2023年吉林省长春市二道区赫行实验学校中考数学质检试卷（3月份）(含答案解析)

这是一份2023年吉林省长春市二道区赫行实验学校中考数学质检试卷（3月份）(含答案解析)，共21页。试卷主要包含了 因式分解等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省长春市二道区赫行实验学校中考数学质检试卷（3月份）1.  如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是(    )A.
B.
C.
D. 2.  2023年春运期间长春站预计发送旅客2520000人次，与2021年同期相比增加，数据2520000用科学记数法可以表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )
A.  B.  C.  D. 4.  已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为(    )A. 3 B.  C. 9 D. 5.  某品牌净水器的进价为1600元，商店以2000元的价格出售.春节期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该净水器最多可降价多少元？若设净水器可降价x元，则可列不等式为(    )A.  B.
C.  D. 6.  如图是一把圆规的平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂.已知，使用时，以点A为支撑点，笔芯端点B可绕点A旋转作出圆.若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径AB长度为(    )A.
B.
C.
D.
 7.  已知点P是的边OA上一点，根据尺规作图痕迹，射线PQ不一定与OB平行的是(    )A.  B.
C.  D. 8.  如图，正方形ABCD的顶点分别在函数和的图象上，若轴，点C的纵坐标为4，则的值为(    )
A. 26 B. 28 C. 30 D. 329.  因式分解：______ .10.  若代数式有意义，则实数x的取值范围是______ .11.  已知，且m是整数，请写出一个符合要求的m的值______ .12.  《算法统宗》是我国古代的重要的数学著作，几名学生要凑钱购买1本书.若每人出9元，则多了5元；若每人出8元，则少了2元.问学生人数和该书单价各是多少？设学生有x人，书的单价为y元，则可列方程组为______ .13.  我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形如图所示若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______.
 14.  如图，已知平面直角坐标系中的四个点：，，，二次函数的图象经过其中任意三个点，当a的值最大时，二次函数的解析式为______ .
 15.  计算：16.  小吉和小林进行跳绳比赛.已知小吉每分钟比小林多跳18个，小吉跳135个所用的时间与小林跳120个所用的时间相等.求小林每分钟跳绳的个数.17.  两位同学去食堂就餐.如图是一张餐桌的示意图，A、B两位同学随机坐在①、②、③、④四个座位中，请用画树状图或列表的方法求A、B两位同学坐在正对面的概率.
18.  图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹.
在图①中的AC边上确定一点D，连结BD，使得；
在图②中的AB边上确定一点E，连结CE，使得；
在图③中的AB边上确定一点M，AC边上确定一点N，连结MN，使得19.  如图，在中，，BD平分交AC于点点E为AB的中点，连接DE，过点E作交CB的延长线于点
求证：四边形DEFB是平行四边形；
当，时，则CF的长为______ .
20.  第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕.某校七、八年级各有300名学生.为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理得分用x表示：A：，B：，C：，D：，E：，F：，并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：

已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，
请根据以上信息，完成下列问题：
______ ，______ ；
八年级测试成绩的中位数是______ ；
若测试成绩不低于85分，则认定该学生对冬奥会关注程度高.请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人？21.  周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始匀速往返练习.在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离米与时间秒的函数图象如图所示.

父亲的速度为______ 米/秒，儿子的速度为______ 米/秒；
当时，求儿子在竞走过程中y与x之间的函数关系式；
若不计转向时间，按照这一速度练习10分钟，父子迎面相遇的次数为______ .22.  【感知】如图，在中，，，，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、
证明：≌
【探究】证明：点A、C、G、D均在以AC为直径的圆上.
【拓展】在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为______ .
23.  如图，在中，，，点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动，点Q为线段BP的中点.点D与点C在PQ的同侧，且，设点P的运动时间为秒
线段PQ的长为______ 用含t的代数式表示；
当点D落在AC边上时，求PD的长；
当与重叠部分是轴对称图形时，求t的值；
当点D到任意两边距离相等时，直接写出t的值.
24.  如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为，，顶点为C，与y轴交点为点P是抛物线上一个动点，其横坐标为
求抛物线的函数表达式；
过点D作DE垂直抛物线的对称轴于点E，求的值；
设抛物线在P、A两点之间的部分图形为包含P、A两点，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的取值范围；
已知平面内一点Q的坐标为，点M的坐标为，连结PM、QM，以PM、QM为边构造矩形当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，或者y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围.

答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：根据俯视图的定义，从上往下看，C符合题意．
故选：
根据三视图的定义解决此题．
本题主要考查三视图，熟练掌握三视图的定义是解决本题的关键．
 2.【答案】B 【解析】解：
故选：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
 3.【答案】B 【解析】解：由图可知，，，得，那么A错误，故A不符合题意．
B.由图可知，，，得，那么B正确，故B符合题意．
C.由图可知，，，得，那么C错误，故C不符合题意．
D.由图可知，，，得，那么D错误，故D不符合题意．
故选：
根据数轴上的点表示的数，得，，再根据绝对值的定义、实数的加法法则、实数的减法法则、实数的乘法法则依次进行判断．
本题主要考查数轴上的点表示的数、绝对值、实数的加法、实数的减法、实数的乘法，熟练掌握数轴上的点表示的数、绝对值的定义、实数的加法法则、实数的减法法则、实数的乘法法则是解决本题的关键．
 4.【答案】C 【解析】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得
故选：
根据一元二次方程根的判别式的意义，由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则有，得到关于m的方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 5.【答案】A 【解析】解：根据题意得
故选：
利用利润率，结合利润率不低于，可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 6.【答案】A 【解析】解：作交AB于点C，
，
平分，点C平分AB，
，
，
，
，
，
故选：
先作交AB于点C，然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 7.【答案】C 【解析】解：A、根据同位角相等，两直线平行，可得PQ与OB平行，故不符合题意；
B、根据同位角相等，两直线平行，可得PQ与OB平行，故不符合题意；
C、根据尺规作图痕迹，射线PQ不一定与OB平行，故符合题意；
D、根据尺规作图痕迹，射线PQ一定与OB平行，故不符合题意；
故选：
根据平行线的定义判断图形即可．
本题考查了作图-基本作图，平行线的判定．熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
 8.【答案】D 【解析】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图，
四边形ABCD是正方形，
，
设，，
轴，
，，，
，B都在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
在反比例函数的图象上，在的图象上，
，，
；
故选：
连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，设，，根据轴，可得，，，即知，从而，，由在反比例函数的图象上，在的图象上，得，，即得
本题考查反比例函数及应用，涉及正方形性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标．
 9.【答案】 【解析】解：
故答案为：
运用提公因式法进行因式分解．
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解决本题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：要使代数式有意义，必须，
解得，
故答案为：
根据分式有意义的条件得出，再求出答案即可．
本题考查了分式有意义的条件，能根据分式有意义的条件得出是解此题的关键，注意：式子中分母
 11.【答案】3或4 【解析】解：，


是3或
故答案为：3或
根据算术平方根的性质被开方数越大，则这个数的算术平方根也越大解决此题．
本题主要考查估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的性质解决此题．
 12.【答案】 【解析】解：每人出9元，多了5元，
；
每人出8元，少了2元，

根据题意可列方程组
故答案为：
根据“若每人出9元，则多了5元；若每人出8元，则少了2元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 13.【答案】289 【解析】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，
则四边形EODC为正方形，
，
，
，
，
，
而，
①，
小正方形的面积为49，
，
②，
把①代人②中得
，
，
负值舍去，
大正方形的面积为
故答案为：
如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到，，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于AB的一元二次方程解决问题．
本题主要考查了三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式和一元二次方程，综合性强，能力要求高．
 14.【答案】 【解析】解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，，
A、B、C组成的二次函数开口向上，；
B、C、D三点组成的二次函数开口向下，；
A、D、C三点组成的二次函数开口向下，；
、B、D组成的二次函数的图象的开口小于A、B、C组成的二次函数的开口大小．
、B、D组成的二次函数的图象中，a的值最大，
当抛物线过A、B、D三点时，则，
解得，
故a的值最大时二次函数的解析式为，
故答案为：
比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向和大小，开口向下时，，只需把开口向上，开口较小的二次函数解析式求出即可．
本题考查了二次函数与系数的关系，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质和待定系数法求函数的解析式．
 15.【答案】解：


 【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 16.【答案】解：设小林每分钟跳绳x个，则小吉每分钟跳绳个，
根据题意列方程，得，
即，
解得，
经检验是原方程的解，
答：小林每分钟跳绳144个． 【解析】设小林每分钟跳绳x个，则小吉每分钟跳绳个，根据时间相等列方程求解即可．
本题主要考查分式方程，根据时间相等列方程求解是解题的关键．
 17.【答案】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中A、B两位同学坐在正对面的结果有：①②，②①，③④，④③，共4种，
、B两位同学坐在正对面的概率为 【解析】画树状图得出所有等可能的结果数和A、B两位同学坐在正对面的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 18.【答案】解：如图①，点D即为所求．
如图②，点E即为所求．
如图③，点M，N即为所求．
 【解析】若，则，即，取格点P，Q，使，连接PQ，交AC于点D，连接BD即可．
若，则，取格点F，G，使，连接FG，交AB于点E，连接CE即可．
若，则，分别取AB，AC的中点M，N，连接MN即可．
本题考查作图-应用与设计作图、三角形的面积，学会利用数形结合思想解决问题是解答本题的关键．
 19.【答案】 【解析】证明：，BD平分交AC于点D，
，
点E为AB的中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形DEFB是平行四边形；
解：，BD平分交AC于点D，
，
，
，，
，
是的中位线，
，
四边形DEFB是平行四边形，
，

故答案为：
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
 20.【答案】 【解析】解：由题意得：人，
故，
解得，
故答案为：20，4；
把八年级测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为86，87，
故中位数为，
故答案为：；


人，
故估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有330人．
根据八年级D组人数及其所占百分比即可得出n的值，用n的值分别减去其它各组的频数可得出a的值；
根据中位数的定义解答即可；
用样本估计总体即可．
本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体等知识，掌握数形结合的思想解答是关键．
 21.【答案】  2 8 【解析】解：由图形可知，父亲的速度为米/秒，
儿子的速度为米/秒
故答案为：，2；
当时，设儿子在竞走过程中y与x之间的函数关系式为，
把和代入解析式得：，
解得，
当时，设儿子在竞走过程中y与x之间的函数关系式为；
父亲的速度为米/秒，儿子的速度为2米/秒，
分钟父子所走路程和为米，
父子二人第一次迎面相遇时，两人所走路程之和为200米，
父子二人第二次迎面相遇时，两人所走路程之和为米，
父子二人第三次迎面相遇时，两人所走路程之和为米，
父子二人第四次迎面相遇时，两人所走路程之和为米，
…
父子二人第n次迎面相遇时，两人所走路程之和为米，
令，
解得，
父子二人迎面相遇的次数为8，
故答案为：
根据图象直接求出父亲和儿子的速度；
根据图象中数据，用待定系数法求函数解析式即可；
根据父子二人的速度，即可得10分钟二人所走路程之和，再总结出第n次迎面相遇时，两人所走路程之和米，列方程求出n的值，即可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是求出父子二人第n次迎面相遇时，两人所走路程之和米．
 22.【答案】 【解析】【感知】：证明：，，，
，
，，
在和中，
，
≌；

【探究】
证明：≌，
，
，
，
、C、G、D四点共圆，且均在以AC为直径的圆上；

【拓展】
、C、G、D四点共圆，
点G的运动轨迹为弧CD，
，，
，
，
，，
，
，
点G的运动轨迹的长为
故答案为：
【感知】由SAS可证明≌；
【探究】推出，因为，推出，推出A、C、G、D四点共圆，推出点G的运动轨迹为弧CD，利用弧长公式计算即可；
【拓展】可知点G的运动轨迹为弧CD，求出，由弧长公式可得出答案．
本题考查等腰直角三角形的性质、轨迹、勾股定理、全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确探究点G的轨迹，属于中考常考题型．
 23.【答案】 【解析】解：由题意知，，
，
点Q为BP的中点，
，
故答案为：；
在中，，
，
，
由勾股定理得，，
，
，
，
，
，
，
解得，
；
设QD与AC交于点E，

当与重叠部分是轴对称图形时，则，，
，
，
解得；
当点D到AB与BC距离相等时，则，
，
解得，
，
舍去，
当点D到BC与AC距离相等时，则于G，于H，连接DB、DA、DC，

则四边形BGDP是矩形，
，
，
，
解得，
当点D到AB与AC距离相等时，
同理可得，
解得，
综上：或
根据，再利用中点的定义可得答案；
首先求得，，再根据，求出DP，从而列出方程即可得出答案；
设QD与AC交于点E，由重叠部分是轴对称图形时，则，，根据，即可解决问题；
分点D到AB、BC距离相等或点D到BC、AC距离相等或点D到AB、AC距离相等，分别列出关于t的方程，解方程即可．
本题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质，轴对称图形的性质，三角函数，三角形的面积等知识，运用面积法列方程是解决问题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
 24.【答案】解：设：抛物线的表达式为：，
则；

由抛物线的表达式知，点，，
抛物线的对称轴为，

则，，
则；

点，
①当时，
抛物线在点A处取得最大值，在点P处取得最小值，
即，
即，
解得：不合题意的值已舍去；
②当时，
同理可得：，
则，
解得：表达式无解；
③时，
则抛物线在顶点时取得最大值，在点P处取得最小值，
则，
解得：不合题意的值已舍去；
综上，或；

当点P、M重合时，则，解得：，
①当点M在点P的下方时，即，

由题意得，，
当点P、N达到对称轴两侧对称的位置时，则，这之前矩形内没有函数y的图象；
当时，形区域内的函数y随x的增大而减小如图，
即；
②当点M在点P的上方时，即或，

当点Q在对称轴左侧时，即，此时矩形内的抛物线y最x的增大而增大，
当点P离开顶点时，即，此时矩形内的抛物线y最x的增大而减小，
即或；
综上，或 【解析】用待定系数法即可求解；
由，即可求解；
当时，抛物线在点A处取得最大值，在点P处取得最小值，即，进而求解；当和时，同理可解；
当点P、N达到对称轴两侧对称的位置时，则，这之前矩形内没有函数y的图象，当时，形区域内的函数y随x的增大而减小，即可求解．
本题是对二次函数的综合考查，包括待定系数法求函数解析式，解直角三角形的应用，函数的增减性，矩形的性质，解不等式等，综合性强，难度适中．