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2023年江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校中考数学一模试卷(含答案解析)
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这是一份2023年江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校中考数学一模试卷(含答案解析)，共23页。试卷主要包含了 −2023的相反数是， 下列计算正确的是， 分解因式等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校中考数学一模试卷
1. −2023的相反数是( )
A. 2023 B. −2023 C. 12023 D. −12023
2. 下列计算正确的是( )
A. (a3)2=a5 B. a3⋅a5=a8 C. a5+a2=a7 D. a6÷a2=a3
3. 函数y=1 x+2中，自变量x的取值范围是( )
A. x≥2 B. x≥−2 C. x>2 D. x>−2
4. 下列几何体的左视图和俯视图相同的是( )
A. B.
C. D.
5. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x，y的二元一次方程组正确的是( )
A. 7x−7=y9(x−1)=y B. 7x+7=y9(x−1)=y C. 7x+7=y9x−1=y D. 7x−7=y9x−1=y
6. 已知m是方程x2−x−2=0的一个根，则2023−m2+m的值为( )
A. 2023 B. 2022 C. 2021 D. 2020
7. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30∘，OA=2.将△AOB绕点逆时针旋转90∘，点B的对应点B′的坐标是( )
A. (− 3,3)
B. (−3, 3)
C. (− 3,2 3)
D. (−1,2 3)
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+4与坐标轴交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC上的一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转45∘，得到线段AP′，连接CP′，则线段CP′的最小值为( )
A. 2 2−2
B. 1
C. 2 2−1
D. 2− 2
9. 据数据显示，截至北京时间2020年12月29日21时30分，全球新冠肺炎确诊病例达8181万例，将81810000这个数字用科学记数法表示为______ .
10. 分解因式：x3−2x2y+xy2=______.
11. 已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是__________.
12. 若圆锥的底面半径为3cm，侧面展开图是一个半径为6cm的扇形，该圆锥的侧面积是______ cm2.
13. 如图，河坝的横断面AB的坡比是1：2，坝高BC=3米，则坡面AB的长度是______米．
14. 如图，在△ABC中，点D，E在边AB，AC上，DE//BC，△ADE与△ABC的周长比为2：5，则AD：DB=______.
15. 如图所示的五边形花环，是用五个全等的直角三角形拼成的，则图∠ABC等于______度．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30∘后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为__________.
17. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，C，D四点均在正方形网格的格点上，线段AB，CD相交于点E，则tan∠DEB=______ .
18. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−3ax+a+1与y轴交于点A.已知点M(−2,−a−2)，N(0,a).若抛物线与线段MN恰有一个公共点，则a的取值范围______ .
19. 计算：
(1)|1− 3|−(4−π)0+2sin60∘+(14)−1；
(2)(1x−2+1x+2)÷x2−2x+1x2−4.
20. 解不等式组：2(x−3)≤x−4x−22
(1)“甲，乙两兄弟都到E街道摆地摊”是______ 事件.(填“必然”，“不可能”或“随机”)
(2)试用画树状图或列表的方法求甲，乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的概率.
22. 在“新冠”期间，某小区物管为预防业主感染传播购买A型和B型两种3M口罩，购买A型3M口罩花费了2500元，购买B型3M口罩花费了2000元，且购买A型3M口罩数量是购买B型3M口罩数量的2倍，已知购买一个B型3M口罩比购买一个A型3M口罩多花3元．则该物业购买A、B两种3M口罩的单价为多少元？
23. 已知：如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点H，G，连接DH，BG.
(1)求证：△AEH≌△CFG；
(2)连接BE，若BE=DE，则四边形BGDH是什么特殊四边形？请说明理由．
24. 如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，OC交AB于点P，交⊙O于点D，且CP=CB.
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若∠A=30∘，OP= 3，求图中阴影部分的面积.
25. 如图，矩形ABCD中，AD>AB.
(1)请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：(不写作法，保留作图痕迹)
①在BC边上取一点E，使AE=BC；
②在CD上作一点F，使点F到点D和点E的距离相等．
(2)在(1)中，若AB=6，AD=10，则△AEF的面积=______.(如需画草图，请使用备用图)
26. (1)问题初探：在直角三角形中，两直角边的长度之和是10，当两直角边的长分别是______ ，______ 时，直角三角形的面积最大；
(2)问题解决：如图，在一个Rt△EFG的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上，EF=30cm，FG=40cm，矩形面积最大是多少？在解决这个问题时，有一位爱动脑筋的同学通过作辅助线进行了转化，如图①，过点D作DH//FG.所以∠G=∠CHD，又因为四边形ABCD是矩形，所以AB=CD，∠DCB=∠ABG于是△CDH≌△BAG，那么求矩形ABCD的面积最大，就可以转化为求平行四边形AGHD的面积最大，设平行四边形AGHD的边AG=xcm，平行四边形AGHD的面积为ycm2，请你按这个思路继续完成这问题；
(3)问题拓展：如图②，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=30cm，点E是AD边上的动点(点E与A、D两点不重合)，连接BE、CE，点F是BC边上的动点，过F作FG//CE交BE于G，求△EFG面积最大值.
27. 对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的图象顶点为P(不与坐标原点重合)，以OP为边构造正方形OPMN，则称正方形OPMN为二次函数y=ax2+bx+c的关联正方形，称二次函数y=ax2+bx+c为正方形OPMN的关联二次函数．若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点．
(1)如图，直接写出二次函数y=(x+1)2−2的关联正方形OPMN顶点N的坐标______，并验证点N是否为伴随点______(填“是“或“否“)：
(2)当二次函数y=−x2+4x+c的关联正方形OPMN的顶点P与N位于x轴的两侧时，请解答下列问题：
①若关联正方形OPMN的顶点M、N在x轴的异侧时，求c的取值范围：
②当关联正方形OPMN的顶点M是伴随点时，求关联函数y=−x2+4x+c的解析式；
③关联正方形OPMN被二次函数y=−x2+4x+c图象的对称轴分成的两部分的面积分别为S1与S2，若S1≤13S2，请直接写出c的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2023的相反数是2023.
故选：A.
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】B
【解析】解：A、(a3)2=a6，故本选项不合题意；
B、a3⋅a5=a8，故本选项符合题意；
C、a5与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、a6÷a2=a4，故本选项不合题意；
故选：B.
分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，熟记相关的运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意得x+2>0，
∴x>−2，
故选：D.
根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0即可得出答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：选项A中的几何体的左视图和俯视图为：
选项B中的几何体的左视图和俯视图为：
选项C中的几何体的左视图和俯视图为：
选项D中的几何体的左视图和俯视图为：
因此左视图和俯视图相同的选项D中的几何体，
故选：D.
分别画出各种几何体的左视图和俯视图，进而进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握三视图的画法是得出正确结论的前提．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意得出方程组是解决问题的关键．
设该店有客房x间，房客y人，根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．
【解答】
解：设该店有客房x间，房客y人，
根据题意得：7x+7=y9(x−1)=y，
故选：B.
6.【答案】C
【解析】解：由题意得：
把x=m代入方程x2−x−2=0中可得：
m2−m−2=0，
∴m2−m=2，
∴2023−m2+m
=2023−(m2−m)
=2023−2
=2021，
故选：C.
根据题意可得：把x=m代入方程x2−x−2=0中可得：m2−m−2=0，从而可得m2−m=2，然后代入式子中进行计算，即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H.
在Rt△A′B′H中，∵A′B′=2，∠B′A′H=60∘，
∴A′H=A′B′cos60∘=1，B′H=A′B′sin60∘= 3，
∴OH=2+1=3，
∴B′(− 3,3)，
故选：A.
如图，过点B′作B′H⊥y轴于H.解直角三角形求出OH，B′H即可．
本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
8.【答案】A
【解析】解：由已知可得A(0,4)B(4,0)，
∴三角形OAB是等腰直角三角形，
∵OC⊥AB，
∴C(2,2)，
又∵P是线段OC上动点，将线段AP绕点A逆时针旋转45∘，
∵P在线段OC上运动，所以P′的运动轨迹也是线段，
当P在O点时和P在C点时分别确定P′的起点与终点，
∴P′的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，
∴当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小，
在△AOB中，AO=AN=4，AB=4 2，
∴NB=4 2−4，
又∵Rt△HBN是等腰直角三角形，
∴HB=4−2 2，
∴CP′=OB−BH−2=4−(4−2 2)−2=2 2−2.
故选：A.
由点P的运动确定P′的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小．
本题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
9.【答案】8.181×107
【解析】解：∵81810000=8.181×107，
故答案为：8.181×107.
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
10.【答案】x(x−y)2
【解析】解：x3−2x2y+xy2，
=x(x2−2xy+y2)，
=x(x−y)2.
故答案为：x(x−y)2.
先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11.【答案】5
【解析】
【分析】
本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据的频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
根据众数的定义求解即可．
【解答】
解：这组数据中5出现3次，次数最多，所以这组数据的众数是5.
故答案为：5.
12.【答案】18π
【解析】解：由题意得：圆锥的侧面积=πrl=π×3×6=18π(cm2).
故答案为：18π.
根据圆锥的侧面积：S侧=πrl代入计算即可．
本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积公式是关键．
13.【答案】3 5
【解析】解：∵河坝的横断面AB的坡比是1：2，
∴BCAC=12，
∵BC=3米，
∴AC=6米，
由勾股定理得：AB= AC2+BC2= 32+62=3 5(米)，
故答案为：3 5.
根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是坡度的概念、勾股定理，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
14.【答案】2：3
【解析】解：∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∵△ADE与△ABC的周长比为2：5，
∴ADAB=25，
∴ADDB=23，
∴AD：DB=2：3，
故答案为：2：3.
根据已知可知A字模型相似三角形△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质进行计算计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
15.【答案】18
【解析】解：如图，
∵五边形花环是用五个全等的直角三角形拼成的，
∴五边形花环为正五边形，
∴∠ABD=(5−2)×180∘5=108∘，
而∠CBD=90∘，
∴∠ABC=∠ABD−∠CBD=108∘−90∘=18∘.
故答案为：18.
利用全等三角形的性质和正五边形的定义可判断五边形花环为正五边形，根据多边形的内角和定理可计算出∠ABD=108∘，然后把∠ABD减去90∘得到∠ABC的度数．
本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：(n−2)⋅180∘(n≥3且n为整数)；多边形的外角和等于360∘，熟记有关知识是解题的基础．
16.【答案】2π3
【解析】
【分析】
先根据勾股定理得到AB=2 2，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ABC，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD−S△ABC=S扇形ABD.
本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形ABD的面积是解题的关键．
【解答】
解：∵∠ACB=90∘，AC=BC=2，
∴AB=2 2，
∴S扇形ABD=30π×(22)2360=2π3.
又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30∘后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ABC，
∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD−S△ABC=S扇形ABD=2π3.
故答案为：2π3.
17.【答案】2
【解析】解：过点D作DF//AB，连接CF.
∵DF//AB，
∴∠DEB=∠D.
∵DF= 22+22= 8=2 2，
CD= 22+62= 40=2 10，
CF= 42+42= 32=4 2，
(2 2)2+(4 2)2=(2 10)2，
∴DF2+CF2=CD2，
∴∠DFC=90∘.
在Rt△CDF中，
tan∠DEB=tanD
=CFDF
=4 22 2
=2.
故答案为：2.
过点D作DF//AB，连接CF.先利用勾股定理求出DF、CD、CF，再利用勾股定理的逆定理判断△CDF的形状，最后在直角三角形中利用直角三角形的边角间关系得结论．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理、平行线的性质等知识点是解决本题的关键．
18.【答案】a≤−14
【解析】解：∵y=ax2−3ax+a+1，
∴抛物线对称轴为直线x=−−3a2a=32，
将x=0代入y=ax2−3ax+a+1得y=a+1，
∴点A坐标为(0,a+1)，点A在点N上方，
将x=−2代入y=ax2−3ax+a+1得y=4a+6a+a+1=11a+1，
∴抛物线与直线x=−2交于点(−2,11a+1)，
当a>0时，抛物线开口向上，点N在抛物线外部，
∵11a+1>−a−2，
∴点M在点抛物线外部，不符合题意，
当a<0时，抛物线开口向下，点N在抛物线内部，
点M在抛物线外部时满足题意，
−a−2≥11a+1，
解得a≤−14，
综上所述，a≤−14.
故答案为：a≤−14.
由二次函数解析式求出x=0及x=2时y的值，分类讨论开口方向，通过数形结合求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
19.【答案】解：(1)|1− 3|−(4−π)0+2sin60∘+(14)−1
= 3−1−1+2× 32+4
= 3−1−1+ 3+4
=2 3+2；
(2)(1x−2+1x+2)÷x2−2x+1x2−4
=x+2+x−2(x+2)(x−2)⋅(x+2)(x−2)(x−1)2
=2xx2−2x+1.
【解析】(1)先去绝对值、计算零指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂，然后计算乘法，最后算加减法即可；
(2)先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：{2(x−3)⩽x−4①x−22
由②得：x>−2，
∴不等式组的解集为−2
则不等式组的整数解为−1，0，1，2.
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
21.【答案】不可能
【解析】解：(1)“甲，乙两兄弟都到E街道摆地摊”是不可能事件，故答案为：不可能；
(2)画树状图如图：
共有16个等可能的结果，甲、乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的结果有4个，
∴甲、乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的概率为416=14.
(1)由不可能事件的定义解答即可；
(2)画树状图，共有16个等可能的结果，甲、乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的结果有4个，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法与树状图法以及随机事件，概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：设该物业购买A型3M口罩的单价为x元，则B型3M口罩的单价为(x+3)元，
由题意得2500x=2000x+3×2，
解得x=5，
经检验x=5是原方程的解，
则x+3=8.
答：该物业购买A型3M口罩的单价为5元，B型3M口罩的单价为8元．
【解析】可设该物业购买A型3M口罩的单价为x元，则B型3M口罩的单价为(x+3)元，根据购买A型3M口罩数量是购买B型3M口罩数量的2倍，列出方程即可求解．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
23.【答案】证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，
∴∠EAH=∠FCG，
又∵AD//BC，
∴∠E=∠F.
∵在△AEH与△CFG中，
∠EAH=∠FCGAE=CF∠E=∠F，
∴△AEH≌△CFG(ASA)；
(2)四边形BHDG是菱形．
证明：连接BE，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD且AB=CD，
又由(1)得AH=CG，∠AEH=∠F，AE=CF，
∴BH//DG，BH=DG，
∴四边形BHDG是平行四边形，
∵AE=CF，AD=BC，
∴DE=BF，
∵BE=DE，
∴BE=BF，
∴∠BEF=∠F，
∵∠AEH=∠F，
∴∠BEF=∠DEF，
在△BEH和△DEH中，
∵BE=DE∠BEH=∠DEHEH=EH，
∴△BEH≌△DEH(SAS)，
∴BH=DH，
∵四边形BHDG是平行四边形，
∴四边形BHDG是菱形．
【解析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握ASA和SAS证明两个三角形的判定以及菱形的判定定理，此题有一定的难度．
(1)先根据平行四边形的性质可得出AD//BC，∠DAB=∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F，∠EAH=∠FCG，从而利用ASA可作出证明；
(2)根据平行四边形的性质及(1)的结论可得BH//DG，BH=DG，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形BHDG是平行四边形，再证明BH=DH，即可得到四边形BHDG是菱形．
24.【答案】解：(1)直线BC与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OB，
∵CP=CB，OA=OB，
∴∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠APO=∠CBP，
∴∠A+∠APO=∠CBP+∠OBA，
∵OC⊥OA，
∴∠AOP=90∘，
∴∠CBP+∠OBA=∠A+∠APO=180∘−90∘=90∘，
即∠OBC=90∘，
∴OB⊥BC，
∵OB过O，
∴直线BC与⊙O的位置关系是相切；
(2)∵∠AOP=90∘，∠A=30∘，OP= 3，
∴AP=2OP=2 3，AO= AP2−OP2= (2 3)2−( 3)2=3，
即OB=3，
∵∠A=∠OBA=30∘，
∴∠AOB=180∘−∠A−∠OBA=120∘，
∵∠AOC=90∘，
∴∠COB=∠AOB−∠AOC=120∘−90∘=30∘，
∴OC=2BC，
由勾股定理得：OC2=CB2+OB2，
即BC2=(2BC)2+32，
解得：BC= 3，
∴阴影部分的面积S=S△OBC−S扇形OBD=12×3×3−30π×32360=332−34π.
【解析】(1)连接OB，根据等腰三角形的性质得出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，求出∠AOC=∠OBC=90∘，再根据切线的判定得出即可；
(2)根据含30∘角的直角三角形的性质求出AP，求出AO，求出∠COB=30∘，根据含30∘角的直角三角形的性质求出OC=2BC，求出BC，再求出答案即可．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，含30∘角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的判定，扇形的面积计算和三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
25.【答案】1003
【解析】解：(1)如图，点E，点F即为所求；
(2)连接AF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90∘，AB=CD=6，AD=BC=10，
∴AE=AD=10，
∴BE= AE2−AB2= 102−62=8，
∴EC=BC−BE=10−8=2，
设EF=DF=m，则有m2=(6−m)2+22，
∴m=103，
在△ADF和△AEF中，
AD=AEAF=AFDF=EF，
∴△ADF≌△AEF(SSS)，
∴∠ADF=∠AEF，
∴S△AEF=12⋅AE⋅EF=12×10×203=1003.
(1)以A为圆心，AD为半径作弧交BC于点E，连接DE，作线段DE的垂直平分线交CD于点F，点E，点F即为所求；
(2)利用勾股定理求出BE，设DF=EF=m，在Rt△ECF中，利用勾股定理求出m即可．
本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26.【答案】5 5
【解析】解：(1)设直角三角形一条直角边为x，则另一条直角边是：10−x，其面积是S，
∴S=12x⋅(10−x)=−12(x−5)2+252，
∴当x=5时，S最大=252；
(2)如图1，
过点D作DH//FG.
∴∠G=∠CHD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠DCB=∠ABG=90∘，
∴△CDH≌△BAG(AAS)，
∴S矩形ABCD=S平行四边形AGHD，
设AG=xcm，▱AGHD的面积为ycm2，
∵AD//EG，
∴△ADF∽△FGE，
∴DFEF=AFFG，
∴DF30=40−x40，
∴DF=30−34x，
∴y=AG⋅DF=x⋅(30−34x)=−34(x−20)2+300，
∴当x=20时，y最大=300，
即矩形的最大面积是300；
(3)如图2，
设BF=x，△EFG面积是y，
∵FG//CE，
∴△BFG∽△BCE，
∴S△BFGS△BCE=(BFBC)2，
∴S△BFG12×30×20=(x30)2，
∴S△BFG=13x2，
∴S=12×20⋅x−13x2=−13(x−15)2+75，
∴当x=15时，S最大=75，
即△EFG面积的最大值是75.
(1)设直角三角形一条直角边为x，则另一条直角边是：10−x，其面积是S，建立S与x的函数关系式，求得函数的最值；
(2)证得△ADF∽△FGE，从而表示出DF=30−34x，进而建立y与x的关系式：y=−34(x−20)2+300，进一步求得结果；
(3)设BF=x，△EFG面积是y，证得△BFG∽△BCE，从而可表示出S△BFG=13x2，进而建立y与x的函数关系式：S=−13(x−15)2+75，进而求出结果．
本题考查了矩形性质，平行四边形性质，相似三角形的判定和性质，运用了二次函数及其图象性质，解决问题的关键是建立正确函数关系式，求二次函数的最值．
27.【答案】(−2,1)或(2,−1)否
【解析】解：(1)如图1，过点P作PA⊥x轴于点A，过点N作NB⊥x轴于点B
∴∠PAO=∠OBN=90∘
∵二次函数y=(x+1)2−2顶点P(−1,−2)
∴PA=2，OA=1
∵四边形OPMN是正方形
∴OP=ON，∠PON=90∘
∴∠AOP+∠BON=∠BON+∠BNO=90∘
∴∠AOP=∠BNO
在△BON与△APO中
∠OBN=∠PAO∠BNO=∠AOPON=PO
∴△BON≌△APO(AAS)
∴BO=PA=2，BN=AO=1
若MN在OP左侧，则点N在第二象限，N(−2,1)
∵x=−2时，y=(−2+1)2−2=−1≠1
∴点N不在二次函数的图象上
∴N(−2,1)不是伴随点
若MN在OP右侧，则点N在第四象限，N(2,−1)
∵x=2时，y=(2+1)2−2=7≠−1
∴N(2,−1)不是伴随点
故答案为：(−2,1)或(2,−1)；否．
(2)过点P作PA⊥x轴于点A，过点N作NB⊥x轴于点B
由(1)可得：△BON≌△APO
∵y=−x2+4x+c=−(x−2)2+c+4
∴P(2,c+4)
∴BN=OA=2，BO=PA=|c+4|
①i)如图2，若点P在第一象限
∵P与N位于x轴的两侧，点M、N在x轴的异侧
∴点N在第四象限，PA>BN
∴c+4>0c+4>2 解得：c>−2
ii)如图3，若点P在第四象限
∴点N在第一象限，PA>BN
∴c+4<0−(c+4)>2 解得：c<−6
综上所述，点M、N在x轴的异侧时，c的取值范围为c<−6或c>−2.
②过点M作MC⊥PA于点C
∴∠MCP=∠PAO=90∘
∴∠PMC+∠MPC=∠MPC+∠OPA=90∘
∴∠PMC=∠OPA
在△PCM与△OAP中
∠PCM=∠OAP∠PMC=∠OPAPM=OP
∴△PCM≌△OAP(AAS)
∴CM=PA=|c+4|，PC=OA=2
i)如图2，若点P在第一象限，则c+4>0
∴xM=OA+CM=2+c+4=c+6，yM=yP−PC=c+4−2=c+2
∴M(c+6,c+2)
∵点M是伴随点，即点M在二次函数y=−x2+4x+c图象上
∴−(c+6)2+4(c+6)+c=c+2
解得：c1=−4− 2(舍去)，c2=−4+ 2
ii)如图3，若点P在第四象限，则点M在点P上方
∵二次函数图象开口向下
∴点M不可能在二次函数图象上，即不可能为伴随点
综上所述，关联函数的解析式为y=−x2+4x+ 2−4
③∵S1≤13S2，S1+S2=S正方形OPMN
∴S2≥3S1
∴S1+S2≥4S1
∴S1⩽14S正方形OPMN
i)如图4，当点P、M在x轴同侧时(由①可知c<−6或c>−2)，对称轴与ON交于点D
∴S1=S△POD=12OP⋅OD
∴12OP⋅OD≤14OP2
∴OD≤12OP，即OD≤12ON
∵AD//BN
∴△OAD∽△OBN
∴OAOB=ODON≤12
∴OA≤12OB
∴2≤12|c+4|
解得：c≥0或c≤−8
ii)如图5，当点P、M在x轴异侧时(−6
∴MF=OA=2
∴S1=S△PME=12PM⋅ME
∴12PM⋅ME≤14PM2
∴ME≤12PM，即ME≤12MN
∴MC≤12MF
∴|c+4|≤1
解得：−5≤c≤−3
综上所述，S1≤13S2时c的取值范围为c≤−8或−5≤c≤−3或c≥0.
(1)由点P坐标，画出正方形OPMN的大致位置，发现MN可以在OP的左右两侧，故需分类讨论．分别过点P、N作x轴长垂线段PA、NB，易证△BON≌△APO，故有BO=PA=2，BN=AO=1.根据点N在第二或第四象限的位置得到点N坐标，把N的横坐标代入二次函数解析式，求得的函数值与N的纵坐标不相等，故点N不着二次函数图象上，不是伴随点．
(2)①用配方法求点P坐标，画出正方形OPMN的大致位置，由(1)可证得△BON≌△APO，故有BN=OA=2，BO=PA=|c+4|.由于点M、N在x轴的异侧，由图可知PA>BN.分别讨论点P在第一象限和第四象限时PA的长(用c表示)，即得到关于c的不等式，进而求得c的取值范围．
②过点M作直线PA的垂线段MC，构造△PCM≌△OAP，故有CM=PA=|c+4|，PC=OA=2.若点P在第一象限时，根据c+4>0求得用c表示点M的横纵坐标，由点M为伴随点可知点M在二次函数图象上，把点M坐标代入二次函数解析式得到关于c的方程，解方程并讨论c的取值即可．若点P在第四象限，则点M在点P上方，但二次函数图象开口向下，不可能经过点M，即此时M不可能为伴随点．
③由S1≤13S2，可得S1⩽14S正方形OPMN.画图可知，当点P、M在x轴同侧时对称轴与ON交于点D，S1=S△POD，故有12OP⋅OD≤14OP2解得OD≤12ON.又由AD//BN可证△OAD∽△OBN，通过对应边成比例得OA≤12OB，把含c的式子代入解不等式即求得c的范围．当点P、M在x轴异侧时，同理可求c的取值范围．
本题考查了新定义的理解和性质运用，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象与性质，一元一次不等式(组)的解法，一元二次方程的解法，相似三角形的判定和性质．由于正方形顶点位置的不确定，故每小题都需根据情况抓住相同点和不同点进行分类讨论．讨论正方形顶点坐标时，常在正方形内构造弦图得到全等三角形，再利用全等三角形性质计算．
2023年江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校中考数学一模试卷
1. −2023的相反数是( )
A. 2023 B. −2023 C. 12023 D. −12023
2. 下列计算正确的是( )
A. (a3)2=a5 B. a3⋅a5=a8 C. a5+a2=a7 D. a6÷a2=a3
3. 函数y=1 x+2中，自变量x的取值范围是( )
A. x≥2 B. x≥−2 C. x>2 D. x>−2
4. 下列几何体的左视图和俯视图相同的是( )
A. B.
C. D.
5. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x，y的二元一次方程组正确的是( )
A. 7x−7=y9(x−1)=y B. 7x+7=y9(x−1)=y C. 7x+7=y9x−1=y D. 7x−7=y9x−1=y
6. 已知m是方程x2−x−2=0的一个根，则2023−m2+m的值为( )
A. 2023 B. 2022 C. 2021 D. 2020
7. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30∘，OA=2.将△AOB绕点逆时针旋转90∘，点B的对应点B′的坐标是( )
A. (− 3,3)
B. (−3, 3)
C. (− 3,2 3)
D. (−1,2 3)
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+4与坐标轴交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC上的一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转45∘，得到线段AP′，连接CP′，则线段CP′的最小值为( )
A. 2 2−2
B. 1
C. 2 2−1
D. 2− 2
9. 据数据显示，截至北京时间2020年12月29日21时30分，全球新冠肺炎确诊病例达8181万例，将81810000这个数字用科学记数法表示为______ .
10. 分解因式：x3−2x2y+xy2=______.
11. 已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是__________.
12. 若圆锥的底面半径为3cm，侧面展开图是一个半径为6cm的扇形，该圆锥的侧面积是______ cm2.
13. 如图，河坝的横断面AB的坡比是1：2，坝高BC=3米，则坡面AB的长度是______米．
14. 如图，在△ABC中，点D，E在边AB，AC上，DE//BC，△ADE与△ABC的周长比为2：5，则AD：DB=______.
15. 如图所示的五边形花环，是用五个全等的直角三角形拼成的，则图∠ABC等于______度．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30∘后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为__________.
17. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，C，D四点均在正方形网格的格点上，线段AB，CD相交于点E，则tan∠DEB=______ .
18. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−3ax+a+1与y轴交于点A.已知点M(−2,−a−2)，N(0,a).若抛物线与线段MN恰有一个公共点，则a的取值范围______ .
19. 计算：
(1)|1− 3|−(4−π)0+2sin60∘+(14)−1；
(2)(1x−2+1x+2)÷x2−2x+1x2−4.
20. 解不等式组：2(x−3)≤x−4x−22
(1)“甲，乙两兄弟都到E街道摆地摊”是______ 事件.(填“必然”，“不可能”或“随机”)
(2)试用画树状图或列表的方法求甲，乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的概率.
22. 在“新冠”期间，某小区物管为预防业主感染传播购买A型和B型两种3M口罩，购买A型3M口罩花费了2500元，购买B型3M口罩花费了2000元，且购买A型3M口罩数量是购买B型3M口罩数量的2倍，已知购买一个B型3M口罩比购买一个A型3M口罩多花3元．则该物业购买A、B两种3M口罩的单价为多少元？
23. 已知：如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点H，G，连接DH，BG.
(1)求证：△AEH≌△CFG；
(2)连接BE，若BE=DE，则四边形BGDH是什么特殊四边形？请说明理由．
24. 如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，OC交AB于点P，交⊙O于点D，且CP=CB.
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若∠A=30∘，OP= 3，求图中阴影部分的面积.
25. 如图，矩形ABCD中，AD>AB.
(1)请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：(不写作法，保留作图痕迹)
①在BC边上取一点E，使AE=BC；
②在CD上作一点F，使点F到点D和点E的距离相等．
(2)在(1)中，若AB=6，AD=10，则△AEF的面积=______.(如需画草图，请使用备用图)
26. (1)问题初探：在直角三角形中，两直角边的长度之和是10，当两直角边的长分别是______ ，______ 时，直角三角形的面积最大；
(2)问题解决：如图，在一个Rt△EFG的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上，EF=30cm，FG=40cm，矩形面积最大是多少？在解决这个问题时，有一位爱动脑筋的同学通过作辅助线进行了转化，如图①，过点D作DH//FG.所以∠G=∠CHD，又因为四边形ABCD是矩形，所以AB=CD，∠DCB=∠ABG于是△CDH≌△BAG，那么求矩形ABCD的面积最大，就可以转化为求平行四边形AGHD的面积最大，设平行四边形AGHD的边AG=xcm，平行四边形AGHD的面积为ycm2，请你按这个思路继续完成这问题；
(3)问题拓展：如图②，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=30cm，点E是AD边上的动点(点E与A、D两点不重合)，连接BE、CE，点F是BC边上的动点，过F作FG//CE交BE于G，求△EFG面积最大值.
27. 对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的图象顶点为P(不与坐标原点重合)，以OP为边构造正方形OPMN，则称正方形OPMN为二次函数y=ax2+bx+c的关联正方形，称二次函数y=ax2+bx+c为正方形OPMN的关联二次函数．若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点．
(1)如图，直接写出二次函数y=(x+1)2−2的关联正方形OPMN顶点N的坐标______，并验证点N是否为伴随点______(填“是“或“否“)：
(2)当二次函数y=−x2+4x+c的关联正方形OPMN的顶点P与N位于x轴的两侧时，请解答下列问题：
①若关联正方形OPMN的顶点M、N在x轴的异侧时，求c的取值范围：
②当关联正方形OPMN的顶点M是伴随点时，求关联函数y=−x2+4x+c的解析式；
③关联正方形OPMN被二次函数y=−x2+4x+c图象的对称轴分成的两部分的面积分别为S1与S2，若S1≤13S2，请直接写出c的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2023的相反数是2023.
故选：A.
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】B
【解析】解：A、(a3)2=a6，故本选项不合题意；
B、a3⋅a5=a8，故本选项符合题意；
C、a5与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、a6÷a2=a4，故本选项不合题意；
故选：B.
分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，熟记相关的运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意得x+2>0，
∴x>−2，
故选：D.
根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0即可得出答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：选项A中的几何体的左视图和俯视图为：
选项B中的几何体的左视图和俯视图为：
选项C中的几何体的左视图和俯视图为：
选项D中的几何体的左视图和俯视图为：
因此左视图和俯视图相同的选项D中的几何体，
故选：D.
分别画出各种几何体的左视图和俯视图，进而进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握三视图的画法是得出正确结论的前提．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意得出方程组是解决问题的关键．
设该店有客房x间，房客y人，根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．
【解答】
解：设该店有客房x间，房客y人，
根据题意得：7x+7=y9(x−1)=y，
故选：B.
6.【答案】C
【解析】解：由题意得：
把x=m代入方程x2−x−2=0中可得：
m2−m−2=0，
∴m2−m=2，
∴2023−m2+m
=2023−(m2−m)
=2023−2
=2021，
故选：C.
根据题意可得：把x=m代入方程x2−x−2=0中可得：m2−m−2=0，从而可得m2−m=2，然后代入式子中进行计算，即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H.
在Rt△A′B′H中，∵A′B′=2，∠B′A′H=60∘，
∴A′H=A′B′cos60∘=1，B′H=A′B′sin60∘= 3，
∴OH=2+1=3，
∴B′(− 3,3)，
故选：A.
如图，过点B′作B′H⊥y轴于H.解直角三角形求出OH，B′H即可．
本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
8.【答案】A
【解析】解：由已知可得A(0,4)B(4,0)，
∴三角形OAB是等腰直角三角形，
∵OC⊥AB，
∴C(2,2)，
又∵P是线段OC上动点，将线段AP绕点A逆时针旋转45∘，
∵P在线段OC上运动，所以P′的运动轨迹也是线段，
当P在O点时和P在C点时分别确定P′的起点与终点，
∴P′的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，
∴当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小，
在△AOB中，AO=AN=4，AB=4 2，
∴NB=4 2−4，
又∵Rt△HBN是等腰直角三角形，
∴HB=4−2 2，
∴CP′=OB−BH−2=4−(4−2 2)−2=2 2−2.
故选：A.
由点P的运动确定P′的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小．
本题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
9.【答案】8.181×107
【解析】解：∵81810000=8.181×107，
故答案为：8.181×107.
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
10.【答案】x(x−y)2
【解析】解：x3−2x2y+xy2，
=x(x2−2xy+y2)，
=x(x−y)2.
故答案为：x(x−y)2.
先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11.【答案】5
【解析】
【分析】
本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据的频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
根据众数的定义求解即可．
【解答】
解：这组数据中5出现3次，次数最多，所以这组数据的众数是5.
故答案为：5.
12.【答案】18π
【解析】解：由题意得：圆锥的侧面积=πrl=π×3×6=18π(cm2).
故答案为：18π.
根据圆锥的侧面积：S侧=πrl代入计算即可．
本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积公式是关键．
13.【答案】3 5
【解析】解：∵河坝的横断面AB的坡比是1：2，
∴BCAC=12，
∵BC=3米，
∴AC=6米，
由勾股定理得：AB= AC2+BC2= 32+62=3 5(米)，
故答案为：3 5.
根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是坡度的概念、勾股定理，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
14.【答案】2：3
【解析】解：∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∵△ADE与△ABC的周长比为2：5，
∴ADAB=25，
∴ADDB=23，
∴AD：DB=2：3，
故答案为：2：3.
根据已知可知A字模型相似三角形△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质进行计算计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
15.【答案】18
【解析】解：如图，
∵五边形花环是用五个全等的直角三角形拼成的，
∴五边形花环为正五边形，
∴∠ABD=(5−2)×180∘5=108∘，
而∠CBD=90∘，
∴∠ABC=∠ABD−∠CBD=108∘−90∘=18∘.
故答案为：18.
利用全等三角形的性质和正五边形的定义可判断五边形花环为正五边形，根据多边形的内角和定理可计算出∠ABD=108∘，然后把∠ABD减去90∘得到∠ABC的度数．
本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：(n−2)⋅180∘(n≥3且n为整数)；多边形的外角和等于360∘，熟记有关知识是解题的基础．
16.【答案】2π3
【解析】
【分析】
先根据勾股定理得到AB=2 2，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ABC，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD−S△ABC=S扇形ABD.
本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形ABD的面积是解题的关键．
【解答】
解：∵∠ACB=90∘，AC=BC=2，
∴AB=2 2，
∴S扇形ABD=30π×(22)2360=2π3.
又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30∘后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ABC，
∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD−S△ABC=S扇形ABD=2π3.
故答案为：2π3.
17.【答案】2
【解析】解：过点D作DF//AB，连接CF.
∵DF//AB，
∴∠DEB=∠D.
∵DF= 22+22= 8=2 2，
CD= 22+62= 40=2 10，
CF= 42+42= 32=4 2，
(2 2)2+(4 2)2=(2 10)2，
∴DF2+CF2=CD2，
∴∠DFC=90∘.
在Rt△CDF中，
tan∠DEB=tanD
=CFDF
=4 22 2
=2.
故答案为：2.
过点D作DF//AB，连接CF.先利用勾股定理求出DF、CD、CF，再利用勾股定理的逆定理判断△CDF的形状，最后在直角三角形中利用直角三角形的边角间关系得结论．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理、平行线的性质等知识点是解决本题的关键．
18.【答案】a≤−14
【解析】解：∵y=ax2−3ax+a+1，
∴抛物线对称轴为直线x=−−3a2a=32，
将x=0代入y=ax2−3ax+a+1得y=a+1，
∴点A坐标为(0,a+1)，点A在点N上方，
将x=−2代入y=ax2−3ax+a+1得y=4a+6a+a+1=11a+1，
∴抛物线与直线x=−2交于点(−2,11a+1)，
当a>0时，抛物线开口向上，点N在抛物线外部，
∵11a+1>−a−2，
∴点M在点抛物线外部，不符合题意，
当a<0时，抛物线开口向下，点N在抛物线内部，
点M在抛物线外部时满足题意，
−a−2≥11a+1，
解得a≤−14，
综上所述，a≤−14.
故答案为：a≤−14.
由二次函数解析式求出x=0及x=2时y的值，分类讨论开口方向，通过数形结合求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
19.【答案】解：(1)|1− 3|−(4−π)0+2sin60∘+(14)−1
= 3−1−1+2× 32+4
= 3−1−1+ 3+4
=2 3+2；
(2)(1x−2+1x+2)÷x2−2x+1x2−4
=x+2+x−2(x+2)(x−2)⋅(x+2)(x−2)(x−1)2
=2xx2−2x+1.
【解析】(1)先去绝对值、计算零指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂，然后计算乘法，最后算加减法即可；
(2)先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：{2(x−3)⩽x−4①x−22
由②得：x>−2，
∴不等式组的解集为−2
则不等式组的整数解为−1，0，1，2.
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
21.【答案】不可能
【解析】解：(1)“甲，乙两兄弟都到E街道摆地摊”是不可能事件，故答案为：不可能；
(2)画树状图如图：
共有16个等可能的结果，甲、乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的结果有4个，
∴甲、乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的概率为416=14.
(1)由不可能事件的定义解答即可；
(2)画树状图，共有16个等可能的结果，甲、乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的结果有4个，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法与树状图法以及随机事件，概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：设该物业购买A型3M口罩的单价为x元，则B型3M口罩的单价为(x+3)元，
由题意得2500x=2000x+3×2，
解得x=5，
经检验x=5是原方程的解，
则x+3=8.
答：该物业购买A型3M口罩的单价为5元，B型3M口罩的单价为8元．
【解析】可设该物业购买A型3M口罩的单价为x元，则B型3M口罩的单价为(x+3)元，根据购买A型3M口罩数量是购买B型3M口罩数量的2倍，列出方程即可求解．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
23.【答案】证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，
∴∠EAH=∠FCG，
又∵AD//BC，
∴∠E=∠F.
∵在△AEH与△CFG中，
∠EAH=∠FCGAE=CF∠E=∠F，
∴△AEH≌△CFG(ASA)；
(2)四边形BHDG是菱形．
证明：连接BE，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD且AB=CD，
又由(1)得AH=CG，∠AEH=∠F，AE=CF，
∴BH//DG，BH=DG，
∴四边形BHDG是平行四边形，
∵AE=CF，AD=BC，
∴DE=BF，
∵BE=DE，
∴BE=BF，
∴∠BEF=∠F，
∵∠AEH=∠F，
∴∠BEF=∠DEF，
在△BEH和△DEH中，
∵BE=DE∠BEH=∠DEHEH=EH，
∴△BEH≌△DEH(SAS)，
∴BH=DH，
∵四边形BHDG是平行四边形，
∴四边形BHDG是菱形．
【解析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握ASA和SAS证明两个三角形的判定以及菱形的判定定理，此题有一定的难度．
(1)先根据平行四边形的性质可得出AD//BC，∠DAB=∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F，∠EAH=∠FCG，从而利用ASA可作出证明；
(2)根据平行四边形的性质及(1)的结论可得BH//DG，BH=DG，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形BHDG是平行四边形，再证明BH=DH，即可得到四边形BHDG是菱形．
24.【答案】解：(1)直线BC与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OB，
∵CP=CB，OA=OB，
∴∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠APO=∠CBP，
∴∠A+∠APO=∠CBP+∠OBA，
∵OC⊥OA，
∴∠AOP=90∘，
∴∠CBP+∠OBA=∠A+∠APO=180∘−90∘=90∘，
即∠OBC=90∘，
∴OB⊥BC，
∵OB过O，
∴直线BC与⊙O的位置关系是相切；
(2)∵∠AOP=90∘，∠A=30∘，OP= 3，
∴AP=2OP=2 3，AO= AP2−OP2= (2 3)2−( 3)2=3，
即OB=3，
∵∠A=∠OBA=30∘，
∴∠AOB=180∘−∠A−∠OBA=120∘，
∵∠AOC=90∘，
∴∠COB=∠AOB−∠AOC=120∘−90∘=30∘，
∴OC=2BC，
由勾股定理得：OC2=CB2+OB2，
即BC2=(2BC)2+32，
解得：BC= 3，
∴阴影部分的面积S=S△OBC−S扇形OBD=12×3×3−30π×32360=332−34π.
【解析】(1)连接OB，根据等腰三角形的性质得出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，求出∠AOC=∠OBC=90∘，再根据切线的判定得出即可；
(2)根据含30∘角的直角三角形的性质求出AP，求出AO，求出∠COB=30∘，根据含30∘角的直角三角形的性质求出OC=2BC，求出BC，再求出答案即可．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，含30∘角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的判定，扇形的面积计算和三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
25.【答案】1003
【解析】解：(1)如图，点E，点F即为所求；
(2)连接AF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90∘，AB=CD=6，AD=BC=10，
∴AE=AD=10，
∴BE= AE2−AB2= 102−62=8，
∴EC=BC−BE=10−8=2，
设EF=DF=m，则有m2=(6−m)2+22，
∴m=103，
在△ADF和△AEF中，
AD=AEAF=AFDF=EF，
∴△ADF≌△AEF(SSS)，
∴∠ADF=∠AEF，
∴S△AEF=12⋅AE⋅EF=12×10×203=1003.
(1)以A为圆心，AD为半径作弧交BC于点E，连接DE，作线段DE的垂直平分线交CD于点F，点E，点F即为所求；
(2)利用勾股定理求出BE，设DF=EF=m，在Rt△ECF中，利用勾股定理求出m即可．
本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26.【答案】5 5
【解析】解：(1)设直角三角形一条直角边为x，则另一条直角边是：10−x，其面积是S，
∴S=12x⋅(10−x)=−12(x−5)2+252，
∴当x=5时，S最大=252；
(2)如图1，
过点D作DH//FG.
∴∠G=∠CHD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠DCB=∠ABG=90∘，
∴△CDH≌△BAG(AAS)，
∴S矩形ABCD=S平行四边形AGHD，
设AG=xcm，▱AGHD的面积为ycm2，
∵AD//EG，
∴△ADF∽△FGE，
∴DFEF=AFFG，
∴DF30=40−x40，
∴DF=30−34x，
∴y=AG⋅DF=x⋅(30−34x)=−34(x−20)2+300，
∴当x=20时，y最大=300，
即矩形的最大面积是300；
(3)如图2，
设BF=x，△EFG面积是y，
∵FG//CE，
∴△BFG∽△BCE，
∴S△BFGS△BCE=(BFBC)2，
∴S△BFG12×30×20=(x30)2，
∴S△BFG=13x2，
∴S=12×20⋅x−13x2=−13(x−15)2+75，
∴当x=15时，S最大=75，
即△EFG面积的最大值是75.
(1)设直角三角形一条直角边为x，则另一条直角边是：10−x，其面积是S，建立S与x的函数关系式，求得函数的最值；
(2)证得△ADF∽△FGE，从而表示出DF=30−34x，进而建立y与x的关系式：y=−34(x−20)2+300，进一步求得结果；
(3)设BF=x，△EFG面积是y，证得△BFG∽△BCE，从而可表示出S△BFG=13x2，进而建立y与x的函数关系式：S=−13(x−15)2+75，进而求出结果．
本题考查了矩形性质，平行四边形性质，相似三角形的判定和性质，运用了二次函数及其图象性质，解决问题的关键是建立正确函数关系式，求二次函数的最值．
27.【答案】(−2,1)或(2,−1)否
【解析】解：(1)如图1，过点P作PA⊥x轴于点A，过点N作NB⊥x轴于点B
∴∠PAO=∠OBN=90∘
∵二次函数y=(x+1)2−2顶点P(−1,−2)
∴PA=2，OA=1
∵四边形OPMN是正方形
∴OP=ON，∠PON=90∘
∴∠AOP+∠BON=∠BON+∠BNO=90∘
∴∠AOP=∠BNO
在△BON与△APO中
∠OBN=∠PAO∠BNO=∠AOPON=PO
∴△BON≌△APO(AAS)
∴BO=PA=2，BN=AO=1
若MN在OP左侧，则点N在第二象限，N(−2,1)
∵x=−2时，y=(−2+1)2−2=−1≠1
∴点N不在二次函数的图象上
∴N(−2,1)不是伴随点
若MN在OP右侧，则点N在第四象限，N(2,−1)
∵x=2时，y=(2+1)2−2=7≠−1
∴N(2,−1)不是伴随点
故答案为：(−2,1)或(2,−1)；否．
(2)过点P作PA⊥x轴于点A，过点N作NB⊥x轴于点B
由(1)可得：△BON≌△APO
∵y=−x2+4x+c=−(x−2)2+c+4
∴P(2,c+4)
∴BN=OA=2，BO=PA=|c+4|
①i)如图2，若点P在第一象限
∵P与N位于x轴的两侧，点M、N在x轴的异侧
∴点N在第四象限，PA>BN
∴c+4>0c+4>2 解得：c>−2
ii)如图3，若点P在第四象限
∴点N在第一象限，PA>BN
∴c+4<0−(c+4)>2 解得：c<−6
综上所述，点M、N在x轴的异侧时，c的取值范围为c<−6或c>−2.
②过点M作MC⊥PA于点C
∴∠MCP=∠PAO=90∘
∴∠PMC+∠MPC=∠MPC+∠OPA=90∘
∴∠PMC=∠OPA
在△PCM与△OAP中
∠PCM=∠OAP∠PMC=∠OPAPM=OP
∴△PCM≌△OAP(AAS)
∴CM=PA=|c+4|，PC=OA=2
i)如图2，若点P在第一象限，则c+4>0
∴xM=OA+CM=2+c+4=c+6，yM=yP−PC=c+4−2=c+2
∴M(c+6,c+2)
∵点M是伴随点，即点M在二次函数y=−x2+4x+c图象上
∴−(c+6)2+4(c+6)+c=c+2
解得：c1=−4− 2(舍去)，c2=−4+ 2
ii)如图3，若点P在第四象限，则点M在点P上方
∵二次函数图象开口向下
∴点M不可能在二次函数图象上，即不可能为伴随点
综上所述，关联函数的解析式为y=−x2+4x+ 2−4
③∵S1≤13S2，S1+S2=S正方形OPMN
∴S2≥3S1
∴S1+S2≥4S1
∴S1⩽14S正方形OPMN
i)如图4，当点P、M在x轴同侧时(由①可知c<−6或c>−2)，对称轴与ON交于点D
∴S1=S△POD=12OP⋅OD
∴12OP⋅OD≤14OP2
∴OD≤12OP，即OD≤12ON
∵AD//BN
∴△OAD∽△OBN
∴OAOB=ODON≤12
∴OA≤12OB
∴2≤12|c+4|
解得：c≥0或c≤−8
ii)如图5，当点P、M在x轴异侧时(−6
∴MF=OA=2
∴S1=S△PME=12PM⋅ME
∴12PM⋅ME≤14PM2
∴ME≤12PM，即ME≤12MN
∴MC≤12MF
∴|c+4|≤1
解得：−5≤c≤−3
综上所述，S1≤13S2时c的取值范围为c≤−8或−5≤c≤−3或c≥0.
(1)由点P坐标，画出正方形OPMN的大致位置，发现MN可以在OP的左右两侧，故需分类讨论．分别过点P、N作x轴长垂线段PA、NB，易证△BON≌△APO，故有BO=PA=2，BN=AO=1.根据点N在第二或第四象限的位置得到点N坐标，把N的横坐标代入二次函数解析式，求得的函数值与N的纵坐标不相等，故点N不着二次函数图象上，不是伴随点．
(2)①用配方法求点P坐标，画出正方形OPMN的大致位置，由(1)可证得△BON≌△APO，故有BN=OA=2，BO=PA=|c+4|.由于点M、N在x轴的异侧，由图可知PA>BN.分别讨论点P在第一象限和第四象限时PA的长(用c表示)，即得到关于c的不等式，进而求得c的取值范围．
②过点M作直线PA的垂线段MC，构造△PCM≌△OAP，故有CM=PA=|c+4|，PC=OA=2.若点P在第一象限时，根据c+4>0求得用c表示点M的横纵坐标，由点M为伴随点可知点M在二次函数图象上，把点M坐标代入二次函数解析式得到关于c的方程，解方程并讨论c的取值即可．若点P在第四象限，则点M在点P上方，但二次函数图象开口向下，不可能经过点M，即此时M不可能为伴随点．
③由S1≤13S2，可得S1⩽14S正方形OPMN.画图可知，当点P、M在x轴同侧时对称轴与ON交于点D，S1=S△POD，故有12OP⋅OD≤14OP2解得OD≤12ON.又由AD//BN可证△OAD∽△OBN，通过对应边成比例得OA≤12OB，把含c的式子代入解不等式即求得c的范围．当点P、M在x轴异侧时，同理可求c的取值范围．
本题考查了新定义的理解和性质运用，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象与性质，一元一次不等式(组)的解法，一元二次方程的解法，相似三角形的判定和性质．由于正方形顶点位置的不确定，故每小题都需根据情况抓住相同点和不同点进行分类讨论．讨论正方形顶点坐标时，常在正方形内构造弦图得到全等三角形，再利用全等三角形性质计算．
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