2022-2023学年天津市河东区天铁第二中学高二上学期阶段性检测数学试题含解析

2022-2023学年天津市河东区天铁第二中学高二上学期阶段性检测数学试题

一、单选题

1．等差数列3，11，19，27，…的通项公式是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先得到首项与公差，即可求出通项公式.

【详解】因为等差数列的首项，公差，

所以通项公式为.

故选：B

2．设函数是函数的导函数，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.

【详解】因为，所以，所以.

故选：A

3．有4人站成一排，若甲、乙两人关系好而相邻，则不同的排法种数共有（    ）

A．256 B．24 C．12 D．8

【答案】C

【分析】由题意，相邻问题利用捆绑法即可求解.

【详解】解：因为甲、乙两人关系好而相邻，

所以利用捆绑法可得有种不同的排法，

故选：C.

4．若函数，则的单调增区间为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可.

【详解】函数的定义域为，

又，

令，得，所以的单调增区间为，

故选：C.

5．已知函数的图像在点处的切线方程是，那么（ ）

A． B．1 C． D．3

【答案】D

【分析】利用切线方程求得，根据导数的几何意义可求得，即可求得答案.

【详解】由题意函数的图像在点处的切线方程是，

则， ，

故，

故选：D

6．已知，若，则（    ）

A． B． C． D．e

【答案】B

【分析】求的导数，代入导数值即可求解.

【详解】因为．所以，

由，解得e．

故选：B.

7．高三（2）班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（    ）

A．42种 B．96种 C．120种 D．144种

【答案】C

【分析】根据语文课与数学课相邻，则利用捆绑法，物理课比生物课先上则利用对称法求解.

【详解】因为要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，

所以课程编排方案共有种，

故选：C.

8．定义在R上的函数和，其各自导函数和的图像如图所示，则函数其极值点的情况是（    ）

A．只有三个极大值点，无极小值点 B．有两个极大值点，一个极小值点

C．有一个极大值点，两个极小值点 D．无极大值点，只有三个极小值点

【答案】C

【分析】如图所示，三个交点对应的横坐标为，，根据图像得到函数的单调区间得到答案.

【详解】如图所示：三个交点对应的横坐标为，.

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；

故函数有一个极大值点，两个极小值点.

故选：.

【点睛】本题考查了函数的图像的识别，函数的极值，意在考查学生对于函数知识的综合应用，

9．重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：

“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；

“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；

“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（    ）

A．108 B．36 C．9 D．6

【答案】C

【分析】利用分步计数原理及分类计数原理即得.

【详解】由题可知中间格只有一种放法；

十字格有四个位置，3种适合放入，所以有一种放两个位置，共有3种放法；

四角格有四个位置，2种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，有两种放法，或每种都放两个位置，有一种放法，故四角格共有3种放法；

所以不同放法共有种.

故选：C.

二、填空题

10．已知双曲线，则双曲线的焦距是________

【答案】

【分析】根据双曲线的标准方程求出即可求出.

【详解】已知双曲线，即，

则，.

所以双曲线的焦距为.

故答案为：.

11．已知，则正整数___________.

【答案】6

【分析】根据组合数和排列数的运算即可求得答案.

【详解】由题意，，得.

故答案为：6.

三、双空题

12．的展开式中的系数为_______，展开式中二项式系数和为_____________

【答案】         

【分析】写出展开式的通项，令求出，再代入计算可得，展开式中二项式系数和为，即可得解.

【详解】二项式展开式的通项为，

令，解得，所以展开式中的系数为，

展开式中二项式系数和为.

故答案为：；

四、填空题

13．将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）

【答案】36

【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.

【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，

可先将4人分为2、1、1的三组，有种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有种方法，

则共有种分配方案.

故答案为：36

14．函数是R上的单调递增函数，则a的取值范围是______．

【答案】

【分析】对求导，由题设有恒成立，再利用导数求的最小值，即可求a的范围.

【详解】由题设，，又在 R上的单调递增函数，

∴恒成立，令，则，

∴当时，则递减；当时，则递增.

∴，故.

故答案为：.

15．已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则a的取值范围为____________．

【答案】

【分析】由分段函数结合导数求出值域，令，结合图象特征采用数形结合法可求a的取值范围.

【详解】，

当时，，函数为减函数；

当时，，，和时，单增，时，单减，，，

故的图象大致为：

令，则，

，

当时，，，无零点；

当时，，，无零点；

当时，，，，则，

要使恰有4个不同的零点，则，

即.

故答案为：

五、解答题

16．已知函数

(1)求曲线在点处的切线方程

(2)已知函数在点处有极小值，试确定，的值

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再用点斜式求出切线方程；

（2）求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得即可，再进行检验.

【详解】（1）因为，所以，

，

则，所以函数在点处的切线方程为，

即.

（2）因为，

所以，

依题意可得，即，解得，

经检验在处取得极小值满足题意.

17．已知函数．

（Ⅰ）若曲线在处的切线方程为，求的值；

（Ⅱ）求函数在区间上的极值．

【答案】（Ⅰ）0（Ⅱ）详见解析

【分析】（Ⅰ）求出的导数，求出切线方程，然后求解a即可．

（Ⅱ）求出，通过①当2a≤1，即时，②当2a≥2，③当1＜2a＜2，判断导函数的符号，函数的单调性，然后求解函数的极值．

【详解】解：（Ⅰ）因为，

所以，

所以.

因为在处的切线方程为.

所以，

解得.

（Ⅱ）因为，，

所以，

①当，即时，在恒成立，

所以在单调递增；

所以在无极值；

②当，即时，在恒成立，

所以在单调递减，

所以在无极值；

③当，即时，

变化如下表：

因此，的减区间为，增区间为．

所以当时，有极小值为，无极大值.

【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．

18．已知展开式中所有二项式系数的和为256，且满足.求：

(1)和的值

(2)

(3)

【答案】(1)，

(2)1

(3)

【分析】（1）根据二项式系数的和得出值，令，求出的值；

（2）令，即求得结果；

（3）由求出展开式的通项，再求出得出结果.

【详解】（1）已知展开式中所有二项式系数的和为256，则，解得.

所以，

令，即，则.

所以，

（2）令，即，则.

（3）的展开式的通项为，

，，，，，

所以

.

19．设函数（其中）．

（1）求函数的极值；

（2）求函数在上的最小值；

（3）若，判断函数零点个数．

【答案】（1）极小值，不存在极大值；（2）见解析；（3）1个．

【分析】（1）求导，利用导函数的符号确定函数的单调性和极值；（2）讨论与单调区间的关系进行求解；（3）求导，利用导函数的符号确定函数的单调性和极值，通过单调性和极值的符号判定函数的零点个数．

【详解】（1） ，

由得，由得，

在单调递增，在单调递减．

极小值，不存在极大值．

（2） 由（1）知，在单调递增，在单调递减．

当时，在单调递减，单调递增，

∴．

当时，在单调递增，

；

（3）由题意

求导得，

由得或，由得

所以在上单调递增，在上单调递减

当时，，

故函数只有一个零点．

20．已知函数，.

（1）当时，求函数的单调区间和极值；

（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；

（3）若，且，证明：.

【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)证明见解析.

【详解】（1），     

①时，因为，所以，

函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值；  

②当时，令，解得，

当时，；当，．

所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，  

在区间上的极小值为，无极大值．

（2）由题意，，

即问题转化为对于恒成立，

即对于恒成立，  

令，则，

令，则，

所以在区间上单调递增，故，故，

所以在区间上单调递增，函数．  

要使对于恒成立，只要，

所以，即实数k的取值范围为．

（3）证法1 因为，由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且．

不妨设，则，

要证，只要证，即证．

因为在区间上单调递增，所以，

又，即证，       

构造函数，

即，．

 ，

因为，所以，即，

所以函数在区间上单调递增，故，

而，故，                   

所以，即，所以成立．

证法2  要证成立，只要证：.   

因为，且，所以，

即，，

即，

，同理，

从而，   

要证，只要证，

令不妨设，则，

即证，即证，

即证对恒成立，       

设，，

所以在单调递增，，得证，所以.