2022-2023学年河南省南阳地区高二下学期期中热身摸底检测数学试题含解析

2022-2023学年河南省南阳地区高二下学期期中热身摸底检测数学试题

一、单选题

1．在数列中，，，则（    ）

A．5 B．6 C．14 D．15

【答案】C

【分析】由递推公式依次计算出即得.

【详解】由题意可得，，．

故选：C.

2．在易怒与患心脏病这两个变量的计算中，有以下结论：①当由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关时，那么在100个易怒的人中有90人患心脏病；②由的观测值得到有90%的把握认为易怒与患心脏病有关系，是指有10%的可能性使得推断出现错误；③由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关，是指在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为某人是否患心脏病与是否易怒有关，其中正确结论的个数是（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【分析】由独立性检验判断即可

【详解】解：由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关，是指在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为某人是否患心脏病与易怒有关，则①错误，③正确．

由的观测值得到有90%的把握认为易怒与患心脏病有关系，是指有10%的可能性使得推断出现错误，则②正确．

故选：B

3．已知等差数列，若，，则（    ）

A．30 B．36 C．24 D．48

【答案】A

【分析】根据已知结合等差数列的通项公式先求出公差，再根据片段和的关系计算结果即可.

【详解】已知等差数列，①，②，

设数列的公差为d，

②－①得，

则．

故选：A.

4．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求函数的导数，代入，求得，然后将代入原函数求得函数值.

【详解】由题意可得，则，

解得，得，

故．

故选：B.

5．在正项等比数列中，若，是方程．的两个不同的实根，则（    ）

A．10 B．5 C．9 D．

【答案】D

【分析】根据根与系数关系得到，再根据等比数列性质及对数运算性质进行计算.

【详解】由题意可得，所以，

则．

故选：D

6．鞋子的尺码又叫鞋号，这是一种衡量人类脚的形状以便配鞋的标准单位系统，已知女鞋欧码及对应的脚长（单位：厘米）如下表所示：

某数学兴趣小组通过调查发现某高中的女学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）之间有线性相关关系，其回归直线方程为．已知该高中某女学生的身高为166厘米，则预测她穿的鞋子为（    ）

A．36码 B．36.5码

C．38码 D．39码

【答案】C

【分析】将身高值代入回归直线方程，求解，再结合表格中数据得出结果.

【详解】由题意可估计该女学生的脚长为，

则她穿的鞋子为38码．

故选：C.

7．设数列中，，且，则的最小值是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由已知得出，利用累加法求得，然后由数列的单调性得出最小值．

【详解】因为，

所以．

因为，所以，即，

则．

因为满足上式，所以，

则．

因为，由对勾函数性质知数列在时递减，在时递增．

因为，，所以的最小值是．

故选：B．

8．已知函数，直线，若直线与的图象交于A点，与直线l交于B点，则A，B之间的最短距离是（    ）

A． B．4 C． D．8

【答案】A

【分析】根据平行切线法，求函数图象上的点A到直线l的最短距离，即为A，B之间的最短距离.

【详解】因为函数，直线，若直线与的图象交于A点，与直线l交于B点，

直线的斜率为1，直线的斜率为，所以两直线垂直，

所以函数图象上的点A到直线的最短距离，即为A，B之间的最短距离

由题意可得，．

令，解得(舍去)．

因为，取点A，

所以点A到直线的距离，

则A，B之间的最短距离是．

故选：A.

二、多选题

9．某机构为了调查某地中学生是否喜欢数学课与性别之间的关系，通过抽样调查的方式收集数据，经过计算得到，由，可知下列结论正确的是（    ）

A．有95%的把握认为该地中学生是否喜欢数学课与性别无关

B．有95%的把握认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关

C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地中学生是否喜欢数学课与性别无关

D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关

【答案】BD

【分析】根据已知直接判断选项即可.

【详解】因为，所以有95%的把握认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关，

即在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关．

故选：BD.

10．下列求导正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】BCD

【分析】根据导数的四则运算、求导法则以及复合函数求导一一判断即可.

【详解】对A，若，则，故A错误．

对B，若，则，故B正确．

对C，若，则，则C正确．

对D，若，则，则D正确．

故选：BCD.

11．某产品的售价x（单位：元）与月销量y（单位：百件）的数据如下：

已知当时，y关于x的线性回归方程为，当时，该产品月销售量为0，下列结论正确的是（注：利润＝销售额－成本） （    ）

A．

B．

C．若该产品的售价为20元，则估计月销售金额为10000元

D．若该产品每件的成本为10元，则预测该产品的月利润最高为7812.5元

【答案】BCD

【分析】将代入线性回归方程得到y的估计值是15，不一定正确，故A错误；由线性回归方程过，代入线性回归方程即可判断B正确；当该产品的售价为20元时，代入线性回归方程即可判断C正确；利用二次函数的最值即可判断D正确．

【详解】当时，，所以y的估计值是15，则不一定正确，故A错误；

由题意可知，

，则，解得，则B正确；

当该产品的售价为20元时，月销量百件，

则估计月销售金额为元，则C正确；

由题意可知该产品的月利润的估计值为

百元，

即预测该产品的月利润最高为7812.5元，则D正确．

故选：BCD.

12．设数列的前n项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．是递减数列

C．若数列的前n项和为，则

D．若存在，使得成立，则m的取值范围是

【答案】ACD

【分析】利用与的关系及数列的单调性，结合错位相减法求数列的前项和及成立问题的解决办法即可求解.

【详解】当时，，解得，

因为，

当时，

所以，

由，得，即，

取时，，此式不满足，    

故数列的通项公式为，

由题意可得，则,

因为，

所以，则A正确．

因为，所以不是递减数列，则B错误．

因为,

当时，，

所以当时，，

所以，

所以，即，即，即，

取时，，此式满足，

所以数列的前n项和为 ，故C正确．

当时，，

所以，

所以，即，

所以数列是单调递减数列.

当时，，

所以，

则由数列的单调性可知．

因为存在，使得成立，

所以，即，解得，故D正确．

故选：ACD.

【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用与的关系的推导思路，求出，再利用错位相减法求数列的前项和及数列的单调性，将成立问题转化为求最值问题即可.

三、填空题

13．已知，则______．

【答案】

【分析】根据导数定义即可求出结果.

【详解】由题意可得，

则．

故答案为:.

14．设等比数列的前n项和为，公比，，则满足条件的一个的值为______．

【答案】3（答案不唯一，只要即可）

【分析】根据已知条件及等比数列的前n项和公式求出的范围，从而得出结果.

【详解】由等比数列的前n项和公式可得，

则，解得．（答案不唯一，只要即可）

故答案为：3.

四、双空题

15．一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯内放入一个圆柱形铁块后，水面刚好和铁块的上底面齐平，如图所示．已知该水杯的底面圆半径为6 cm，铁块底面圆半径为3 cm，放入铁块后的水面高度为6 cm，若从时刻开始，将铁块以1 cm/s的速度竖直向上匀速提起，在铁块没有完全离开水面的过程中，水面将______（填“匀速”或“非匀速”）下降；在时刻，水面下降的速度为______ cm/s．

【答案】     匀速    

【分析】由圆柱形铁块竖直向上匀速提起，可得水面匀速下降；根据已知得出水面高度H与时刻的函数关系，通过导数求瞬时速度.

【详解】设在铁块没有完全离开水面的过程中，水面高度为H，铁块离开水面的高度为h，

则水和铁块的体积为，即①．

铁块距离杯底的高度为②．

由①②可得．令函数，则．

故水面将匀速下降，下降的速度为．

故答案为：匀速；.

五、填空题

16．有穷数列共有k项，满足，，且当，时，，则项数k的最大值为______________．

【答案】

【分析】分析数列为有穷数列，且，所以项数最大的项，利用累加法可得即可得解.

【详解】当时，，

因为有穷数列，，，

所以当项数最大时，，则，

，，

将以上各式相加得，

即，

，即，则.

故答案为：

六、解答题

17．被赞誉为“波士顿比利”的美国知名跑者比尔·罗杰斯曾经说过：“跑步是全世界最棒的运动.”坚持跑步可以增强体质、提高免疫力、改善精神状态.某数学兴趣小组从某地大学生中随机抽取200人，调查他们是否喜欢跑步，得到的数据如下表所示.

(1)分别估计该地男、女大学生喜欢跑步的概率；

(2)能否有的把握认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关？

参考公式：，其中.

参考数据：

【答案】(1)

(2)有99%的把握认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关

【分析】(1)由表格可得男女生中喜欢跑步的人数，继而可求对应概率；

(2)由数据计算卡方，参照卡方表即可判定结果.

【详解】（1）由题意可得样本中女大学生有200-120=80人，则女大学生喜欢跑步的频率是，

故该地女大学生喜欢跑步的概率是.

由题意可知样本中喜欢跑步的男大学生有人，则男大学生喜欢跑步的频率是，

故该地男大学生喜欢跑步的概率是.

（2）由题意可得.

查表可得，

由于8.333>6.635，所以有99%的把握认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关.

18．设等差数列的前n项和为，，．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由求解；

（2）由（1）得到，再利用裂项相消法求解.

【详解】（1）解：由题意可得

解得，．

故．

（2）由（1）可得，

则，

．

19．已知函数．

(1)若曲线的切线斜率不小于，求a的取值范围；

(2)当时，求曲线过点的切线方程．

【答案】(1)

(2)或．

【分析】（1）求出函数的导数，由解不等式得出结果.

（2）分成点为切点和不是切点两种情况分别求解切线方程.

【详解】（1）由题意可得．

因为曲线的切线斜率不小于，所以恒成立，

即恒成立，则，

解得，即a的取值范围是．

（2）当时，，则．

当是切点时，所求切线斜率，

则所求切线方程为．

当不是切点时，设所求切线与曲线的切点为，

由导数的几何意义可得，

整理得，即，

解得或(舍去)，

则切点，所求切线斜率，.

故所求切线方程为．

综上，所求切线方程为或．

20．某研发小组为了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响，结合近10年的年研发资金投入量和年销售额的数据（1，2，…10），建立了两个函数模型：①，②，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．设， （1，2，…10），经过计算得如下数据．

(1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型．

(2)①根据（1）中选择的模型及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；

②当年研发资金投入量约为亿元时，年销售额大致为亿元，若正数a，b满足，求的最小值．

参考公式：相关系数，

线性回归直线中斜率和截距的最小二乘法估计参数分别为，．

【答案】(1)模型的拟合程度更好

(2)①；②．

【分析】（1）根据相关系数公式分别计算，并比较的大小，较大的拟合程度更好；

（2）①先由指数模型两边取对数转化为线性关系，根据公式先求解线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；

②将年销售额代入y关于x的回归方程，得出的关系，利用“1”的代换法结合均值不等式求解结果.

【详解】（1），

，

因为，所以从相关系数的角度，模型的拟合程度更好．

（2）①因为，所以，即．

由题中数据可得，

则，

从而v关于x的线性回归方程为，

故，即．

②将年销售额亿元，代入，得，解得，则．

故

．

因为，

所以.

当且仅当，即时，等号成立，此时，符合题意，

故M的最小值为．

21．某工厂引进新设备，随着员工对新设备的了解及熟悉，该设备每天生产的零件数量比前一天增加20%．已知该设备第一天生产某种零件1000件，且该设备每天最多可以生产该零件5000件．记第一天该设备生产的零件数量为件，第n天生产的零件数量为件．

(1)求该设备第二天和第三天的总产量；

(2)求至少需要几天，该设备每天生产的数量才能达到该设备的最大产能？（参考数据：取，）

【答案】(1)2640件

(2)10天

【分析】（1）根据已知条件及等比数列的定义，结合等比数列的通项公式即可求解；

（2）根据（1）的结论及对数的运算性质即可求解.

【详解】（1）由题意得，

，即，

所以数列是以首项为，公比为的等比数列，

所以，

所以，

，

故该设备第二天和第三天的总产量为件.

（2）设第k天可以达到该设备的最大产能，

由题意可得，

两边取常用对数得，即，

则，

因为，所以k的最小值是10，即至少需要10天，该设备每天生产的数量才能达到该设备的最大产能．

22．在数列中，，．

(1)求的通项公式．

(2)设，若是递增数列，求t的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用构造法及等比数列的通项公式即可求解；

（2）根据（1）的结论及数列的单调性的应用，利用恒成立问题的解决办法即可求解.

【详解】（1）因为，，

所以，显然（否则与矛盾），则．

因为，所以，

所以是以1为首项，4为公比的等比数列．

所以，即，

故的通项公式为.

（2）由（1）可得，则，

故．

因为是递增数列，

所以，即．

当n为奇数时，，即，故，

由于单调递减，

当时，，所以；

当n为偶数时，，即，故，

由于单调递增，

当时，，所以．

综上，t的取值范围为．