2023年上海市宝山区中考数学一模试卷(含答案解析)

2023年上海市宝山区中考数学一模试卷

1.  已知线段a、b，如果a：：3，那么下列各式中一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD：：3，那么下列条件中能判断的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知非零向量、、，下列条件中，能判定向量与向量方向相同的是(    )

A. ， B.
C.  D.

4.  在平面直角坐标系xOy中，已知点与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么的值是(    )

A. 2 B.  C.  D.

5.  将抛物线向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知中，，、以C为圆心作，如果圆C与斜边AB有两个公共点，那么圆C的半径长R的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知线段，，如果线段c是a、b的比例中项，那么______ .

8.  已知一个三角形的三边之比为2：3：4，与它相似的另一个三角形ABC的最小边长为4厘米，那么三角形ABC的周长为______ 厘米.

9.  计算：______ .

10.  如果抛物线的开口方向向下，那么a的取值范围是______ .

11.  抛物线的对称轴是______ .

12.  正六边形的一个外角的度数为__________

13.  已知圆O的半径为1，A是圆O内一点，如果将线段OA的长记为d，那么d的取值范围是______ .

14.  如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙墙的长度超过12米，设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为y平方米，那么y关于x的函数解析式为______ 不要求写出定义域

15.  如图，在中，已知线段EF经过三角形的重心G，，四边形ABFE的面积为，那么的面积为______

16.  已知内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，那么另一个圆的半径长等于______ .

17.  已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为______ .

18.  如图，已知中，，
按下列步骤作图：
步骤1：以点B为圆心，小于BC的长为半径作弧分别交BC、AB于点D、E；
步骤2：分别以点D、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M；
步骤3：作射线BM交AC于点
那么线段AF的长为______ .

19.  计算：

20.  在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点、、
求抛物线的表达式；
点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标.

21.  如图，已知圆O的弦AB与直径CD交于点E，且CD平分
已知，，求圆O的半径；
如果，求弦AB所对的圆心角的度数.

22.  如图，某小区车库顶部BC是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯已知平台斜坡CD的坡度，坡长为6米.在坡底D处测得灯的顶端A的仰角为，在坡顶C处测得灯的顶端A的仰角为，求灯的顶端A与地面DE的距离结果保留根号

23.  已知：如图，四边形ABCD、ACED都是平行四边形，M是边CD的中点，联结BM并延长，分别交AC、DE于点F、
求证：；
联结CG，如果，求证：

24.  在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点、，将该抛物线位于x轴上方的部分沿x轴翻折，得到的新图象记为“图象U”，“图象U”与y轴交于点
写出“图象U”对应的函数解析式及定义域；
求的正切值；
点P在x轴正半轴上，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E，交“图象U”于点F，如果与相似，求点P的坐标.

25.  如图1，在中，点D、E分别在边AC、AB上不与端点重合，BD和CE交于点F，满足

求证：；
如图2，当时，求CD的长；
当是等腰三角形时，求DF：FB的值.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：A、由a：：3，得，故本选项错误，不符合题意；
B、当，时，a：：3，但是，故本选项错误，不符合题意；
C、由a：：3，得，故本选项正确，符合题意；
D、当，时，a：：3，但是，故本选项错误，不符合题意．
故选：
根据比例的性质进行判断即可．
本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单．
 

2.【答案】A 

【解析】解：：：3，
，
当时，，
，故A选项能够判断；
而C，B，D选项不能判断
故选：
如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，进而可得出结论．
本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．
 

3.【答案】D 

【解析】解：对于A选项，由，可得，
与的方向相同或相反，
故A选项不符合题意；
对于B选项，与的方向相同或相反，
故B选项不符合题意；
对于C选项，由，可得，
与的方向相反，
故C选项不符合题意；
对于D选项，由，，可得，
与的方向相同，
故D选项符合题意．
故选：
由，可得，则与的方向相同或相反；由可知，与的方向相同或相反；由，可得，则与的方向相反，由，，可得，则与的方向相同，即可得出答案．
本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的性质是解答本题的关键．
 

4.【答案】B 

【解析】解：如图：过点A作轴，垂足为B，

，
点，
，，
在中，，
故选：
过点A作轴，垂足为B，根据垂直定义可得，根据已知可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

5.【答案】D 

【解析】解：将抛物线向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为，
故选：
根据左加右减的平移规律求解即可．
本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
 

6.【答案】C 

【解析】解：作于D，如图所示：
，，，
，
的面积，
，
即圆心C到AB的距离，
，
以C为圆心，为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，
若与斜边AB有两个公共点，则R的取值范围是
故选：
作于D，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，由，可得以C为圆心，为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点；若与斜边AB有两个公共点，即可得出R的取值范围．
此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

7.【答案】4 

【解析】解：线段c是a、b的比例中项，
，
解得：，
又线段是正数，

故答案为：
根据线段比例中项的概念a：：b，可得，即可求出c的值．
此题考查了比例线段，掌握比例中项的定义是解题的关键．注意线段不能是负数．
 

8.【答案】18 

【解析】解：所求三角形的三边的比是2：3：4，
设最短边是2x厘米，则，
解得，
因而另外两边的长是厘米，厘米．
则三角形的周长是厘米
故答案为：
相似三角形的对应边的比相等，因而与已知三角形相似的三角形的三边的比也是2：3：4，即可求得三角形的三边，从而求得周长．
本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，由此得到所求三角形的三边的比也是2：3：4，是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：


故答案为：
根据平面向量的加减运算法则计算即可．
本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口方向向下，
，
故答案为：
由抛物线的开口方向与a的关系求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握抛物线开口方向与a的符号的关系．
 

11.【答案】直线 

【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，
故答案为：直线
由二次函数顶点式可得抛物线顶点坐标，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

12.【答案】60 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形的外角和的知识，掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．
根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360度解答即可．
【解答】
解：正六边形的外角和是，
正六边形的一个外角的度数为：，
故答案为：  

13.【答案】 

【解析】解：点A在圆内，
，
故答案为：
根据点在圆内，，可得结论．
本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外②点P在圆上③点P在圆内
 

14.【答案】 

【解析】解：篱笆的总长为12米，花圃垂直于墙的一边长为x米，
花圃平行于墙的一边长为米．
根据题意得：
故答案为：
由篱笆的总长及花圃垂直于墙的一边长度，可得出花圃平行于墙的一边长为米，再利用矩形的面积公式，即可得出y关于x的函数解析式．
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数解析式是解题的关键．
 

15.【答案】27 

【解析】解：连接CG并延长交AB于H，如图：

为的重心，
，
，
，
∽，，
，
，
设，则，
，
解得，
故答案为：
连接CG并延长交AB于H，由G为的重心，可得，而，有∽，，故，设，有，即可解得答案．
本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握三角形重心的性质．
 

16.【答案】7 

【解析】解：设另一个圆的半径长为r，
内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，
或，
解得：或半径不能为负，舍去，
所以另一个圆的半径长是
故答案为：
设另一个圆的半径长为r，根据两圆内切得出或，再求出r即可．
本题考查了圆与圆的位置关系，能熟练掌握圆与圆的位置关系的内容是解此题的关键，已知两圆的半径分别为a，，两圆的圆心距为d，那么当时，两圆的位置关系是内切．
 

17.【答案】11或21 

【解析】解：半径长分别为13和20的、相交于点E、点F，，
连接AE、BE，则，，
如图1，点A、点B在直线EF的同侧，延长BA交EF于点C，
垂直平分EF，
，，
，，
；
如图2，点A、点B在直线EF的异侧，BA交EF于点D，
，，
，，
，
综上所述，这两个圆的圆心距为11或21，
故答案为：11或
设半径长分别为13和20的、相交于点E、点F，，连接AE、BE，则，，再分两种情况讨论，一是点A、点B在直线EF的同侧，延长BA交EF于点C，根据“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”得，，可由勾股定理求得，，则；二是点A、点B在直线EF的异侧，BA交EF于点D，则，，
此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：由题意得，BF为的平分线，
，
，，
，
，
，，
，
，
设，则，
，，
∽，
，即，
解得或舍去，

故答案为：
由题意得，BF为的平分线，可得，进而可得，设，则，结合已知条件证明∽，则，即，求出x的值，即可得出答案．
本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图方法、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：原式



 

【解析】分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意得，，，
，
这个抛物线的表达式为
由得，
该抛物线的对称轴是直线
点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，点D的横坐标为，
的横坐标是
当时，
 

【解析】根据二次函数图象上的点的坐标特征解决此题．
根据二次函数图象的对称性求得E的横坐标，再将其代入函数解析式，进而求得E的坐标．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：连接OA，如图，设的半径为r，则，，
平分AB，
，，
在中，，
解得，
即的半径为；
连接OB，如图，
，
，
即，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即弦AB所对的圆心角的度数为 

【解析】连接OA，如图，设的半径为r，则，，先根据垂径定理得到，，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可；
连接OB，如图，先利用得到，即，再利用正弦的定义得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．
 

22.【答案】解：过点B作于点F，过点C作于点G，
由题意得，米，，，，，
斜坡CD的坡度，
，
即，
在中，由勾股定理得，
解得，
米，米，
设米，则米，
在中，，
解得，
米，
在中，，
，
即，
解得，
米．
灯的顶端A与地面DE的距离为米． 

【解析】过点B作于点F，过点C作于点G，由坡度的定义及斜坡CD的坡长为6米，可得米，米，设米，则米，在中，，解得，则米，在中，，可得，即，求出x的值，进而可得答案．
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形ABCD为平行四边形，
，，
是边CD的中点，
，，
，
∽，
，
四边形ACED为平行四边形，
，
∽，
，
，
，，
；
，，
，，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
 

【解析】先根据平行四边形的性质得到，，则，，再证明∽，利用相似比得到，同理方法证明∽，则，所以，然后利用，可得到结论；
先利用得到，，则，加上，则可判断∽，所以，然后利用平行线的性质得到，从而得到结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了平行四边形的性质．
 

24.【答案】解：由题意得：，
则翻折后的函数表达式为：，
即；

过点B作于点H，

则，
即，
解得：，
则，
则；

由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：，
设点，在点，点或，
则，或，
如下图，
故当与相似时，或，
①当时，即，
在中，过点F作于点H，

设：，则，
则且或，
解得：或不合题意的值已舍去；
②当时，则，
同理可得：且或，
解得：或不合题意的值已舍去；
综上，点P的坐标为：或或或 

【解析】用待定系数法即可求解；
由，求出，进而求解；
因为，故当与相似时，或，①当时，设：，则，则且或，即可求解；②当时，同理可解．
本题考查了二次函数综合运用，涉及到二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式、解直角三角形等，分类求解是本题解题的关键．
 

25.【答案】证明：如图1，

作于G，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
；
解：如图2，

作于G，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
设，，，
，
由得，
，
，
；
解：如图3，

当时，，
，
，
，
作于G，作于K，
，
，
≌，
，，
，
，
由知：，
，
，
：，
如图4，

当时，，
，
作于H，
，，，
，
由知：，
，
，
，
：：1，
综上所述：DF；或4： 

【解析】作于G，解直角三角形BCG，求得BG和CG，进而解直角三角形ACG，求得AC，从而得出，进一步得出，从而∽，进一步得出结论；
作于G，解直角三角形BEG，求得，，解，得出，进而设，，，从而，进而由得，，进一步得出结果；
由两种情形：当时，可推出，作于G，作于K，进而证明≌，从而，，进而求得BD，根据：，求得DF，进而求得BF，进一步得出结果；
当时，可推出，作于H，可得出，同样根据求得，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形的判定和性质及分类，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是理清线段之间的关系．