2022-2023学年浙江省杭州市第四中学下沙校区高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市第四中学下沙校区高二下学期期中数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州市第四中学下沙校区高二下学期期中数学试题 一、单选题1．化简（    ）A． B．4 C．6 D．9【答案】C【分析】根据组合数的计算公式，即可求解.【详解】由组合数的计算公式，可得.故选：C.2．关于线性回归的描述，下列命题错误的是（    ）A．回归直线一定经过样本点的中心 B．残差平方和越小，拟合效果越好C．决定系数越接近1，拟合效果越好 D．残差平方和越小，决定系数越小【答案】D【分析】根据线性回归的性质判断即可【详解】对A，回归直线一定经过样本点的中心正确；对B，残差平方和越小，拟合效果越好正确；对C，决定系数越接近1，拟合效果越好正确；对D，残差平方和越小，拟合效果越好，决定系数越接近1，故D错误；故选：D3．已知正项等比数列中，公比，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由已知条件列方程求出，从而可求出【详解】因为，所以，所以，因为，所以，所以，故选：A4．若，，则的值为（    ）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】根据已知条件，令和即可求解.【详解】解：因为，，所以令，可得，又令，可得，所以，故选：A.5．为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有（    ）A．18种 B．36种 C．68种 D．84种【答案】B【分析】由题意：2名女教师分派到同一个学校考虑该校是否分配男教师，即可求出答案.【详解】根据题意，分派方案可分为两种情况:①2名女教师和1名男教师分派到同一个学校，则有种方法.②2名女教师分派到同一个学校，且该学校没有分配没有男教师，则有：种方法.故一共有：36种分配方法.故选：B.6．已知两个随机变量，，其中，（），若，且，则（    ）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【答案】D【分析】根据二项分布的均值与正态分布的均值公式可得，再根据正态分布曲线的对称性求解即可【详解】由可得，即.又，由正态分布曲线的对称性可得故选：D7．已如两个离散型随机变量，，满足，的分布列如下：012Pab当时，（    ）A． B． C． D．5【答案】D【分析】运用分布列的性质以及期望公式求出与的值，再根据方差公式求方差，进而求出.【详解】由题意，， 则由 故选：D.8．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等.我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.；若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列，则关于数列叙述正确的是（    ）A． B．C．数列的前n项和为 D．数列的前n项和为【答案】A【分析】确定，计算，得到A正确B错误，取特殊值排除CD得到答案.【详解】.对选项A：，正确；对选项B：，错误；对选项C：当时，，错误；对选项D：当时，，错误；故选：A 二、多选题9．已知某足球运动员每次定点射门的命中率为0.5，则下述正确的是（    ）A．若共进行10次射门，则命中次数的数学期望等于5 B．若共进行10次射门，则命中5次的概率最大C．若共进行5次射门，则命中次数的方差等于1 D．若共进行5次射门，则至少有两次命中的概率为【答案】AB【分析】由二项分布的概率公式以及期望方差公式依次判断即可.【详解】设表示运动员命中次数为次，由题意可知，随机变量服从二项分布，若进行10次射门，则，，若进行5次射门，则，；对于A，由二项分布期望公式得数学期望为，A正确；由二项式系数性质知中最大，则命中5次的概率最大，B正确；对于C，由二项分布方差公式知，命中次数的方差等于，C错误；对于D，至少命中两次的概率，D错误.故选：AB.10．关于以正方体的顶点为顶点的几何体，下述正确的是（    ）A．若几何体为正四面体，则只有1个 B．若几何体为三棱柱，则共有12个C．若几何体为四棱锥，则共有48个 D．若几何体为三棱锥，则共有58个【答案】BCD【分析】根据正方体的性质结合棱柱、棱锥的定义，结合计数原理和组合数进行分析计算判断.【详解】对于A，如图四面体, 均为正四面体，所以A错误；对于B，在正方体中，以正方体的顶点为顶点的三棱柱有三棱柱,,，共12个，所以B正确；对于C，在正方体中，四点共面的情况有六个表面和六个对角面共12种情况，以每个面作为底面，其余的四个点中的任意一个点为顶点可构成四棱锥，所以共有个，所以C正确；对于D，在正方体中的8个顶点中任取4个点有种，其中四点共面的有六个表面和六个对角面共12种情况，所以共有70-12=58个三棱锥，所以D正确.故选：BCD11．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗打子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子．如此继续下去．直到滚到底版的一个格子内为止．现从入口放进一个白球，则（    ）A．小球从起点到第③个格子一共跳6次B．小球从起点到第③个格子一共跳7次C．小球落在第③个格子的概率为D．小球落在第③个格子的概率为【答案】BC【分析】落在第③个格子的情况是下落过程中的次碰撞中，次向左，次向右，由此能求出其落在第③个格子的概率.【详解】从入口放进一个白球，则落在第③个格子的情况是下落过程中的次碰撞中，次向左，次向右而向左或向右的概率均为，则向右的次数服从二项分布，小球落在第③个格子的概率故选：BC.12．如图，正三棱柱中，底面ABC是边长为2的等边三角形，，D为BC中点，则（    ）A．直线平面B．点到平面的距离为C．异面直线与所成角的余弦值为D．设P，Q分别在线段，上，且，则PQ的最小值为【答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【详解】解：在正三棱柱中，为的中点，所以，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，因为，即，又平面，所以平面，故A正确；因为，所以，则点到平面的距离为，故B正确；因为，，设直线与所成角为，则，所以异面直线与所成角的余弦值为，故C错误；设，则、，因为，，所以，，则，，所以，所以当时有最小值，所以，所以，故D正确；故选：ABD 三、填空题13．已知随机变量，且，则c的值为______．【答案】/【分析】根据已知条件及正态分布的对称性即可求解.【详解】因为随机变量，所以直线为正态曲线的对称轴，而，由正态分布的对称性可知，，解得.所以c的值为.故答案为：.14．已知数列的递推公式，且首项，则_________.【答案】/【分析】推导出，结合等差数列的定义可求得数列的通项公式，即可得出数列的通项公式.【详解】因为，且，则，，以此类推可知，对任意的，，在等式两边取倒数可得，则，所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为，，故对任意的，.故答案为：.15．求和：__________．【答案】【分析】由二项式定理可得展开式，求导后，代入即可求得结果.【详解】，两边同时对求导可得：，令得：.故答案为：.16．对于总有成立，则=______________．【答案】4【详解】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用，体现了分类讨论的数学思想．要使恒成立，只要在上恒成立． 当时，，所以，不符合题意，舍去．当时，即单调递减，，舍去．当时① 若时在和上单调递增，在上单调递减．所以② 当时在上单调递减，，不符合题意，舍去．综上可知a=4. 四、解答题17．已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)求在区间上的最值；(3)证明：当时.【答案】(1)(2)函数在区间的最小值为，最大值为.(3)证明过程见详解 【分析】（1）求出函数在处的导数，即切线斜率，求出，即可得出切线方程；（2）求出函数在区间上的单调性，求出最值即可；（3）将不等式等价转化为在上恒成立.构造函数，利用导数求出函数的单调性和最小值，进而得证.【详解】（1）由函数可得，所以切线的斜率为，又因为，所以切线方程为，即.（2）由（1）知，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以当时，函数取最小值，又因为，所以函数在区间的最小值为，最大值为.（3）当时可转化为，也即在上恒成立.令，则，所以，因为，所以，则，故在上单调递增，又因为，所以在上恒成立，则函数在上恒成立，所以，也即在上恒成立，所以当时.【点睛】利用导数证明不等式的常见形式是，一般可构造“左减右”的函数，即先将不等式移项，构造函数，转化为证不等式，进而转化为证明，因此只需在所给区间内判断的符号，从而得到函数的单调性，并求出函数的最小值即可.18．随着夏季的来临，遮阳帽开始畅销，某商家为了解某种遮阳帽如何定价才可以获得最大利润，现对这种遮阳帽进行试销售.统计后得到其单价（单位：元）与销量（单位：顶）的相关数据如表：单价（元）3035404550日销售量（顶）1401301109080(1)已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的经验回归方程；(2)若每顶帽子的成本为10元，试销售结束后，请利用（1）中所求的经验回归方程确定单价为多少元时，销售利润最大？（结果保留到整数）附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：，.【答案】(1)(2)42 【分析】（1）根据表中的数据和参考数据，结合公式可求出关于的经验回归方程；（2）设销售单价为元，销售利润为，则，化简后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】（1），，所以，，所以关于的经验回归方程为，（2）设销售单价为元，销售利润为，则对称轴为，因为二次函数的图象开口向下，所以当单价为42元时，销售利润最大19．2020年“双11”当天各大线上网站的消费额统计都创下新高，体现了中国在“新冠”疫情之后经济复苏的良好态势.某网站为了调查线上购物时“高消费用户”是否与性别有一定关系，随机调查200个“双11”当天在该网站消费的用户，得到了如下不完整的列联表;定义“双11”当天消费不高于10000元的用户为“非高消费用户”，消费10000元以上的用户为“高消费用户”. 高消费用户非高消费用户总计男性用户20  女性用户 40 总计80  附：，0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828(1)将列联表填充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为线上购物时“高消费用户”与性别有关？(2)若采用分层抽样的方法从随机调查的200个用户中抽出10个人，再随机抽4人，记高消费用户人数为X，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)列联表见解析，有(2)分布列见解析，. 【分析】（1）补全列联表，计算，即可得到答案.（2）首先根据分层抽样得到高消费用户抽取人，非高消费用户抽取人，从而得到，分别计算其概率，从而得到分布列，再求数学期望即可.【详解】（1）解： 高消费用户非高消费用户总计男性用户2080100女性用户6040100总计80120200.所以有99%的把握认为线上购物时“高消费用户”与性别有关.（2）解：抽样比，高消费用户抽取人，非高消费用户抽取人，，，，，，，分布列：.20．如图，在三棱锥中，，，点、分别是、的中点，底面.(1)求证平面；(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值；(3)当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心？【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）利用中位线的性质可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值；（3）设，求出的重心的坐标，根据题意可得出，求出的值，进而可求得的值，即为所求.【详解】（1）证明：因为、分别是、的中点，则，因为平面，平面，所以，平面.（2）解：因为，为的中点，则，因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则，当时，，则，则、、、，设平面的法向量为，，，则，取，则，，则，所以，与平面所成角的正弦值为.（3）解：设，则，则的重心为，则，则，，若在平面内的射影为的重心，则平面，因为，平面，则，，则，解得，所以，，所以，，所以，，即当时，在平面内的射影恰好为的重心.21．如图，直线与椭圆交于、两点，记的面积为.(1)若线段的中点为，求此时直线的方程；(2)当，时，求直线的方程.【答案】(1)(2)或或或 【分析】（1）利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程；（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形的面积公式可得出、的方程组，解出这两个参数的值，即可得出直线的方程.【详解】（1）解：设点、，若直线与坐标轴垂直，则线段的中点在坐标轴上，不合乎题意，所以，，，由，两个等式作差可得，即，所以，，故直线的方程为，即.（2）解：设点、，联立可得，，可得，由韦达定理可得，，所以，，①原点到直线的距离为，由，②联立①②可得，因此，直线的方程为或或或.22．数列满足，，.(1)求、，并求数列的通项公式；(2)求数列的前项的和；(3)设，，证明：当时，.【答案】(1)，，(2)(3)证明见解析 【分析】（1）根据递推公式可直接写出、的值，分析出为等差数列，确定该数列的首项和公差，分析出数列，确定该数列的首项和公比，分别气求出数列、的通项公式，即可求得数列的通项公式；（2）利用等差、等比数列的求和公式可求得；（3）求得，利用错位相减法求出，分析可知，要证明当时，成立，只需证明当时，成立，令，分析数列的单调性，求出数列的最大项的值，即可证得结论成立.【详解】（1）解：因为，，，所以， ，.当为奇数时，设，则，则，即，所以，数列是以为首项，公差为的等差数列，则，此时；当为偶数时，设，则，则，即，所以，数列是以为首项，公比为的等比数列，则，此时，.综上所述，.（2）解：所以，.（3）解：由（1）知，，，①，②①②得，，所以，要证明当时，成立，只需证明当时，成立.令，则，当时，，即，故当时，数列单调递减，则，因此，当时，.