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    这是一份2024年高考数学一轮复习(新高考方案)课时跟踪检测(八) 函数的奇偶性与周期性、对称性,共5页。试卷主要包含了全员必做题,重点选做题等内容,欢迎下载使用。


    课时跟踪检测() 函数的奇偶性与周期性、对称性

    一、全员必做题

    1.(2023·郑州模拟)下列函数为奇函数的是(  )

    A.yx3+1  B.y=2x+2x

    C.yx|x|  D.y=log2x

    解析:选C 对于A,yf(x)=x3+1定义域为R,则f(-x)=-x3+1,所以yx3+1为非奇非偶函数,故A错误;对于B,yg(x)=2x+2x定义域为R,则g(-x)=2x+2xg(x),即y=2x+2x为偶函数,故B错误;对于C,yh(x)=x|x|定义域为R,则h(-x)=-x|-x|=-x|x|=-h(x),即yx|x|为奇函数,故C正确;对于D,y=log2x定义域为(0,+),所以y=log2x为非奇非偶函数,故D错误;故选C.

    2.设f(x)是定义在R上周期为2的函数,当x(-1,1)时,f(x)=f等于(  )

    A.-7  B.1  C.  D.7

    解析:选B f(x)在R上的周期为2,ff=-4×2+2=1.

    3.(2022·萍乡三模)已知定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称,且当x1时,f(x)=x2mxn,若f(-1)=-7,则3mn=(  )

    A.7  B.2

    C.-2  D.-

    解析:选C 由已知,得f(3)=-f(-1)=7.故f(3)=323mn=7,即3mn=-2.

    4.(2023·济宁一模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-2)=-f(x),则f(2 022)=(  )

    A.0  B.1 

    C.-1  D.2 022

    解析:选A 因为f(x-2)=-f(x),可得f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为4,又函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(2)=-f(0)=0,故f(2 022)=f(505×4+2)=f(2)=0.

    5.已知定义在R上的函数yf(x+1)是偶函数,且在(0,+)上单调递增,则满足f(2x)>f(x+3)的x的取值范围为(  )

    A.(3,+)

    B.(3,+)

    C.(-,-1)(3,+)

    D.(-,-1)

    解析:选A f(2x)>f(x+3),即f(2x-1+1)>f(x+2+1),因为yf(x+1)是定义在R上的偶函数,且在(0,+)上单调递增,所以|2x-1|>|x+2|,解得x>3或x<-.

    6.若f(x)=exaex为奇函数,则满足f(x-1)>-e2x的取值范围是(  )

    A.(-2,+)  B.(-1,+)

    C.(2,+)  D.(3,+)

    解析:选B f(x)是定义域为R的奇函数,f(0)=1-a=0,a=1,f(x)=ex-exf(x)为R上的增函数,又f(-2)=e-2-e2-e2原不等式可化为f(x-1)>f(-2),x-1>-2,即x>-1.

    7.(2023·荆州中学高三开学考试)设函数f(x)=,若函数f(x)在R上的最大值为M,最小值为m,则Mm=________.

    解析:因为f(x)=,其定义域为R,又f(-x)=-=-f(x),故f(x)为奇函数.故Mm=0.

    答案:0

    8.(2022·烟台三模)f(x)=g(x)·ln(x2-1)为奇函数,则g(x)的表达式可以为g(x)=_______.

    解析:由f(x)=g(x)·ln(x2-1)为奇函数,则有f(-x)=-f(x),即g(-x)·ln(x2-1)=-g(x)·ln(x2-1)恒成立,则g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数,则g(x)的表达式可以为g(x)=xg(x)=g(x)=sin x等.

    答案:x(答案不唯一)

    9.已知f(x)是定义在R上的函数,对任意实数x都有f(4+x)+f(x)=0,且当0<x<4时,f(x)=log4x,则f(2 022)=________.

    解析:因为f(4+x)+f(x)=0,则f(8+x)+f(4+x)=0,故f(8+x)=f(x),故f(x)的周期为8,则f(2 022)=f(6),对于f(4+x)+f(x)=0,令x=2,可得f(6)=-f(2)=-log42=-,即f(2 022)=-.

    答案:-

    10.已知函数f(x)(xR)满足f(2-x)=-f(x),若函数yyf(x)图象的交点为(x1y1),(x2y2),(x3y3),(x4y4),则x1y1x2y2x3y3x4y4=______.

    解析:函数f(x)(xR)满足f(2-x)=-f(x),f(x)的图象关于点(1,0)对称,而函数y的图象也关于点(1,0)对称,函数yyf(x)图象的交点也关于点(1,0)对称,x1x2x3x4=4,y1y2y3y4=0,x1y1x2y2x3y3x4y4=4.

    答案:4

    11.已知g(x)为偶函数,h(x)为奇函数,且满足g(x)-h(x)=2x,若存在x[1,1],使得不等式mg(x)+h(x)0有解,求实数m的最大值.

    解:因为g(x)-h(x)=2x ,所以g(-x)-h(-x)=2x,又g(x)为偶函数,h(x)为奇函数,所以g(x)+h(x)=2x ,联立①②,得g(x)=h(x)=.由mg(x)+h(x)0,得m=1-.因为y=1-为增函数,所以当x[1,1]时,max=1-,所以m,即实数m的最大值为.

    12.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x[0,2]时,f(x)=2xx2.

    (1)求证:f(x)是周期函数;

    (2)当x[2,4]时,求f(x)的解析式;

    (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 018)的值.

    解:(1)证明:f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x).

    f(x)是周期为4的周期函数.

    (2)当x[2,0]时,-x[0,2],由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2xx2

    f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x)=-2xx2f(x)=x2+2x.

    又当x[2,4]时,x-4[2,0]

    f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).

    f(x)是周期为4的周期函数,

    f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.

    x[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.

    (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.

    f(x)是周期为4的周期函数,

    f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015)=0.

    f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=f(0)+f(1)+f(2)=1,

    所以f(0)+f(1)+f(2)+f(2 018)=1.

    二、重点选做题

    1.(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)=f(x+2),且当x[0,1]时,f(x)=x,则下列说法正确的是(  )

    A.f(x)是偶函数  B.f(x)是周期函数

    C.f=-1  D.x[-1,0)时,f(x)=x

    解析:选AB 因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,故A正确;又f(x)=f(x+2),所以f(x)是以2为周期的周期函数,故B正确;设x[1,0),则-x(0,1],所以f(-x)=-x,又f(x)是偶函数,则f(x)=-x,即当x[-1,0)时f(x)=-xfff=-,故C,D错误;故选A、B.

    2.(多选)已知函数f(x)的定义域为Rf(x+4)=f(x),f(x+1)=f(1-x),且当x[1,1]时,f(x)=|4x-1|,则以下结论正确的是(  )

    A.f(2 022)=0

    B.G(x)=f(x)-[2,4]内零点之和为6

    C.f(x)在区间[4,5]内单调递减

    D.f(x)在[2,6]内的值域为[0,3]

    解析:选ABD 由题意,f(x)的周期为4且关于x=1对称,f(2 022)=f(4×505+2)=f(2)=f(0)=0,A正确;又x[1,1]f(x)=|4x-1|,可得f(x)的部分图象如图所示,

    由图知G(x)=f(x)-[2,4]内6个零点关于x=1对称,故零点之和为6,B正确;由图象及对称性知f(x)在[4,5]内单调递增,在[2,6]内的值域为[0,3],C错误,D正确.故选A、B、D.

    3.函数f(x)的定义域为D={x|x0},且满足对于任意x1x2D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).

    (1)求f(1)的值;

    (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;

    (3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+)上单调递增,求x的取值范围.

    解:(1)因为对于任意x1x2D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.

    (2)f(x)为偶函数.证明如下:f(x)的定义域关于原点对称,令x1x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2x,得f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.

    (3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知f(x)是偶函数,所以f(x-1)<2等价于f(|x-1|)<f(16).又f(x)在(0,+)上单调递增,所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x1,所以x的取值范围是(-15,1)(1,17).

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