2023年上海市静安实验中学中考数学一模试卷(含答案解析)

2023年上海市静安实验中学中考数学一模试卷

1.  下列实数中，无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  计算的结果是(    )

A. x B.  C.  D.

3.  如果非零向量、互为相反向量，那么下列结论中错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是(    )

A. ，
B. 且
C. ，
D. 且

5.  如果，那么与的差(    )

A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 不能确定

6.  如图，在中，中线AD与中线BE相交于点G，联结下列结论成立的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  的倒数是______.

8.  计算：______ .

9.  已知，则的值是______.

10.  抛物线与y轴的交点坐标是______ .

11.  请写出一个以直线为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是______ 只要写出一个符合条件的抛物线表达式

12.  有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面AB宽20米，拱桥的最高点O距离水面AB为3米，如图建立直角坐标平面xOy，那么此抛物线的表达式为______ .

13.  一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、AD，且迎水坡AB的坡度为1：，背水坡CD的坡度为1：3，则迎水坡AB的坡角______ 背水坡CD的坡角填“大于”或“小于”

14.  已知∽∽，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为______ .

15.  在矩形ABCD内作正方形如图所示，矩形的对角线AC交正方形的边EF于点如果点F恰好是边CD的黄金分割点，且，那么______ .

16.  在中，，，点D、E分别在边AB、AC上，当，时，______ .

17.  如图，绕点C逆时针旋转后得，如果点B、D、E在一直线上，且，，那么A、D两点间的距离是______ .

18.  定义：把二次函数与、n是常数称作互为“旋转函数”.如果二次函数与、c是常数互为“旋转函数”，写出点的坐标______ .

19.  计算：

20.  如图，已知在中，点D、E分别在边AB、AC上，且，
求证：；
设，，试用向量、表示向量

21.  如图，已知在中，为锐角，AD是BC边上的高，，，
求AC的长；
求的正弦值.

22.  有一把长为6米的梯子AB，将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为，地面与墙面互相垂直如图1所示一般满足时，人才能安全地使用这架梯子.
当梯子底端B距离墙面米时，求的度数结果取整数，此时人是否能安全地使用这架梯子？
当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着墙面下滑米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处如图2所示，此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由.

23.  如图，在梯形ABCD中，，DF分别交对角线AC、底边BC于点E、F，且
求证：；
点G在底边BC上，，，联结AG，如果与的面积相等，求FC的长.

24.  如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点A在点B的左侧，交y轴于点C，联结BC，的余切值为，，点P在抛物线上，且
求上述抛物线的表达式；
平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P，新抛物线的对称轴与x轴交于点
①求新抛物线的对称轴；
②点F在新抛物线对称轴上，且，求点F的坐标.

25.  在等腰直角中，，，点D为射线CB上一动点点D不与点B、C重合，以AD为腰且在AD的右侧作等腰直角，，射线AB与射线FD交于点E，联结
如图所示，当点D在线段CB上时，
①求证：∽；
②设，，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
当时，求CD的长.

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：，4是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.是无理数，故本选项符合题意；
C.，1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D.是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：
有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】B 

【解析】解：
故选
根据同底数的幂相乘的法则即可求解．
本题主要考查了同底数的幂的乘方的计算法则，正确理解法则是关键．
 

3.【答案】C 

【解析】解：非零向量、互为相反向量，
且且，

观察选项，只有选项C符合题意．
故选：
非零向量、互为相反向量，则非零向量、大小相等，方向相反．
本题主要考查了平面向量，注意理解平面向量有关的定义是关键．
 

4.【答案】A 

【解析】解：A、由，，可以判断两个三角形相似，本选项符合题意；
B、由且，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；
C、由，，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；
D、由且，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；
故选：
根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
 

5.【答案】D 

【解析】解：当时，，
，
，
，
当时，，
，
，
，
当时，，
，
，
，
当时，那么与的差不能确定．
故选：
根据锐角三角函数的增减性，分三种情况讨论即可得出结论，
本题考查了锐角三角函数的增减性，理解定义是解题的关键．
 

6.【答案】C 

【解析】解：AD，BE是的中线，
是的中位线，
，，
∽，
：：：2，BG：：DE，，
，
：：：1，
：：3，
：：3，
，
，
，
∽，
，
，
，
结论成立的是，
故选：
由AD，BE是的中线，得到DE是的中位线，推出∽，∽，由相似三角形的性质即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质．
 

7.【答案】3 

【解析】

【分析】
本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．直接根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】
解：因为，
所以的倒数是  

8.【答案】2 

【解析】解：原式


故答案为：
利用同分母的分式的加法法则解答即可．
本题主要考查了同分母分式的加法，熟练掌握同分母分式的加法法则是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了比例的性质，在解决本题时，根据已知中的比值，把几个未知数用一个未知数表示出来，是解决本题的关键．已知，可设，则，代入所求的式子即可求解．
【解答】
解：
设，则
  

10.【答案】 

【解析】解：把代入得，
抛物线与y轴交点坐标为
故答案为：
把代入函数解析式求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：满足题意的抛物线解析式为：
本题答案不唯一．
故答案为：答案不唯一
可根据顶点式求抛物线解析式，只需要对称轴为，开口向上即可．
本题考查了二次函数的性质．当抛物线开口向上时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小．
 

12.【答案】 

【解析】解：该抛物线的解析式是，
由图象知，点在函数图象上，代入得：
，

该抛物线的解析式是；
故答案为：
由函数图象可设该抛物线的解析式是，再结合图象，只需把代入求出a的值即可．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，能够熟练运用待定系数法求得二次函数的解析式是此题的考查点．
 

13.【答案】大于 

【解析】解：迎水坡AB的坡度为1：，背水坡CD的坡度为1：3，
，，
，
，
即迎水坡AB的坡角大于背水坡CD的坡角，
故答案为：大于．
根据坡度坡角的定义和三角函数的增减性即可得到结论．
本题考查了直角三角形的应用-坡度坡角，熟练掌握三角函数的增减性是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：与的相似比为，与的相似比为，
：：5，AB：：3，
设，则，，
：：3，
与的相似比为
故答案为：
根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出与的比值，也就是两三角形的相似比．
根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出与的比值，也就是两三角形的相似比．
 

15.【答案】 

【解析】解：点F恰好是边CD的黄金分割点，
，
四边形AEFD是正方形，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
，
故答案为：
先根据黄金分割的定义可得，再利用正方形的性质可得：，，从而可得，然后证明8字模型相似三角形∽，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，黄金分割，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
∽

，，

故答案为：
首先判定∽，然后利用该相似三角形的对应边成比例解答．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
 

17.【答案】 

【解析】解：过点C作于F，

绕点C逆时针旋转后得，
，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
过点C作于F，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质可得出答案．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得
点P的坐标为，
故答案为：
根据旋转函数的定义得到：，从而解得，
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与几何变换，正确理解新定义是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

 

【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，，

；
解：，，

 

【解析】由平行线分线段成比例进行证明；
由三角形法则求得，然后由AE与EC的比例关系求得向量
本题主要考查了平面向量，掌握平行线的判定，三角形法则即可解答该题，属于基础题．
 

21.【答案】解：，，
，
，
，
；
作于H，

的面积，
，
，
的正弦值是 

【解析】由的余弦求出BD长，得到DC长，由勾股定理即可解决问题；
过C作于H，由三角形的面积公式求出CH的长即可解决问题．
本题考查解直角三角形，关键是过C作于H，由三角形的面积公式求出CH的长．
 

22.【答案】解：，
，
，
此时人能安全地使用这架梯子；
此时人不能安全使用这架梯子，理由如下：
梯子顶端A离开地面最高时，，
，
米，
梯子顶端A沿着墙面下滑米到墙面上的D点，
米，
，
，
，
此时人不能安全使用这架梯子． 

【解析】由的余弦求出的度数，即可解决问题；
由的正弦求出，即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，关键是由锐角的三角函数定义求出梯子与地面的夹角．
 

23.【答案】证明：，
：：AC，
，
，
∽，
，
；
根据题意可得，，
，
∽，
，
和面积相等，
，
解得 

【解析】根据题意可证明，∽，所以，则；
根据三角形的面积公式及相似三角形的性质可得出结论．
本题主要考查相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式等相关知识，根据题意表达三角形的面积比，得出方程是解题关键．
 

24.【答案】解：当时，，即点，，
的余切值，即，则点，
，则，即点，
设抛物线的表达式为：，
则，
即，
解得：，
故抛物线的表达式为：；

①，则点P在OB的中垂线上，故，
当时，，
故点；
设新抛物线的表达式为：，
将点P的坐标代入上式得：，
解得：，
故新抛物线的表达式为：，如下图，延长CP交x轴于点H，

该函数的对称轴为；
②由①知点，则，设直线CP的表达式为：，
将点P的坐标代入上式得：，
解得：，
故直线CP的表达式为：，即，
则，
而，
则，
则点或 

【解析】用待定系数法即可求解；
①用待定系数法求出函数表达式，即可求解；②由新抛物线的表达式：，得到直线CP的表达式为：，进而求解．
本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、图形的平移，学会构建一次函数，利用数形结合是解题的关键．
 

25.【答案】①证明：和是等腰直角三角形，
，，
，，
∽；
②解：过点E作于点H，如图，

是等腰直角三角形，
，
，

设，则，

，
，
，

，
∽，
，
，
，

由①知：∽，

，

，


∽，
，
，
关于x的函数解析式，x的取值范围：；
①解：当点D在线段CB上时，如图，

由②知：

，，
，
，

，
此方程没有实数根，
当点D在线段CB上时，不存在；
②当点D在线段CB的延长线上时，如图，

过点E作于点H，
和是等腰直角三角形，
，，
，，
∽

是等腰直角三角形，
，

，

设，则，

，
，
，
，

，
∽，
，
，



，，

，
，
解得：，
，


综上，当时，CD的长为 

【解析】①利用等腰直角三角形的性质和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可；
②过点E作于点H，设，利用相似三角形的拍等于性质和直角三角形的边角关系定理解答即可；
利用分类讨论的思想方法，画出图形，列出关于x的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，函数的解析式，一元二次方程的解法，本题是相似三角形的综合题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．