2023年上海市崇明区中考数学一模试卷(含答案解析)

2023年上海市崇明区中考数学一模试卷

1.  下列各组图形，一定相似的是(    )

A. 两个等腰梯形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个矩形

2.  将函数的图象向右平移2个单位，下列结论中正确的是(    )

A. 开口方向不变 B. 顶点不变 C. 对称轴不变 D. 与y轴的交点不变

3.  在中，，，，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为的4倍；向量与方向相同，且其模为的2倍，则下列等式中成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于E点，下列式子中能判断的式子是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在中，，垂足为点D，以下条件中不能推出为直角三角形的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如果，那么______ .

8.  计算：______ .

9.  点P是线段MN的黄金分割点，如果，那么较长线段MP的长是______

10.  如果抛物线有最高点，那么m的取值范围是______ .

11.  如果抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为______ .

12.  已知点，为二次函数图象上的两点，那么______ 填“>”，“=”或“<”

13.  如果两个相似三角形的周长之比是4：9，那么它们的对应角平分线的比为______ .

14.  飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标A点的俯角为，那么此时飞机与目标A点的距离为______ 千米用的式子表示

15.  如图，在梯形ABCD中，，，，则______ .

16.  如图，的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作交AD于点F，那么______.

17.  如图，菱形ABCD的边长为8，E为BC的中点，AF平分交CD于点F，过点F作，交AE于点G，若，则FG的长为______ .

18.  如图，在中，，，，点D在AC边上，点E在射线AB上，将沿DE翻折，使得点A落在点处，当且时，BE的长为______ .

19.  计算：

20.  在梯形ABCD中，，且过点A作，分别交BC，BD于点E、F，若，
用、表示和；
求作在、方向上的分向量不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量

21.  如图，D是边上的一点，，，垂足为点E，若，
求BD的长；
若，求的值.

22.  如图，一根灯杆AB上有一盏路灯A，路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点米处有一坡度为：的斜坡如果高为3米的标尺EF竖立在地面BC上，垂足为F，它的影子的长度为4米.
当影子全在水平地面BC上图求标尺与路灯间的距离；
当影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡CD上图，求此时标尺与路灯间的距离为多少米？
 

23.  已知：如图，在梯形ABCD中，，，对角线AC与BD交于点F，点G是AB边上的中点，联结CG交BD于点E，并满足
求证：；
求证：

24.  如图，在直角坐标平面xOy中，对称轴为直线的抛物线经过点、点，与y物交于点

求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点D的坐标；
联结AB、AM、BM，求的面积；
过M作x轴的垂线与AB交于点P，Q是直线MP上点，当与相似时，求点Q的坐标.

25.  已知中，，，点E为射线AD上的一个动点不与A重合，过点E作，交射线CA于点F，联结

如图，当点F在线段AC上时，EF与AB交于点G，求证：∽；
在的情况下，射线CA与BE的延长线交于点Q，设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
当时，求CF的长.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：A、两个等腰梯形不一定相似，故本选项不合题意；
B、两个菱形，形状不一定相同，故本选项不合题意；
C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似形定义，故本选项符合题意；
D、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项不合题意．
故选：
根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答．
本题主要考查了图形相似的判定，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键，难度适中．
 

2.【答案】A 

【解析】解：A、将函数的图象向右平移2个单位，a不变，开口方向不变，故正确；
B、将函数的图象向右平移2个单位，顶点的横坐标改变，纵坐标不变，故错误；
C、将函数的图象向右平移2个单位，形状不变，顶点改变，对称轴改变，故错误；
D、将函数的图象向右平移2个单位，与y轴的交点也改变，故错误．
故选：
由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．
 

3.【答案】C 

【解析】解：在中，，，，
，
故选：
利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

4.【答案】B 

【解析】解：根据题意知，，则，观察选项，只有选项B符合题意．
故选：
根据平面向量的性质进行一一判断．
此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．
 

5.【答案】D 

【解析】解：当时，无法判断，故选项A不符合题意；
当时，，则∽，故，，但无法判断，故选项B不符合题意；
当时，无法判断，故选项C不符合题意；
当时，，则∽，故，可以判断判断，故选项D符合题意；
故选：
根据各个选项中的条件和图形，利用相似三角形的判定和性质、平行线的判定，可以判断哪个选项符合题意．
本题考查平行线分线段成比例、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

6.【答案】D 

【解析】解：，
，

若，则，故，选项A不符合题意；
若，则∽，，故，，选项B不符合题意；
若，则∽，，故，，选项C不符合题意；
若，无法判断∽，从而可以不能推出为直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：
根据题意和各个选项中的条件，可以判断各个选项中的条件能否推出∽，从而可以判断是否为直角三角形．
本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，



，
故答案为：
根据，可以得到，然后将所求式子变形，再将代入计算即可．
本题考查比例的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的值．
 

8.【答案】 

【解析】解：


故答案为：
先去括号，然后计算加减法．
本题主要考查了平面向量的知识，实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算过程中，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：较长线段
故答案为：
由黄金分割的定义即可计算．
本题考查黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线有最高点，
抛物线开口向下，
，
解得，
故答案为：
由抛物线有最高点可得抛物线开口方向，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为y轴，
，
，
，
抛物线顶点坐标为，
故答案为：
由抛物线的对称轴为y轴可得，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

12.【答案】> 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，

故答案为：
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象与系数的关系．
 

13.【答案】4：9 

【解析】解：两个相似三角形的周长之比是4：9，
两个相似三角形的相似比为4：9，
它们的对应角平分线的比为4：
故答案为：4：
直接利用相似三角形的性质解决问题．
本题考查了相似三角形的性质：相相似三角形多边形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段对应中线、对应角平分线、对应边上的高的比等于相似比．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图：BC为飞机离地面的高度，

由题意得：
，千米，，，
，
在中，千米，
此时飞机与目标A点的距离为千米，
故答案为：
根据题意可得：，千米，，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，列代数式，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
又，
∽，
，
，，
，
，
，
故答案为：
根据平行线的性质、相似三角形的判定和性质，可以得到，再根据锐角三角函数即可求得的值，从而可以求得的值．
本题考查相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形、梯形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

16.【答案】 

【解析】解：线段AD、BE是的中线，
，，
，，

故答案为：
由三角形的重心定理得出，，由平行线分线段成比例定理得出，即可得出结果．
本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出FG：：2是解决问题的关键
 

17.【答案】 

【解析】解：作于M，延长AE、DC交于点N，
，，
，
点E为BC的中点，
，
，
垂直平分BE，
，
平分，
，
，
，
，
，
设，
，
，，，
≌，
，
，
∽，
，
解得，
，
故答案为：
作于M，延长AE、DC交于点N，首先说明AM垂直平分BE，可得，再证明≌，得，由，得∽，从而解决问题．
本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，延长交AB于点G，
，，，
，
，
，
，
，
，
由翻折得，
，
解得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得，
故答案为：
延长交AB于点G，由，得，由，得，则，所以，求得，则，，由勾股定理得，则，可证明，则，，再证明∽，即可根据相似三角形的对应边成比例求得
此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 

20.【答案】解：，，，
，
，
，，
四边形AECD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，，即为所求．
 

【解析】利用平行线的性质，平行四边形的判定和性质，三角形法则求解即可；
利用平行四边形法则画出图形即可．
本题考查作图-复杂作图，梯形的性质，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：作于点F，
，
，
，
，，
，
，
，
解得，
，，
，
解得；
，，
，
由知：，，，
，
，
，，
，
，
，
 

【解析】作于点F，根据平行线分线段澄碧，可以得到DF的长，再根据，即可得到BD的长；
根据中的结论和勾股定理，可以得到BE的长，然后即可计算出的值．
本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：如图1，连接AE并延长，交BC于点G，
由题意可知，米，米，米，
，，
，
∽，
，即，
米，
米，
标尺与路灯间的距离为8米；

如图2，连接AE并延长，交CD于点H，过点H作于点N，交EF于点M，过点H作交BC延长线于点P，
由题意可得，米，，
设米，则米，米，米，
米，米，
米，米，
米，
米，
，，
，
，，
∽，
，即，
整理得：，
解得：不符合题意，舍去，，
则米，
米，
此时标尺与路灯间的距离为14米． 

【解析】连接AE并延长，交BC于点G，根据题意可得，易证明∽，根据相似三角形的性质即可求解．
连接AE并延长，交CD于点H，过点H作于点N，交EF于点M，过点H作交BC延长线于点P，根据题意可得米，，设米，则米，米，米，再分别表示出MH、AN、ME、NH的长，易证∽，根据相似三角形的性质可得关于x的方程，求解即可．
本题主要考查解直角三角形的应用-坡度坡脚问题、中心投影、相似三角形的判定与性质，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
 

23.【答案】证明：点G是AB边上的中点，
，
，
，
，
，
∽，

，
，
，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
，
∽，，
，
，
 

【解析】由，且，得，则，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明∽，则；
先证明∽，得，则，由，得，所以∽，得，所以，再证明∽，推导出，则
此题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明∽是解题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，
①，
抛物线经过点，
②，
由①②可得，，
，
在中，令得：，
抛物线顶点D的坐标为；
过M作轴交AB于P，如图：

在中，令得，
，
，
直线AB解析式为，
在中，令得，
，
在中，令得，
，
，
；
过B作于H，如图：

由知，，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，
要使与相似，只需或，
设，则，
当时，，
解得，
，
当时，，
解得，
，
综上所述，Q的坐标为或 

【解析】由抛物线的对称轴为直线，得①，抛物线经过点，有②，可解得，，，即得抛物线顶点D的坐标为；
过M作轴交AB于P，在中，得，故直线AB解析式为，令得，在中，可得，从而，；
过B作于H，由，，可得，，即知，可求出，，故，要使与相似，只需或，设，则，即得或，分别解方程可得答案．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，相似三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
 

25.【答案】证明：取BF的中点O，连接OE，

，，
，，
，
，B，F，A四点共圆，
，
，
∽；

解：过点B作于点M，过点F作交DA的延长线于点

，，

，
，，
，
，
≌，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；

解：当点F在线段AC上时，，，
，
，
，

当点F在CA的延长线上时，过点B作于点M，过点F作交DA于点

同法可证，
，
，
综上所述，满足条件的CF的值为或 

【解析】取BF的中点O，连接OE，证明EBFA四点共圆，可得结论；
过点B作于点M，过点F作交DA的延长线于点证明≌，推出，解直角三角形可得，推出，推出，可得，由，推出，由此构建关系式，可得结论；
分两种情形：当点F在线段AC上时，当点F在CA的延长线上时，分别求解可得结论．
本题属于相似形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．