2024年高考数学一轮复习（新高考方案）课时跟踪检测(三十六) 平面向量数量积

这是一份2024年高考数学一轮复习（新高考方案）课时跟踪检测(三十六) 平面向量数量积，共6页。
课时跟踪检测(三十六) 平面向量数量积1．(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　 )A．－2  B．－1  C．1  D．2解析：选C　由|a－2b|＝3，得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，又|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝1，故选C.2．设向量a＝(1,1)，b＝(－1,3)，c＝(2,1)且(a－λb)⊥c，则λ等于(　 )A．3  B．2  C．－2  D．－3解析：选A　由题意得a－λb＝(1＋λ，1－3λ)，又∵(a－λb)⊥c，c＝(2,1)，∴(a－λb)·c＝0，即2(1＋λ)＋1－3λ＝0，∴λ＝3.3．已知a和b为非零向量，且|2a＋b|＝|2a－b|，a与b的夹角为(　 )A.  B．  C.  D．解析：选C　因为|2a＋b|＝|2a－b|，则|2a＋b|2＝|2a－b|2，即4a2＋4a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，所以a·b＝0，又因为a和b为非零向量，则a与b的夹角为.4．设向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，向量a与b的夹角为锐角，则x的取值范围为(　 )A．(－2,2)  B．(0，＋∞)  C．(0,2)∪(2，＋∞)  D．[－2,2]解析：选C　由向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，因为向量a与b的夹角为锐角，所以x×1＋(－4)×(－x)>0且－x2≠－4，解得x>0且x≠2，即x的取值范围为(0,2)∪(2，＋∞)．5．已知向量a，b满足|a|＝1，|a－2b|＝，〈a，b〉＝150°，则|b|＝(　 )A．2  B．  C．1  D．解析：选D　因为|a－2b|＝，所以|a－2b|2＝|a|2＋4|b|2－4a·b＝|a|2＋4|b|2－4|a||b|cos〈ab〉＝7，因为|a|＝1，〈a，b〉＝150°，所以1＋4|b|2＋2|b|＝7，即2|b|2＋|b|－3＝0，解得|b|＝(负值舍去)，所以|b|＝.6．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝(　 )A.  B．C.  D．解析：选A　设＝a，＝b，∴|a|＝|b|＝2，且〈a，b〉＝，＝－＝(1－λ)b－a，＝－＝λa－b，·＝[(1－λ)b－a]·(λa－b)＝－2λ2＋2λ－2＝－，∴λ＝.7．(多选)已知向量a＝(1,3)，b＝(2，－4)，则下列结论正确的是(　 )A．(a＋b)⊥aB．|2a＋b|＝C．向量a，b的夹角为D．b在a方向上的投影向量是a解析：选AC　对于A，a＋b＝(3，－1)，由(a＋b)·a＝3×1＋(－1)×3＝0，得(a＋b)⊥a，故A正确；对于B,2a＋b＝2(1,3)＋(2，－4)＝(4,2)，|2a＋b|＝＝2，故B错误；对于C，a·b＝1×2＋3×(－4)＝－10，|a|＝＝，|b|＝＝2，则cos〈a，b〉＝＝＝－，即向量a，b的夹角为，故C正确；对于D，b在a方向上的投影向量是a＝a＝－a，故D错误．8．(2023·黄冈质检)圆内接四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，BD是圆的直径，则·等于(　 )A．12  B．－12  C．20  D．－20解析：选B　如图所示，由题知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝2，CD＝4，∴·＝(＋)·＝·＋D·＝||||cos∠BDA－||||cos∠BDC＝||2－||2＝4－16＝－12.9.长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小为|v2|＝4 km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ＝(　 )A．－  B．－  C．－  D．－解析：选B　由题意知(v1＋v2)·v2＝0，则v1·v2＋v＝|v1||v2|cos θ＋v＝0，因为|v1|＝10，|v2|＝4，即10×4cos θ＋42＝0，所以cos θ＝－.10．(多选)在平面四边形ABCD中，||＝||＝||＝·＝1，·＝，则(　 )A．||＝1B．|＋|＝|－|C.＝ D.·＝解析：选ABD　因为||＝||＝||＝1，·＝||||cos B＝，可得B＝，所以△ABC为等边三角形，则||＝1，故A正确；因为||＝1，所以2＝1，又·＝1，所以2＝·，得2－·＝·(－)＝·＝0，所以AC⊥CD，则|＋|＝|－|，故B正确；根据以上分析作图，由于BC与AD不平行，故C错误；建立如图所示的平面直角坐标系，则B，C，D，＝，＝，所以·＝，故D正确．11．(2023·淄博模拟)如图在△ABC中，∠ABC＝90°，F为AB中点，CE＝3，CB＝8，AB＝12，则·＝(　 )A．－15  　　　 B．－13  C．13  　　　 D．15解析：选C　建立如图所示的平面直角坐标系，则A(12,0)，B(0,0)，C(0,8)，F(6,0)，又CE＝3，CB＝8，AB＝12，则CF＝＝10，即CE＝FC，即FE＝FC，则＝＋＝(6,0)＋(－6,8)＝，则＝，＝，则·＝×＋2＝13，故选C.12．(多选)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点M为线段AB的中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的是(　 )A.＝＋B.＝3C．||＝D.与夹角的余弦值为解析：选AC　对A，＝＋＝＋，故A正确；对B，设＝λ，则由选项A知，λ＝＋，故＝＋，因为B，N，C三点共线，故＋＝1，解得λ＝，故＝＋，故＋＝＋＋，所以＝＋，即＝2，故B错误；对C，由余弦定理，得cos∠BAC＝＝－，且＝＋，故||2＝||2＋||2＋||||·，即||2＝1＋－＝，所以||＝，故C正确；对D，在△ANC中，AN＝，AC＝2，NC＝BC＝，故cos∠NAC＝＝＝，故D错误．13．(2022·全国甲卷)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝__________.解析：∵a⊥b，∴a·b＝m＋3(m＋1)＝4m＋3＝0，解得m＝－.答案：－14．(2023·扬州模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝，则a与b的夹角为________．解析：|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2a·b＋4＝5－2a·b＝7，∴a·b＝－1，又θ∈[0，π]cos θ＝＝－，∴θ＝.答案：15．在平面直角坐标系中，力F(2,3)作用一物体，使物体从点A(2,0)移动到点B(4,0)，则力F对物体做的功为________．解析：根据题意，力F对物体做的功为W＝F·，又A(2,0)，B(4,0)，则＝(4－2,0－0)＝(2,0)，又F＝(2,3), 所以W＝F·＝2×2＋3×0＝4.答案：416.最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，他用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．如图，某数学探究小组仿照“勾股圆方图”，利用6个全等的三角形和一个小的正六边形ABCDEF，拼成一个大的正六边形GHMNPQ，若AB＝AG＝1，则·＝________.解析：在正六边形ABCDEF中，BE⊥FD，则·＝0.所以·＝·(＋)＝·＋·＝·.因为六边形GHMNPQ是正六边形，所以∠PFQ＝60°，且G，F，E，P四点共线．又AB＝AG＝1，所以GF＝FE＝1，所以·＝·＝||||·cos∠PFQ＝1×2×＝1.答案：1