2022-2023学年贵州省毕节市威宁彝族回族苗族自治县第八中学高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年贵州省毕节市威宁彝族回族苗族自治县第八中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．在第14届全国人民代表大会期间，某记者要去黑龙江省代表团、辽宁省代表团、山东省代表团、江苏省代表团采访，则不同的采访顺序有（    ）

A．4种 B．12种 C．18种 D．24种

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用全排列列式计算作答.

【详解】依题意，4个代表团的排列顺序，即为记者的采访顺序，

所以不同的采访顺序有种.

故选：D

2．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．是极小值 B．是极小值 C．是极大值 D．是极大值

【答案】B

【分析】根据导函数的图象确定的单调区间，进而判断极值.

【详解】由图知：在上递增，上递减，递增，

∴是极小值，、不是极值，为拐点.

故选：B.

3．已知某宿舍的7位学生站成一排合照留念，若中间位置只能站7位学生中的甲或乙．则不同的站队方法种数是（    ）

A．464 B．576 C．720 D．1440

【答案】D

【分析】根据排列公式即可得到答案.

【详解】将除甲或乙以外的同学进行排列，共有种，

再将甲或乙插到队伍中间，有2种选择，

则共有种.

故选：D.

4．已知函数，则的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用导数研究的单调递减区间.

【详解】由题设，，又定义域为，

令，则，解得，故，

∴在上递减.

故选：B.

5．的展开式中，常数项为（    ）

A．1365 B．3003 C．5005 D．6435

【答案】C

【分析】求出给定的二项式展开式的通项公式，再确定常数项的参数值即可计算作答.

【详解】二项式展开式的通项，

由得，此时，

所以所求常数项为5005.

故选：C

6．如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为

A．56 B．72 C．64 D．84

【答案】D

【详解】分析：每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色和A、C同色两大类.

详解：分两种情况：

（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2中颜色中任意取一色）：有4×3×2×2=48种；

（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的3中颜色中任意取一色）：有4×3×1×3=36种．

共有84种，故答案为D.

点睛：(1)本题主要考查排列组合的综合问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 排列组合常用方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.

7．《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成3组派去三地执行公务（每地至少去1人），则不同的方案有（    ）种．

A．150 B．180 C．240 D．300

【答案】A

【分析】将5人分3组，每组至少1人，共有两种情况：（1）每组人数别为1，2，2；（2）每组的人数分别为1，1，3，然后分别计算出现的结果数并相加，可得结果.

【详解】解：将5人分3组，每组至少1人，共有两种情况：

（1）每组人数别为1，2，2，方法有；

（2）每组的人数分别为1，1，3，方法有，

所以不同的方案有90+60=150种.

故选：A

【点睛】此题考查的是排列组中的分类、分步计数原理，属于中档题.

8．已知曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点，则实数（    ）

A．2 B．0或2 C． D．或0

【答案】D

【分析】利用导数的几何意义求切线方程，根据切线与有一个公共点，讨论、判断公共点的个数，即可得a值.

【详解】由，则，而，

∴处的切线方程为，即.

又与有一个公共点，

∴，整理得，

当时，，可得，

当时，显然只有一个解，符合题设；

∴或.

故选：D.

二、多选题

9．下列说法中正确的有（    ）

A．.

B．已知函数在上可导，且，则.

C．一质点的运动方程为，则该质点在时的瞬时速度是4.

D．已知函数，则函数的图象关于原点对称.

【答案】BCD

【分析】求出每个函数的导数，再结合导数的定义和物理意义即可得到答案.

【详解】对A，，则A错误；

对B，根据题意，，则B正确；

对C，，则C正确；

对D，，导函数为奇函数，则函数的图象关于原点对称，即D正确.

故选：BCD.

10．若，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据给定的二项式展开式，利用赋值法计算判断作答.

【详解】，令，得，A错误，B正确；

令，得，C正确，D错误.

故选：BC

11．下列说法正确的为（    ）

A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法

B．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法

C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法

D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有450种不同的分法

【答案】AC

【分析】根据给定条件，利用分组分配的方法，列式判断AB；利用隔板法计算判断C；利用分类加法计数原理列式计算判断D作答.

【详解】对于A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，先取2本给甲，再从余下4本中取2本给乙，最后2本给丙，

不同分法有种，A正确；

对于B，把6本不同的书按分成3组有种方法，再分给甲、乙、丙三人有种方法，

不同分法种数是，B错误；

对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，相当于把6本相同的书排成一排，中间形成5个间隙，

取两块隔板插入两个间隙，把6本书分成3部分，分给甲、乙、丙三人的不同分法数为，C正确；

对于D，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，可以有3类办法，每人2本有种，

一人1本，一人2本，一人3本有种，一人4本，另两人各一本有种，

所以6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本的不同分法数是，D错误.

故选：AC

12．设，若关于x的不等式在上恒成立，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】根据给定条件，构造函数，分类讨论并求出的最大值，再构造函数求出的最小值作答.

【详解】不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，

令函数，，求导得，显然，

当时，，函数在上单调递增，

而函数在上单调递增，它们的取值集合分别是

因此包含于函数的值域，即函数无最大值，即不等式在上不恒成立，

于是，由得，由得，即函数在上递增，在上递减，

，依题意，，则，

令，求导得，当时，当时，

因此函数在上单调递减，在上单调递增，，

于是，所以的值可以是，A错误，BCD正确.

故选：BCD

【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题，可以利用分离参数法，即将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.

三、填空题

13．函数的图象在点处切线的方程为________．

【答案】

【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.

【详解】函数，求导得：，则，而，于是，

所以函数的图象在点处切线的方程为.

故答案为：

14．函数的极小值为__________．

【答案】e

【分析】对函数求导，根据函数单调性，即可求得函数的极小值.

【详解】依题意，得，

令，得，

所以当，时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以当时，函数有极小值.

故答案为：.

15．已知是各项系数均为整数的多项式，，且满足，则的各项系数之和为________ .

【答案】5

【分析】根据题意可设，从而可得的各项系数和为，通过对赋值即可求出，即可得解.

【详解】因为，

所以，

从而可设，则的各项系数和为，

因为，

所以，解得 或5，

因为是各项系数均为整数的多项式，

所以不可能是分数，舍去，即.

故答案为：5.

16．已知是偶函数，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为________．（用“<”连接）

【答案】

【分析】利用导数探讨函数在上的单调性，再结合偶函数的性质比较大小作答.

【详解】当时，，求导得，则函数在上单调递增，

又是偶函数，则，，

，于是，

所以.

故答案为：

四、解答题

17．霹雳舞是一种动感和节奏感非常强烈、动作非常炫酷的舞蹈，年青人对这种舞蹈如痴如醉.2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会）将首次把霹雳舞列入比赛项目．2023年1月9日中国霹雳狮队正式成立．2月25日，中国女队员、17岁的刘清漪在霹雳舞首场积分赛中夺冠，为中国队赢得了开门红．藉此之际，某中学组建了霹雳舞队，计划从3名男队员，5名女队员中选派4名队员外出参加培训，求下列情形下有几种选派方法．

(1)男队员2名，女队员2名；

(2)至少有1名男队员．

【答案】(1)30；

(2)65.

【分析】（1）根据给定条件，利用组合问题按要求选出队员，列式计算作答.

（2）根据给定条件，利用组合问题结合排除法列式计算作答.

【详解】（1）从3名男队员，5名女队员中分别选出男女队员各2名，不同选法数为（种）.

（2）从8名队员中任选4名队员有种，其中没有男队员的选法数是种，

所以至少有1名男队员的不同选法数是（种）.

18．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同选法？

(1)男､女同学各2名；

(2)男､女同学分别至少有1名；

(3)在（2）的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）先选出男､女同学各2名，再排序，进而结合乘法原理求解即可；

（2）利用间接法求得男､女同学分别至少有1名的情况，再排序求解即可求得答案；

（3）先考虑男同学甲与女同学乙同时选出的情况，再结合（2）作差求解即可.

【详解】（1）解：根据题意，先分别从5名女同学和4名男同学中各选出2名，有种，

再将选出的4名同学排序参加演讲比赛，有种排法，

所以，根据分步乘法原理得，共有种选法.

（2）解：根据题意，先从5名女同学和4名男同学中选出4人，

其中男､女同学分别至少有1名情况共有种，

再将选出的4名同学排序参加演讲比赛，有种排法，

所以，共有不同的选法种.

（3）解：若男同学甲与女同学乙同时选出，共有种，

由（2）知，选出的4名同学中，男､女同学分别至少有1名参加四场不同的演讲共有种，

所以，在（2）的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出的共有种.

19．函数f(x)＝xlnx﹣a(x﹣1)(a∈R)，已知x＝e是函数f(x)的一个极小值点．

(1)求实数a的值；

(2)求函数f(x)在区间[1，3]上的最值．(其中e为自然对数的底数)

【答案】(1)2；

(2)＝0，＝2﹣e.

【分析】(1)由＝0即可求得a的值，验算即可；

(2)利用的正负判断f(x)在[1，3]上的单调性，根据单调性即可求其最值.

【详解】（1）∵f(x)＝xlnx﹣a(x﹣1)，∴＝lnx＋1﹣a，∵x＝e是函数f(x)的一个极小值点，

∴＝2﹣a＝0，解得：a＝2；

当a＝2时，＝lnx－1，

当0＜x＜e时，＜0，f(x)单调递减，

当x＞e时，＞0，f(x)单调递增，∴x＝e时f(x)的极小值点.

∴a＝2.

（2）由(1)得：f(x)＝xlnx﹣2x＋2，

且f(x)在[1，e)递减，在(e，3]递增，

而f(1)＝0，f(3)＝3ln3﹣4＜0，故＝f(1)＝0，＝f(e)＝2﹣e．

20．已知（x+）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．

（1）求n的值；

（2）求展开式中所有的有理项．

【答案】（1）；（2）,,．

【分析】（1）写出二项式展开式的通项公式，得到第二项和第三项的系数，所以得到关于的方程，解得答案；（2）由（1）得到的值，写出二项式展开式的通项公式，整理后，得到其的指数为整数的的值，再写出其展开式中的有理项.

【详解】解：二项式展开式的通项公式为

，；

（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得

，

即,

解得；

（2）二项式展开式的通项公式为

，；

当时,对应项是有理项,

所以展开式中所有的有理项为

,

,

．

【点睛】本题考查二项展开式的项的系数，求二项展开式中的有理项，属于中档题.

21．已知函数，其中

(1)若函数在处取得极值，求实数a的值；

(2)若函数在上恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)2；

(2).

【分析】(1)求出函数的导数，由处导数值为0求出a，再检验作答.

(2)将不等式作等价变形，再构造函数并借助导数求函数的最值即可作答.

【详解】（1）依题意，函数的定义域为，求导得：，因函数在处取得极值，

则有，解得，此时，，

当时，，当时，，因此，函数在处取得极值，则，

所以实数a的值是2.

（2）因，，

令，，求导得：，

当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，

因此，当时，，于是得，

所以实数a的取值范围是.

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.

22．已知函数，．

(1)讨论的单调性；

(2)若，探讨函数极值点的个数．

【答案】(1)答案见解析；

(2)0.

【分析】（1）求出函数及导数，再按分类讨论求出单调区间作答.

（2）根据给定条件，讨论并去绝对值符号，再求出导数判断单调性即可作答.

【详解】（1）依题意，，，求导得，

当时，，函数在上单调递增，

当时，当时，单调递增，当时，单调递减，

所以当时，函数的递增区间是，

当时，函数的递增区间是，递减区间是.

（2），，，

因为当时，，则，因此，

求导得：，显然，于是，

从而，函数在上单调递增，无极值点，

所以函数在上的极值点个数为0.