2022-2023学年天津市河北区高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年天津市河北区高二下学期期中数学试题含解析，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．二项式的展开式中，第2项的系数为（ ）
A．4B．C．6D．
【答案】B
【分析】根据二项式定理求解.
【详解】根据二项式定理： ，第二项即 ， ，
第二项的系数为：；
故选：B.
2．函数的导数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用积的导数和复合函数的求导法则，求出函数的导数作答.
【详解】函数，求导得.
故选：B
3．已知函数，设是函数的导函数，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】利用导数的运算法则求出导数，再代值计算作答.
【详解】函数，求导得：，
所以.
故选：A
4．函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．和
【答案】D
【分析】求导，根据导函数的符号求解.
【详解】 ，依题意， 或 ；
故选：D.
5．从5名志愿者中选出3人分别从事翻译、导游、导购三项不同工作，则选派方案共有（ ）
A．10种B．20种C．60种D．120种
【答案】C
【分析】直接根据排列的定义即可求出．
【详解】解：从5名志愿者中选出3人分别从事翻译、导游、导购三项不同工作，则选派方案共种．
故选：．
【点睛】本题考查了排列的意义及其计算公式，属于基础题．
6．设函数f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数图象得出单调性，然后判断导函数的正负即可选出答案.
【详解】由函数的图象，知当时，是单调递减的，所以；
当时，先减少，后增加，最后减少，所以先负后正，最后为负．
故选：B．
【点睛】本题考查原函数的单调性与导函数的正负的关系.属于基础题.
7．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求处在点 处的导数值，根据点斜式直线方程求解.
【详解】 ，
在点 处的切线方程为： ，即 ；
故选：A.
8．下列四个图象中，有一个图象是函数的导数的图象，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，由导函数的特性确定函数图象，进而求出a值作答.
【详解】函数，求导得，
于是函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，①②不满足，
又，即函数的图象对称轴不是y轴，④不满足，因此符合条件的是③，
函数的图象过原点，且，显然，从而，
，所以.
故选：D
9．用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有
A．48个B．36个C．24个D．18个
【答案】A
【分析】利用分步计数原理，对首位和末尾进行分类讨论，即可求解.
【详解】大于20000决定了第一位，只能是2，3，4，5共4种可能，
偶数决定了末位是2，4共2种可能
当首位是2时，末位只能是4，有种结果，
当首位是4时，同样有6种结果，
当首位是1，3，5时，共有3×2×=36种结果，
综上：共有6+6+36=48种结果，
故选：A．
10．设函数，则（ ）
A．在区间内有零点，在内无零点
B．在区间，内均有零点
C．在区间，内均无零点
D．在区间，内均有零点
【答案】D
【分析】利用导函数讨论函数的单调性，并根据零点的存在性定理判断即可.
【详解】函数的定义域为，
，
令，解得，
令，解得，
所以函数在单调递减，单调递增，
且，
所以函数在区间，内均有零点，
,则在区间无零点，
故选:D.
二、填空题
11．曲线在点处的切线的斜率为______.
【答案】
【分析】先求出曲线在 处的导数，再根据直线的点斜式方程求解.
【详解】 ，在 处的切线方向为： ，即 ；
故答案为： .
12．二项式的展开式中，常数项为_____
【答案】１５
【详解】常数项为第5项，所以常数项为
13．某物体的运动规律是位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系，若此物体的瞬时速度为，则此时的值为______.
【答案】2
【分析】根据给定条件，求出的导数，再利用瞬时速度的意义求出t值作答.
【详解】由求导得：，依题意，由解得，
所以的值为2.
故答案为：2
14．若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据 求解.
【详解】 ，显然 ，即 ；
故答案为： .
15．已知函数，则的解集为________．
【答案】
【分析】判断分段函数每段上的函数值范围，进而求解不等式，即得答案.
【详解】因为当时，，当时，，
所以等价于，此时，即，解得，
所以的解集为,
故答案为：
三、解答题
16．现有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取2本不同学科的书，求共有多少种不同的取法?
【答案】
【分析】根据取的两本书的学科种类进行分类，然后相加即可.
【详解】任取2本不同学科的书：
当取的是一本数学，一本语文，有种不同的取法；
当取的是一本数学，一本英语，有种不同的取法；
当取的是一本语文，一本英语，有种不同的取法；
综上，一共有种不同的取法.
故答案为：.
17．已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32.
(1)求的值；
(2)求展开式中含项的系数.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过即可求出的值；
（2）写出二项展开式的通项并整理，然后令的次数为即可求出，进而可得项的系数.
【详解】（1）由二项式系数之和为得，
所以；
（2）由（1）可得二项式为，
其展开式的通项为，
令，得，
所以展开式中含项的系数为.
18．已知.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求函数的单调区间.
【答案】(1).(2)答案见解析.
【详解】试题分析：（1）由，求出，即可求出在点处的切线的斜率，根据点斜式即可得出切线方程；（2）根据，对分类讨论，再根据与，可得函数的单调区间.
试题解析：（1）∵，∴，∴
∴，又，所以切点坐标为
∴所求切线方程为，即.
（2）
由得或
①当时，由，得.
由得或
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.
②当时，由，得.
由得或
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.
综上：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和.
19．已知函数.
(1)判断函数的单调性，并求出函数的极值；
(2)画出函数的大致图象；
(3)讨论方程的解的个数.
【答案】(1)在上递增，在上递减，极大值；
(2)函数图象见解析；
(3)答案见解析.
【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间，求出极值作答.
（2）由（1）分析函数的性质，作出图象作答.
（3）结合（2）中函数图象，探讨方程的解的个数作答.
【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，
当时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极大值，，无极小值.
（2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，，，
当时，恒成立，因此当时，随x的增大，的图象在x轴的上方与x轴无限接近，
函数的大致图象如图，

（3）令，，当时，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，，即，有，
当时，，，而函数在上单调递增，
其值域为，因此函数在上无最小值，取值集合为，
方程的解的个数等价于函数的图象与直线的公共点个数，
在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图，

观察图象知，当时，方程的解的个数为0，
当或时，方程的解的个数为1，
当时，方程的解的个数为2.