2023年浙江省宁波外国语学校中考数学一模试卷(含答案解析)

这是一份2023年浙江省宁波外国语学校中考数学一模试卷(含答案解析)，共23页。试卷主要包含了 −2023的绝对值是， 下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

2023年浙江省宁波外国语学校中考数学一模试卷
1. −2023的绝对值是(    )
A. −12023 B. −2023 C. 12023 D. 2023
2. 下列计算正确的是(    )
A. a2+a3=a5 B. (−a2)3=a6 C. b9÷b3=b3 D. 5y3⋅3y5=15y8
3. 今年的政府工作报告中提到，2022年我国国内生产总值增加到1210000亿元.数1210000用科学记数法表示为(    )
A. 1.21×104 B. 12.1×104 C. 1.21×106 D. 0.121×107
4. 榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是(    )


A. B. C. D.
5. 抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一.对某单位50名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了如下统计图.根据如图提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是(    )

A. 30，30 B. 30，20 C. 40，40 D. 30，40
6. 如图，从一个边长是10的正五边形纸片上剪出一个扇形(阴影部分)，将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为(    )

A. 1 B. 3 C. 32 D. 2
7. 二次函数y=x2+bx+1中，当x>1时，y随x的增大而增大，则一次项系数b满足(    )
A. b>−2 B. b≥−2 C. b<−2 D. b=−2
8. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x，y的二元一次方程组正确的是(    )
A. 7x−7=y9(x−1)=y B. 7x+7=y9(x−1)=y C. 7x+7=y9x−1=y D. 7x−7=y9x−1=y
9. 如图，将两张全等的矩形(非正方形)纸片先后放在同一个正方形中，按如图1呈轴对称方式放置，按如图2呈中心对称方式放置，若已知图形⑤的周长，则一定能求出(    )

A. 图形①与③的周长和 B. 图形②与③的周长差
C. 图形①与③的周长差 D. 图形②与③的周长和
10. 如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为正方形的中心，点E为AD边上的动点，连结OE，作OF⊥OE交CD于点F，连结EF，P为EF的中点，G为边CD上一点，且CD=4CG，连结PA，PG，则PA+PG的最小值为(    )
A. 10
B. 4 7
C. 8 2
D. 2 29
11. 比较大小：− 5______−2.(填“>”、“=”或“<”)
12. 分解因式：2x2−8=__________.
13. 在一个不透明的袋子里装有4个白球，若干个黄球，每个球除颜色外均相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为23，则袋子内共有球______ 个.
14. 对于实数m，n，先定义一种新运算“⊗”如下：m⊗n={m2+m+n,当m>n时n2+m+n,当m⩽n时，若x⊗(−1)=5，则实数x的值为______ .
15. 如图，P是矩形ABCD对角线AC上的一个动点，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P.若AC=53且tan∠ACB=34，当⊙P与矩形ABCD的边相切时，CP的长为______ .


16. 如图，A，B为反比例函数y=kx第一象限图象上任意两点，连结BO并延长交反比例函数图象另一支于点C，连结AC交x轴于点F，交y轴于点G，连结BG，连结AB并向两侧延长分别交x轴于点E，交y轴于点D.已知BEAB=25，S△OBG=3，则ABDE=______ ，k的值为______ .

17. (1)计算：(2+a)(2−a)+(1+a)2；
(2)解不等式组：3x+4>14−x≥0.
18. 如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点A，B均在格点上，在图1和图2中分别画出一个以点A，B为顶点且另两个顶点均在格点上的正方形，并分别求出其周长.

19. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x与双曲线y=kx相交于A(3,m)，B两点，BC⊥x轴.垂足为C.
(1)求双曲线y=kx的解析式，并直接写出点B的坐标；
(2)求△ABC的面积.

20. 开展线上网课以后，学校为了鼓励在家的孩子适当锻炼，在全校范围内随机抽取了八年级若干名学生进行调查，了解八年级学生每日在家锻炼运动时长x(单位：分钟)的情况，以便制订合理的锻炼计划.现将所收集的数据分组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题.
八年级学生每日在家锻炼运动时长情况的统计表
组别
运动时长(分钟)
学生人数(人)
A
0 m
B
20 34
C
40 26
D
x>60
n
(1)本次被调查的学生有多少人；
(2)求统计表中m，n的值；
(3)已知该校八年级学生有600人，试估计该校八年级学生中每日在家锻炼运动时长满足40
21. 某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为70cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为50cm，DE为悬杆，支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60∘.
(1)如图2，当支杆BC与地面垂直，且灯泡悬挂点D距离地面的高度为100cm，求CD的长；
(2)在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20∘，如图3，求此时灯泡悬挂点D到地面的距离.(结果精确到1cm，参考数据：sin20∘≈0.34，cos20∘≈0.94，tan20∘≈0.36，sin40∘≈0.64，cos40∘≈0.77，tan40∘≈0.84)

22. 某创意公司开发了一种成本为20元/个的新型智力开发玩具，其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如表：
价格x(元/个)
…
30
40
50
60
…
销售量y(万个)
…
5
4
3
2
…
(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数解析式；
(2)在“六一节”来临之际，为使利润最大，该公司应将销售价格定为多少元？
23. 【基础巩固】(1)如图1，在矩形ABCD中，AD=5，CD=3，点E是AD上的一点，连结CE，BD，若CE⊥BD，则CEBD的值为______ ；
【类比探究】(2)如图2，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90∘，AD=4，BC=7，CD=5，点E为AB上一点，连结DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F.求DECF的值；
【拓展延伸】(3)如图3，在Rt△ABD中，∠BAD=90∘，AB=2，AD=6，将△ABD沿BD沿折得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连结DE，CF，DE⊥CF，求DECF的值.

24. 如图1，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，点D在AB上，连结CD，点E为DA延长线上一点，连结CE交⊙O于点F，满足BC=2DF，连结AF.
(1)求证：CE⊥DE；
(2)当AF=2AD，且∠DCB=50∘时，求AEEF的值；
(3)如图2，连结DF交AC于点G，若DF=30，⊙O的半径为25，
①求BC的长；
②当DF//BC时，直接写出△AGF与△AEC的面积之比.

答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：|−2023|=2023，
故选：D.
根据绝对值的定义进行计算即可．
本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．

2.【答案】D 
【解析】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、(−a2)3=−a6，故B不符合题意；
C、b9÷b3=b6，故C不符合题意；
D、5y3⋅3y5=15y8，故D符合题意；
故选：D.
利用单项式乘单项式的法则，合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

3.【答案】C 
【解析】解：1210000=1.21×106，
故选：C.
科学记数法的表现形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．

4.【答案】B 
【解析】解：该几何体的主视图是：

故选：B.
根据主视图是从物体的正面看得到的图形，可得答案．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．

5.【答案】C 
【解析】解：∵红包金额为40元的人数最多，有19人，
∴众数是40，
∵50个数据从小到大排列，第25、26位置的数都为40，
∴中位数为40+402=40.
故选：C.
根据众数和中位数的定义求解即可．
本题考查了众数和中位数，掌握众数和中位数的定义是关键．

6.【答案】B 
【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD=(5−2)×180∘5=108∘，
又∵弧BD的长为108×10π180=6π，即圆锥底面周长为6π，
设圆锥的底面半径为r，则2πr=6π，
∴圆锥底面半径为3，
故选：B.
先求出正五边形的内角的度数，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面半径．
本题考查正多边形与圆，扇形面积，弧长及圆周长，掌握扇形面积、弧长、圆周长的计算方法是正确解决问题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：∵a=1>0，
∴二次函数y=x2+bx+1的图象开口向上，
∵当x>1时，y随x的增大而增大，
∴−b2≤1，
解得：b≥−2，
故选：B.
根据a的值先确定抛物线的开口方向，然后再根据已知当x>1时，y随x的增大而增大，可得抛物线的对称轴−b2a≤1，从而进行计算即可解答．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

8.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意得出方程组是解决问题的关键．
设该店有客房x间，房客y人，根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．
【解答】
解：设该店有客房x间，房客y人，
根据题意得：7x+7=y9(x−1)=y，
故选：B.  
9.【答案】D 
【解析】解：设正方形边长为a，矩形较长边为x，较短边为y，则⑤的周长为2(a−x+a−y)=4a−2x−2y，
①的周长为2(x+y−a+x+y−a)=4x+4y−4a，②的周长为2(a−y+a−y)=4a−4y，③的周长为2(a−x+a−x)=4a−4x，④的周长为2(2x−a+2y−a)=4x+4y−4a，
∴图形①与③的周长和为4x+4y−4a+4a−4x=4y，已知4a−2x−2y不能得到4y，故A不符合题意；
图形②与③的周长差为4a−4y−(4a−4x)=4x−4y，已知4a−2x−2y不能得到4x−4y，故B不符合题意；
图形①与③的周长差为4x+4y−4a−(4a−4x)=8x+4y−8a，已知4a−2x−2y不能得到8x+4y−8a，故C不符合题意；
图形②与③的周长和为4a−4y+4a−4x=8a−4x−4y=2(4a−2x−2y)，已知4a−2x−2y能得到2(4a−2x−2y)，故D符合题意；
故选：D.
设正方形边长为a，矩形较长边为x，较短边为y，分别表示出各部分周长，再判断各选项即可．
本题考查整式混合运算的应用，矩形的性质，正方形的性质，解题的关键是根据用字母根据矩形和正方形的性质表示出各部分的周长．

10.【答案】D 
【解析】解：如图，连接OP，过点O作OI⊥CD于点I，过点O作OQ⊥AD于点Q，连接PI，OD.

∵O是正方形ABCD的中心，
∴OD平分∠ADC，
∵OI⊥CD，OQ⊥AD，
∴OI=OQ，
∵∠QOI=∠EOF=90∘，
∴∠EOQ=∠FOI，
∵∠OQE=∠OIE=90∘，
∴△OQE≌△OIF(AAS)，
∴OE=OF，
∴∠OFE=45∘，
∵PE=PF，OE=OF，
∴OP⊥EF，
∴∠OPF=∠OIF=90∘，
∴O，P，F，I四点共圆，
∴∠OIP=∠OFP=45∘，
∴点P在射线IP上运动，
作点G关于最小PI的对称点J，连接AJ，IJ，过点J作JK⊥AD交AD的延长线于点K.
由轴对称变换的性质可知∠PIJ=∠PIG=135∘，IG=IJ，
∴∠JIG=90∘，
∴IJ=IG，
∵CD=8，DIC=4，CG=14CD=2，
∴IG=CG=JI=2，
∵∠K=∠KDI=∠DIJ=90∘，
∴四边形DKJI是矩形，
∴DK=IJ=2，KJ=DI=4，
∴AK=AD=dk=8+2=10，
∴AJ= AK2+KJ2= 102+42=2 39，
∵PG=PJ，
∴PA+PG=PA+PJ≥AJ=2 29，
∴PA+PG的最小值为2 29.
故选：D.
如图，连接OP，过点O作OI⊥CD于点I，过点O作OQ⊥AD于点Q，连接PI，OD.证明△OQE≌△OIF(AAS)，推出OE=OF，推出∠OFE=45∘，证明O，P，F，I四点共圆，推出∠OIP=∠OFP=45∘，推出点P在射线IP上运动，作点G关于最小PI的对称点J，连接AJ，IJ，过点J作JK⊥AD交AD的延长线于点K.求出AJ，可得结论．
本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决问题．

11.【答案】< 
【解析】解：因为2= 4< 5，
所以− 5<−2，
故答案为：<.
求出2= 4< 5，再根据实数的大小比较法则比较即可．
本题考查了实数的大小比较法则的应用，注意：两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．

12.【答案】2(x−2)(x+2) 
【解析】
【分析】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
直接提取公因式2，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】
解：2x2−8=2(x2−4)=2(x−2)(x+2).
故答案为：2(x−2)(x+2).  
13.【答案】10 
【解析】解：设袋子内共有球x个，
根据题意得4x=23，
解得x=10，
经检验x=10为原方程的解，
即袋子内共有球10个．
故答案：10.
设袋子内共有球x个，利用概率公式得到4x=23，然后利用比例性质求出x即可．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

14.【答案】2 
【解析】解：当x>−1时，x2+x−1=5，即x2+x−6=0，
解得x1=2，x2=−3(舍去)，
当x≤−1时，(−1)2+x−1=5，解x=5(舍去)，
所以x的值为2.
故答案为：2.
根据新定义，当x>−1时，x2+x−1=5，即x2+x−6=0，当x≤−1时，(−1)2+x−1=5，然后分别解一元二次方程和一元一次方程可得到满足条件的x的值．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．

15.【答案】58或2027 
【解析】解：由题意知⊙P只能与AD，AB相切，
作PM⊥AD与M，PN⊥AB于N，
∵tan∠ACB=ABBC=34，
∴令AB=3x，BC=4x，
∴AC= AB2+BC2=5x=53，
∴x=13，
∴AB=1，BC=43，
当⊙P与AD相切时，PM=PC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD⊥AD，BC⊥AB，CD=AB=1，
∴PM//CD，
∴△APM∽△ACD，
∴AP：AC=PM：CD，
∵AP=AC−PC=53−PC，
∴(53−PC)：53=PC：1，
∴PC=58；
当⊙P与AB相切时，PN=PC，
∵PN//CB，
∴△ANP∽△ABC，
∴AP：AC=PN：BC，
∵AP=AC−PC=53−PC，
∴(53−PC)：53=PC：43，
∴PC=2027.
∴PC的长是58或2027.
故答案为：58或2027.
由锐角的正切求出AB，BC的长，分两种情况，由相似三角形的性质即可求出PC的长．
本题考查切线的性质，矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，关键是要分两种情况讨论．

16.【答案】59 125 
【解析】解：如图，设A(a,ka)，B(b,kb)，过点A作AL⊥x轴于点L，AH⊥y轴于点H，过点B作BK⊥x轴于点K，BM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N，连接OA，
则AH=a，AL=ka，BM=b，BK=kb，

∵BK//AL，
∴△EBK∽△EAL，
∴BKAL=EBEA，
∵BEAB=25，
∴EBEA=27，
∴BKAL=27，
∴7BK=2AL，即7×kb=2×ka，
∴ab=27，即AHBM=27，
∵AH//BM，
∴△DAH∽△DBM，
∴DADB=AHBM=27，
∴DAAB=25，
∴DAAB=BEAB=25，
∴DA=BE=25AB，
∴DE=DA+AB+BE=95AB，
∴ABDE=59；
∵B、C关于原点O对称，
∴OB=OC，
∵S△OBG=3，
∴S△BCG=2S△OBG=6，
∵BM//CN，
∴∠OBM=∠OCN，∠OMB=∠ONC，
∴△BOM≌△CON(AAS)，
∴BM=CN，
∴AHCN=AHBM=27，
∵AH//CN，
∴△AGH∽△CGN，
∴AGCG=AHCN=27，
∴S△ABGS△BCG=AGCG=27，
∴S△ABG=27S△BCG=27×6=127，
∴S△ABC=S△ABG+S△BCG=127+6=547，
∴S△AOB=12S△ABC=12×547=277，
∵S△AOB+S△OBK=S△AOL+S梯形ABKO，S△OBK=S△AOL=12k，
∴S梯形ABKO=S△AOB=277，
∴12(ka+kb)(b−a)=277，
即k⋅b2−a2ab=547，
∴k(ba−ab)=547，
又∵ab=27，
∴ba=72，
∴k(72−27)=547，
∴k=125.
故答案为：59，125.
如图，设A(a,ka)，B(b,kb)，过点A作AL⊥x轴于点L，AH⊥y轴于点H，过点B作BK⊥x轴于点K，BM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N，连接OA，由BK//AL，可得△EBK∽△EAL，推出：ab=27，即AHBM=27，再由AH//BM，可得△DAH∽△DBM，推出ABDE=59；再证得△BOM≌△CON(AAS)，得出BM=CN，即可得AHCN=AHBM=27，由AH//CN，可得△AGH∽△CGN，推出S△ABGS△BCG=AGCG=27，进而可得S梯形ABKO=S△AOB=277，即k(ba−ab)=547，再结合ab=27，即可求得答案．
本题考查反比例函数的综合应用，反比例函数系数k的几何意义，中心对称性质，三角形面积，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，本题综合性较强，难度较大，解题的关键是数形结合、方程思想等重要数学思想的应用．

17.【答案】解：(1)原式=4−a2+1+2a+a2
=5+2a；

(2){3x+4>1①4−x⩾0②，
解不等式①得：
x>−1；
解不等式②得：
x≤4，
故不等式组的解集为：−1 【解析】(1)直接利用平方差公式以及完全平方公式化简，再合并同类项得出答案；
(2)分别解不等式，进而得出答案．
此题主要考查了乘法公式以及不等式组的解法，正确掌握相关运算法则是解题关键．

18.【答案】解：如下图：

正方形ABCD，正方形ACBD即为所求． 
【解析】分别根据“四条边相等且四个角相等的四边形是正方形”，“对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形“作图．
本题考查了作图的应用和设计，掌握正方形的判定定理是解题的关键．

19.【答案】解：(1)将点A(3,m)代入直线y=x得：m=3，
∴A(3,3)，
将A(3,3)代入双曲线y=kx，得k=3×3=9，
∴双曲线y=kx的解析式为y=9x，
根据题意得：点A，B关于原点中心对称，
∴B(−3,−3)；
(2)∵BC⊥x轴，B(−3,−3)，
∴点C(−3,0)，
∴BC=3，
∴S△ABC=12×3×(3+3)=9. 
【解析】(1)将点A(3,m)代入直线y=x得到点A的坐标，再将点A代入双曲线y=kx即可得到k值，由A，B关于原点对称得到B点坐标；
(2)先求出BC的长，再根据三角形面积公式即可求解．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解本题的关键．

20.【答案】解：(1)(34+26)÷(1−15%−10%)=80(人)，
答：本次被调查的学生有80人；
(2)m=80×15%=12，n=80×10%=8；
(3)600×2680=195(人)，
答：估计该校八年级学生中每日在家锻炼运动时长满足40 【解析】(1)用B、C组人数和除以其所占百分比之和即可得出答案；
(2)总人数乘以A、D组人数所占百分比即可；
(3)总人数乘以样本中C组人数所占比例即可．
此题考查了频数(率)分布表，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．

21.【答案】解：(1)过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DF⊥AF于点F，
∴四边形GDFA是矩形，
∴GA=DF=100(cm)，
∵CA=CB+BA，
∴CA=50+70=120(cm)，
∴CG=CA−DF=120−100=20(cm)，
∵∠BCD=60∘，
∴∠CDG=30∘，
∴CD=2CG=40(cm)，
答：CD的长为40cm.
(2)过点D作DF⊥AF于点F，过点C作CH⊥AF于点H，
过点D作DM⊥CH于点M，过点B作BN⊥CH于点N，
∴四边形MDFH和四边形BNHA是矩形，
由题意可知：∠BCN=20∘，∠BCD=60∘，
∴∠MCD=60∘−20∘=40∘，
在Rt△BCN中，
cos∠BCN=cos20∘=CNBC，
∴CN=BCcos20∘≈50×0.94≈47(cm)，
∴CH=CN+NH=CN+AB=47+70=117(cm)，
在Rt△CDM中，
∴cos∠MCD=cos40∘=CMCD，
∴CM=CDcos40∘≈40×0.77≈31(cm)，
∴MH=CH−CM=117−31=86(cm)，
答：此时灯泡悬挂点D到地面的距离为86cm. 
【解析】(1)过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DF⊥AF于点F，从而可求出CG的长度，然后利用锐角三角函数的定义即可求出答案．
(2)过点D作DF⊥AF于点F，过点C作CH⊥AF于点H，过点D作DM⊥CH于点M，过点B作BN⊥CH于点N，从而可知四边形MDFH和四边形BNHA是矩形，利用锐角三角函数的定义可求出CN，CH，CM，MH的长度即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．

22.【答案】解：(1)根据表格中数据可知，y与x是一次函数关系，
设y与x的解析式为y=ax+b，
则30a+b=540a+b=4，
解得a=−110b=8，
∴y与x的解析式为y=−110x+8；
(2)设公司获得利润为w元，
则w=(x−20)y=(x−20)(−110x+8)=−110x2+10x−160=−110(x−50)2+90，
∵−110<0，
∴当x=50时，w有最大值，最大值为90万元，
答：为使利润最大，该公司应将销售价格定为50元/个． 
【解析】(1)根据表格中数据可判断是一次函数，利用待定系数法即可解决问题．
(2)设公司获得利润为w元，根据每个玩具的利润×销售量=总利润列出函数解析式，利用二次函数的性质即可解决问题．
本题考查二次函数的应用、待定系数法，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质，解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．

23.【答案】35 
【解析】解：(1)如图1，设DB与CE交于点G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠EDC=90∘，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC=90∘，
∴∠CDG+∠ECD=90∘，∠ADB+∠CDG=90∘，
∴∠ECD=∠ADB，
∵∠CDE=∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴CEBD=DCAD=35，
故答案为：35；
(2)如图2，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，

∵CG⊥EG，
∴∠G=∠H=∠A=∠B=90∘，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AB=CH，AH=BC=7，∠FCH+∠CFH=∠DFG+∠FDG=90∘，
∴∠FCH=∠FDG=∠ADE，
∵∠A=∠H=90∘，
∴△DEA∽△CFH，
∴DECF=ADCH=ADAB，
在Rt△CDH中，DH=AH−AD=3，CD=5，
∴CH= CD2−DH2=4=AB，
∴DECF=44=1；
(3)如图3，过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，

∵CF⊥DE，GC⊥AD，
∴∠FCG+∠CFG=∠CFG+∠ADE=90∘，
∴∠FCG=∠ADE，
∵∠BAD=∠CGF=90∘，
∴△DEA∽△CFG，
∴DECF=ADCG，
在Rt△ADB中，tan∠ADB=ABAD=26=13，
∴tan∠ADH=13，
即AHDH=13，
设AH=a，则DH=3a，
∵AH2+DH2=AD2，
∴a2+(3a)2=62，
∴a=6 1010(负值已舍去)，
∴AH=6 1010，DH=9 105，
∴AC=2AH=6 105，
∵S△ADC=12AC⋅DH=12AD⋅CG，
∴12×6 105×9 105=12×6⋅CG，
∴CG=185，
∴DECF=ADCG=6185=53.
(1)证明△DEC∽△ABD，根据相似三角形的性质计算即可；
(2)过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，证明△DEA∽△CFH，列出比例式，即可求解；
(3)过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，根据正切的定义得到AHDH=13，根据勾股定理分别求出AH、DH，根据三角形的面积公式求出CG，计算即可．
本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及矩形的性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键．

24.【答案】(1)证明：如图1，

连接OB，OC，作直径AG，连接DG，CG，FG，
∴∠ADG=90∘，
∵OB=OC，AB=AC，
∴AG垂直平分BC，
∴BC=2CG=2BG，
∵BC=2DF，
∴DF=CG，
∴∠CFG=DGF，
∴CE//DG，
∴∠DEF=180∘−∠ADG=90∘，
∴CE⊥DG；
(2)解：设∠ACD=x∘，由题意得：∠BAC=6x∘，
∴∠B=∠ACB=(50+x)∘，
∴2(50+x)+6x=180，
∴x=10，
∴∠DCF=30∘，
∵四边形ADCF是⊙O的内接四边形，
∴∠EAF=∠DCF=30∘，
∴AEEF=cot30∘= 3；
(3)①解：如图1，设AG与BC交于H，
由(1)知：DF=CG，∠ACG=90∘，AG⊥BC，
∴CG=DF=30，
∴AC= AG2−CG2= 502−302=40，
∵sin∠AGC=CHCG=ACAG，
∴CH30=4050，
∴CH=24，
∴BC=2CH=48；
②解：如图2，

作直径AM，交DF于H，连接OD，
∴FH=DH=12DF=15，AD=AF，
∴OH= OD2−DH2= 252−152=20，∠AFH=∠ACE，
∴AH=OA−OH=5，
∴AF2=AH2+FH2=52+152=250，
由①知：tan∠CAM=34，
∴GH=AH⋅tan∠CAM=5×34=154，
∴FG=FH−GH=15−154=454，
∴S△AFGS△AFH=45415=34，
∵∠AEC=∠AHF，
∴△AFH∽△ACE，
∴S△AFHS△ACE=(AFAC)2=2501600=532，
∴S△AGFS△AEC=15128. 
【解析】(1)连接OB，OC，作直径AG，连接DG，CG，FG，可证得AG垂直平分BC，从而BC=2CG=2BG，进而得出DF=CG，从而∠CFG=DGF，进一步得出结论；
(2)设∠ACD=x∘，∠BAC=6x∘，∠B=∠ACB=(50+x)∘，从而得出2(50+x)+6x=180，求得x的值，进一步得出结果；
(3)①可得出CG=DF=30，进而求得AC=40，根据sin∠AGC=CHCG=ACAG，从而求得CH，进一步得出结果；
②作直径AM，交DF于H，连接OD，可求得FH=DH=12DF=15，进而求得OH=20，从而求得AH=OA−OH=5，进而求得AF，进而解得GH和FG，从而得出△AFG和△AFH的比值，证得△AFH∽△ACE，从而得出S△AFHS△ACE=(AFAC)22=532，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆的有关定理等知识，解决问题的关键是作辅助线利用圆的有关定理．