2023年吉林省长春市九台区中考数学一模试卷(含答案解析)

2023年吉林省长春市九台区中考数学一模试卷

1.  如图是由一个长方体和一个正方体组成的零件，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2.  2022年10月12日，“天空课堂”第三课顺利开讲，感受航天科技魅力，激发青少年探索宇宙的奥秘，其中水球变“懒”实验，当天在新华网上点击率约达到13000次，数据13000用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，数轴上A，B两点表示的数分别是1和，点B是线段AC中点，则点C所表示的数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是小夏同学家的衣架示意图．已知，，则衣架的宽BC为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在中，，，，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使，下列作法正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，四边形ABCD内接于，，，则的半径为(    )

A. 4
B.
C.
D.

8.  如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为点C为y轴上的一点，连接AC，若的面积为6，则k的值是(    )

A. 6
B.
C. 12
D.

9.  因式分解：______.

10.  关于x的方程有两个相等的实数根，则______.

11.  《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三.问人数羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱.问人数、羊价各是多少？根据题意，可求得合伙买羊的是______ 人.

12.  如图，中，，，以点C为圆心，CA长为半径画弧交BC于点则图中弧AD的长为______结果保留

13.  如图，已知矩形ABCD，，，在其矩形内部有三个小矩形，则这三个小矩形的周长之和为______

14.  如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，点A在点B左侧，根据对称性恒为等腰三角形，我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”.如图2，则抛物线的“完美三角形”斜边AB的长______ .
 

15.  先化简，再求值：，其中

16.  明明家客厅里装有一种开关如图所示，从左到右依次分别控制着楼梯，客厅，走廊，洗手间四盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯．
若明明任意按下一个开关，则下列说法中，正确的是______填字母
A.打开的一定是楼梯灯
B.打开的可能是卧室灯
C.打开的可能是客厅灯
D.打开走廊灯的概率是
若任意按下一个开关后，再按下另三个开关中的一个，则客厅灯和走廊灯亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明．

17.  秋收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收割作业.已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同.求一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷.

18.  如图是边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图，按步骤完成下列问题：
在图1中，画出点D，使得四边形ABDC是平行四边形；
在图2中，在AB边上找点E，使得的面积是面积的；
在图3中，在AB边上找点F，使得
 

19.  如图，在四边形ABCD中，，过点D作的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，
求证：四边形AECD是菱形；
若，的周长为36，求菱形AECD的面积.

20.  国家航天局消息：北京时间2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功.某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：
此次调查中接受调查的人数为______ 人，扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为______ ；
补全条形统计图；
该校共有900人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？
 

21.  近年，净月潭公园将环潭公路改造为东北三省最长的人车分离彩色环保公路，平坦宽敞的路面分橙、黑两色，拓宽了原有的人行步道，成为市民健身的好去处．小明和爸爸参加了此公园举办的“亲子健身赛”，两人的行程千米随时间时变化的图象全程如图所示．
两人出发后______小时相遇，此次“亲子健身赛”的全程是______千米．
求出AB所在直线的函数关系式．
若小明想和爸爸一起到达终点，则需在两人出发小时后，将速度调整为______千米/时．
 

22.  用数学的眼光观察世界：操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，根据以上操作，当点M在EF上时，______ ；
用数学的思维分析世界：将矩形纸片换成正方形纸片ABCD，按照中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接如图2，当点M在EF上时，已得，若改变点P在AD上的位置点P不与点A，D重合，如图3，判断与的数量关系，并说明理由；
用数学的语言描述世界：在的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为10cm，当时，AP的长为______ .
 

23.  如图，在中，，，，点D为边AC的中点.动点P从点A出发，沿折线向点C运动，点P在AB上以每秒1个单位长度的速度运动，在BC上以每秒个单位长度的速度运动，在点P运动过程中，连结PD，将沿PD翻折得到设点P的运动时间为t秒
的长为______ ；
用含t的代数式表示线段BP的长；
当最短时，求的面积；
当四边形为中心对称图形时，直接写出t的值.

24.  在平面直角坐标系中，抛物线、c是常数经过点，点点A在抛物线上，且点A的横坐标为以点A为中心，构造正方形POMN，，且轴.
求该抛物线对应的函数表达式；
若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴右侧.过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接当时，求点B的坐标；
若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围；
当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值.

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：从正面看，底层是一个矩形，上层的右边是一个小正方形，
故选：
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

2.【答案】B 

【解析】解：
故选：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
 

3.【答案】D 

【解析】解：，
，

故选：
根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1解不等式即可．
本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1是解题的关键．
 

4.【答案】C 

【解析】解：数轴上A，B两点表示的数分别是1和，
，
点B是线段AC中点，
，
点C的坐标为：
故选：
首先根据已知条件可以求出线段AB的长度，然后根据即可解答．
本题考查的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较大的数，就用较小的数加上两点间的距离．
 

5.【答案】B 

【解析】解：如图，过点A作于点

，，

，


故选：
如图，过点A作于点根据等腰三角形三线合一的性质，得再根据余弦值的定义，，进而解决此题．
本题主要考查等腰三角形的性质、余弦值的定义，熟练掌握等腰三角形的性质、余弦值的定义是解决本题的关键．
 

6.【答案】D 

【解析】解：若要在BC边上找一点D，使，
则点D应该是线段AB垂直平分线与BC的交点，
故选：
根据“要在BC边上找一点D，使”知点D应该是线段AB垂直平分线与BC的交点，据此求解即可．
本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图和性质．
 

7.【答案】B 

【解析】解：连接OA，OC，

四边形ABCD内接于，


由勾股定理得：
，

的半径为：
故选：
先根据圆内接四边形对角互补得出，由圆周角定理得出，根据可得出答案．
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，解题的关键是熟练运用相关定理．
 

8.【答案】D 

【解析】解：如图，连接OA，

轴，
，
，
而，
，
，

故选：
连结OA，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

9.【答案】 

【解析】解：
故答案为：
首先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：关于x的方程，即有两个相等的实数根，
，即，
解得：
故答案为：
根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，进而建立方程，求出m的值即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
 

11.【答案】24 

【解析】解：若设人数为x，
则可列方程为：，
解得，
故答案为：
根据购买羊的总钱数不变得出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：中，，
，
，
，
弧AD的长为：；
故答案为：
先根据等腰直角三角形的性质可得，根据弧长公式计算即可．
本题考查弧长公式，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

13.【答案】56 

【解析】解：由平移的性质以及矩形周长的定义可知，
这三个小矩形的周长之和为，
故答案为：
由平移的性质将三个矩形周长之和转化为ABCD的周长即可．
本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质是正确解答的前提．
 

14.【答案】2 

【解析】解：过点B作轴于N，如图所示：

由题意得为等腰直角三角形，
，
轴，
，
是等腰直角三角形，
设点B坐标为，
点B在抛物线上，
，
或不合题意，舍去，
点B坐标为，
点A坐标为，

故答案为：
过点B作轴于N，可推出和为等腰直角三角形，设点B坐标为，根据点B在抛物线上，可求得点B和点A的坐标，从而得出AB的长．
本题考查了二次函数的性质、等腰直角三角形的性质，正确理解“完美三角形”的概念并数形结合是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式
，
当时，原式

 

【解析】直接利用平方差公式以及完全平方公式分别化简，再把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了整式的化简求值，正确掌握乘法公式是解题关键．
 

16.【答案】C 

【解析】解：明明家客厅里装有一种开关如图所示，从左到右依次分别控制着楼梯，客厅，走廊，洗手间四盏电灯，
明明任意按下一个开关，打开的不一定是楼梯灯，打开的不可能是卧室灯，打开的可能是客厅灯，打开走廊灯的概率是，
故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C；
画树状图得：

共有12个等可能的结果，客厅灯和走廊灯亮的结果有2个，
客厅灯和走廊灯亮的概率为
分别对4个选项进行判断即可；
画树状图，共有12个等可能的结果，客厅灯和走廊灯亮的结果有2个，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．熟记求随机事件的概率公式是解题的关键．
 

17.【答案】解：设一台B型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台A型收割机平均每天收割小麦公顷，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，

答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷． 

【解析】设一台B型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台A型收割机平均每天收割小麦公顷，利用工作时间=工作总量工作效率，结合一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程．
 

18.【答案】解：如图1中，平行四边形ABDC即为所求作；
如图2中，点E即为所求作；
如图3中，点F即为所求作．
 

【解析】根据平行四边形的判定画出图形即可；
取格点M，N，连接MN交AB于点E，连接CE，点E即为所求作；
取格点E，G，H，连接EG，AH交于点J，连接CJ交AB于点F，点F即为所求作．
本题考查作图-应用与设计，平行四边形的判定，三角形的面积，解直角三角形等知识，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，，
四边形AECD是平行四边形，，
平分，
，
，
，
平行四边形AECD是菱形；
解：由可知，四边形AECD是菱形，
，，，，
的周长为36，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
菱形AECD的面积 

【解析】证四边形AECD是平行四边形，，再证，则，然后由菱形的判定即可得出结论；
由菱形的性质得，，，，再求出，则，然后由勾股定理得，则，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：不关注、关注、比较关注的共有人，占调查人数的，
此次调查中接受调查的人数为人，
，
故答案为：50，；
人，
补全统计图如图所示：

人，
答：估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共有828人．
从统计图中可以得到不关注、关注、比较关注的共有34人，占调查人数的，可求出调查人数；乘以关注”的比例即可得到“关注”对应扇形的圆心角度数；
接受调查的人数乘以非常关注的百分比即可得到非常关注的人数，即可补全统计图；
样本估计总体，样本中“关注”，“比较关注”及“非常关注”的占比，乘以该校人数900人即可求解．
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

21.【答案】1 20 16 

【解析】解：由图象可得，两人出发后1小时相遇，
“亲子健身赛”的全程是千米，
故答案为：1，20；
设AB所在直线的函数关系式是，
函数的图象过点和，
，解得，
所在直线的函数关系式是；
在中，令得，
出发小时，小明距终点还有千米，
若小明想和爸爸一起到达终点，则需在两人出发小时后，将速度调整为千米/时，
故答案为：
由图象可得，两人出发后1小时相遇，全程是千米；
设AB所在直线的函数关系式是，由图象过点和，即得AB所在直线的函数关系式是；
在中，令得，可得出发小时，小明距终点还有千米，即可得到答案．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】或 

【解析】解：由折叠的性质可知，，，
，
，，
，
，
，
故答案为：30；
，理由如下：
四边形ABCD是正方形，
，，
由折叠的性质可知，，
，，
又，
，
；
如图③所示，当点Q在F点下方时，

，
，，
由可知，，
，
设，则，
，
即，
解得：，
；
如图④所示，当点Q在F上方时，

，，，
同理可得，
设，则，
，
，
解得，

综上所述，AP的长为或
故答案为：或
根据折叠的性质，得，解直角三角形MBE得到，进而可得；
只需要证明，即可证明；
由可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设，分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．
本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、全等三角形的性质与判定，三角函数等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
故答案为：；

当时，；
当时，；

当最短时，D，，B共线，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，，


如图1中，当点P与点B重合时，四边形是正方形，是中心对称图形，满足条件，此时

如图2中，当四边形是菱形时，过点A作于点此时

，，
，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的t的值为2或
利用勾股定理求解即可；
分两种情形：点P在线段AB上，点P在线段BC上两种情形，分别求解即可；
当最短时，，，时为等腰直角三角形；
分两种情形：如图1中，当点P与点B重合时，四边形是正方形，是中心对称图形，满足条件，此时如图2中，当四边形是菱形时，过点A作于点此时解直角三角形求出BH，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了中心对称图形，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：过，，

解得：，
；

抛物线对称轴为，
又轴点B在抛物线对称轴右侧，
，
，
；

，
当抛物线在正方形内部y随x增大而增大时，
则，
，
当抛物线在正方形内部y随x增大而减小时，
则，
，
或舍，
，
综上，或；

抛物线与y轴的交点为，
，
抛物线的顶点为，
当时，，，，，
①当M点与y轴的交点重合时，抛物线与正方形的边有三个交点，此时，

解得或舍，
时，抛物线与正方形的边有两个交点，
，
解得舍；
②当抛物线的顶点在线段QM上时，，
解得舍或，
时，抛物线与正方形的边有两个交点，
当N点与y轴交点重合时，，
解得或舍，
当时，，
解得：或舍；
当时，，
当Q点在抛物线上时，，解得舍或，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：舍；
③当时，抛物线与正方形的边有两个交点，
，
解得：舍或；
综上所述：或或 

【解析】用待定系数法即可求解；
轴点B在抛物线对称轴右侧，则，进而求解；
当抛物线在正方形内部y随x增大而增大时，则，进而求解；当抛物线在正方形内部y随x增大而减小时，同理可解；
①当M点与y轴的交点重合时，抛物线与正方形的边有三个交点，此时，解得：或舍，进而求解；②当抛物线的顶点在线段QM上时同理可解；③当时，抛物线与正方形的边有两个交点，则，即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，数形结合是解题的关键．