2022-2023学年青海省西宁市六校联考高二上学期期末考试数学试题含解析

2022-2023学年青海省西宁市六校联考高二上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．经过两点A(2,3)，B(－1，x)的直线l1与斜率为－1的直线l2平行，则实数x的值为（    ）

A．0 B．－6 C．6 D．3

【答案】C

【分析】根据点A(2,3)，B(－1，x)求得直线l1与斜率，再令斜率为－1求解.

【详解】直线l1的斜率k1＝＝，

由题意可知＝－1，

∴x＝6.

故选：C

2．过点且垂直于直线的直线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得直线的斜率为，由垂直得垂直直线的斜率，然后由点斜式写出直线方程，化为一般式可得结果．

【详解】解：由题意可得直线的斜率为，

则过点且垂直于直线的直线斜率为，

直线方程为，

化为一般式为．

故选：A．

3．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合已知条件可知，正三棱锥为正方体的一部分，然后利用三棱锥的体积公式求解即可.

【详解】由题意可知，正三棱锥为正方体的一部分，如下图所示：

则所求的正三棱锥为，且，

由正方体性质可知，，

所以，

从而.

故选：C.

4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据三视图判断出立体图形并根据圆锥侧面积公式即可求解.

【详解】根据题意，该几何体为圆锥，

圆锥的底面半径为1，高为3，

则该几何体的侧面积是

故选：B.

5．已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】若△AF1B的周长为4,

由椭圆的定义可知,,

,,

，

所以方程为，故选A.

【解析】椭圆方程及性质

6．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.

【详解】

如图，连接，因为∥，

所以或其补角为直线与所成的角，

因为平面，所以，又，，

所以平面，所以，

设正方体棱长为2，则，

，所以.

故选：D

7．设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知，根据题意，分别设出为球半径，为四边形外接圆半径，为球心到平面的距离，根据题意，且根据即可求得，然后直接求解球的体积即可.

【详解】由已知，A、B、C、D在同一平面内，且，

所以四边形为正方形，

设为球半径，为四边形外接圆半径，为球心到平面的距离，

根据球心到该平面的距离是球半径的一半，可知，，

而正方形边长为，所以，

由，解得，

所以.

故选：A.

8．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】B

【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.

【详解】由题意得，，则，

即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，

不妨设点在轴上方，代入得，，

所以.

故选：B

9．若直线与圆有两个不同的交点，则a的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题，直线与圆相交，则直线到圆心距离小于圆半径.

【详解】由题，圆心坐标为，半径为1，直线与圆相交.则圆心到直线距离，得，即，解得.

故选：B

10．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】∵y2=2px的焦点坐标为,

∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.

11．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据渐近线方程得到，根据共焦点得到，解得答案.

【详解】双曲线的一条渐近线方程为，则.

椭圆与双曲线有公共焦点，则双曲线的焦距，即，

则，解得，，则双曲线C的方程为.

故选：B.

12．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ）

A．4 B．8 C．16 D．32

【答案】B

【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.

【详解】

双曲线的渐近线方程是

直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点

不妨设为在第一象限，在第四象限

联立，解得

故

联立，解得

故

面积为：

双曲线

其焦距为

当且仅当取等号

的焦距的最小值：

故选：B.

【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

13．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】设点，由依题意可知，，，再根据两点间的距离公式得到，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．

【详解】设点，因为，，所以

，

而，所以当时，的最大值为．

故选：A．

【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．

二、填空题

14．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________.

【答案】x+y=3或y=2x

【详解】试题分析：：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，

把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y-3=0；

②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，

把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x-y=0．

综上，所求直线的方程为：2x-y=0或x+y-3=0

【解析】直线方程

15．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是_____________．

【答案】

【分析】设母线为，底面半径为，即可得到且，从而求出、，再根据侧面积公式计算可得.

【详解】解：由题意圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，设母线为，底面半径为，则，且，

，，，

所以圆锥的侧面积．

故答案为：．

16．若圆C过三个点，，，则圆C的方程为____________．

【答案】

【分析】设圆的方程为，根据圆过点，，，代入求解.

【详解】解：设圆的方程为，

因为圆过点，，，

所以，解得，

所以圆的方程为，

即.

故答案为：

17．已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：

①若，则；

②若，则；

③若，则；

④m，n是两条异面直线，若，则．

上面的命题中，真命题的序号是____________．（写出所有真命题的序号）

【答案】③④

【分析】利用平面与平面平行的判定和性质可判断各命题的真假．

【详解】若，则m与n平行或异面，故①错误；

，但m与n不一定相交，不一定成立，故②错误；

若，则，又由，则，故③正确；

m，n是两条异面直线，若，则过m的平面与平面相交于直线，有，过n的平面与平面相交于直线，有，m，n异面，一定相交，，如图所示，

由面面平行的判定可知，故④正确；

故答案为：③④

三、解答题

18．已知的三个顶点分别为．求：

(1)边上的中线所在直线的方程；

(2)的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题可得AC中点坐标，结合中线过B点，可得答案；

（2）由两点间距离公式可得边长，由点到直线距离公式可得高.

【详解】（1）设AC边上的中点为D，则，即，

故AC边上的中线BD所在直线的方程的斜率为，故为：，即．

（2）边AC所在直线的方程为：，

且，

点B到直线AC的距离为：，

故的面积：

19．已知圆：（）与直线相切．

(1)求圆的方程；

(2)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）利用直线与圆相切可得到关于的方程，求解即可；

（2）分类讨论直线的斜率存在与否两种情况，结合圆的弦长公式即可得解.

【详解】（1）∵直线与圆：相切，

∴圆心到直线的距离等于圆的半径，即，∴．

∴圆的方程为．

（2）∵直线截圆所得弦长为，∴圆心到直线的距离．

当直线的斜率不存在时，即，符合；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

即，∴，解得，

∴直线的方程为，即，

故直线的方程为或．

20．已知在四棱锥中，底面，且底面是正方形，F、G分别为和的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）连接AC，通过证明，利用线面垂直的判定可得答；

（2）通过证明面可得答案.

【详解】（1）连接AC，由已知F、G分别为和的中点，

，又面ABCD，面ABCD，

平面；

（2）底面是正方形，

，

又底面，面ABCD，

，面，面，

面，又面，

.

21．（1）已知抛物线的焦点为，设过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，求线段的长．

（2）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，求双曲线C的离心率.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）联立方程，利用抛物线的焦点弦长度公式和韦达定理计算弦长；

（2）利用双曲线的定义得到，，然后利用余弦定理得到的关系，进而求得离心率.

【详解】（1）抛物线的焦点为，

直线的斜率为，则直线的方程为，

设点、，联立可得，，

由韦达定理可得，因此，.

（2）因为，由双曲线的定义可得，

所以，；

因为,由余弦定理可得，

整理可得，所以，即.

22．如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点．求证：

(1)底面；

(2)平面平面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可；

（2）首先证明出四边形为矩形，从而得到，，再利用线面垂直的判定定理得到平面，再利用线面垂直的性质定理得到，再次证明平面，从而，最后利用三角形中位线性质和面面垂直的判定定理即可证明.

【详解】（1）因为平面底面，，

平面底面，平面，

所以底面.

（2），，为中点，

，则四边形平行四边形，

，所以四边形为矩形，

，.

底面，平面，.

又平面，且，

平面，平面，.

和分别是和的中点，，.

又，，平面，

平面，平面，

平面平面.

23．已知椭圆的离心率为.

（1）证明：；

（2）若点在椭圆的内部，过点的直线交椭圆于、两点，为线段的中点，且.

①求直线的方程；

②求椭圆的标准方程.

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②.

【分析】（1）由可证得结论成立；

（2）①设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；

②将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，可求出的值，即可得出椭圆的方程.

【详解】（1），，因此，；

（2）①由（1）知，椭圆的方程为，即，

当在椭圆的内部时，，可得.

设点、，则，所以，，

由已知可得，两式作差得，

所以，

所以，直线方程为，即.

所以，直线的方程为；

②联立，消去可得.

，

由韦达定理可得，，

又，而，，

，

解得合乎题意，故，

因此，椭圆的方程为.

24．已知椭圆经过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于两点，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据题意得，，再结合即可求得答案；

（2）联立直线、椭圆方程可得两点坐标，由向量的数量积坐标运算公式可得答案.

【详解】（1）椭圆经过点，所以，

因为离心率为，所以，所以，

所以椭圆的方程为.

（2）由得，解得，

所以，或，

可得，，或者，，

所以.