，故x2>x1>0.

当时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，

当时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．

综上所述，当a≥时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当0<a<时，函数f(x)在上单调递增，上单调递减，

在上单调递增．..............12分

19.解：(1)当n＝1时，2a1+1＝3a1，∴a1＝1，又，∴可知an≠0，

当n≥2时，由，得2Sn﹣1+1＝3an﹣1，

两式相减得2an＝3an﹣3an﹣1，∴an＝3an﹣1，∴{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴．..............6分

(2)由(1)可得，∴，

∴，

∴，

∴．..............12分

20.解： (1)证明：为的中点，，又四棱锥的底面是矩形，

，，，

又，，

底面，底面，

，又，且，平面，平面．........5分

(2)平面，又，平面，

，，又四棱锥的底面是矩形，

，建立如下图所示的空间直角坐标系，设：

，，，，

平面，平面的法向量为，

设平面的法向量为，

则，取，

二面角P－AM－D的余弦值为：

，

于是二面角P－AM－D的正弦值为...............12分

21.解：(1)由题得，解得，于是；..............4分

(2)直线的斜率不存在时，易得；

直线的斜率存在时，可设为，联立方程即，

消可得，易得，设，

韦达定理可得；

，

韦达代入得，得证．..............12分

22..解：(1)，．，，

当时，，单调递增，，不等式成立，

当时，．，，单调递减，，这与题设矛盾．综上，的取值范围为，．..............5分

(2)  记，则，．

记，则，单调递增，且由唯一零点，于是在单调递减，单调递增，在处取得最小值．

当，即时，，

故在上单调递增，在上有唯一零点;

当，即时，，

，于是有两个零点，且，

于是在单调递增，单调递减，单调递增，

又，则，，，

，则由零点存在定理可得在存在唯一零点，在存在唯一零点，故此时有三个零点．

综上可得时，有一个交点；时，有三个交点．..............12分