2022-2023学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高二下学期期中数学试题含解析

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知等差数列的前n项和，若，则（    ）

A．150 B．160 C．170 D．180

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质计算出，再利用求和公式变形得到答案.

【详解】因为为等差数列，所以，

因为，所以，

.

故选：B

2．曲线在点处的切线的倾斜角为（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据导数的几何意义得到点处切线的斜率，再根据斜率求倾斜角即可.

【详解】，所以在点处的切线的斜率为-1，倾斜角为.

故选：A.

3．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）

A．有三个极值点 B．为函数的极大值

C．有一个极大值 D．为的极小值

【答案】C

【分析】根据x的正负以及的正负，判断的正负，得到单调性并可得到极值点.

【详解】解：，并结合其图象，可得到如下情况，

当时，，在单调递减；

当时，，在单调递增；

当时，，在单调递增；

当时，，在单调递减；

∴在取得极小值，在处取得极大值，只有两个极值点，

故A、B、D错，C正确；

故选: C.

4．“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线和构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点在拋物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】D

【分析】根据抛物线的对称性求出P点横坐标，再由抛物线定义求出即可.

【详解】因为，即，由抛物线的对称性知，

由抛物线定义可知，，即，解得，

故选：D

5．已知函数，若对任意两个不等的实数，都有，则a的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】B

【分析】根据函数的单调性的定义及函数单调性与导数正负的关系，将所求问题转化为恒成立，再将恒成立问题转化为求函数的最值，利用导数法求函数的最值即可.

【详解】不妨设，因为，

所以．

构造函数，

所以，所以在单调递增，

故在恒成立，即在恒成立．

令，则．

令，则，解得，

当时，，

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增．

，即．

所以a的最大值为.

故选：B..

二、多选题

6．是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】令，求导，根据，得到在上递增，再根据是定义在R上的奇函数，得到在R上的单调递增求解.

【详解】解：令，

则，

因为，

所以，

则在上递增，

又是偶函数，且是定义在R上的奇函数，

所以是定义在R上的奇函数，

则在R上单调递增，

所以，即，故A错误；

，即，故B正确；

，即，故C错误；

，即，故正确，

故选：BD

三、单选题

7．已知函数， 若， ，，则大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先利用导数判断函数的单调性，再利用不等式，，放缩不等式，利用单调性，即可比较大小.

【详解】为偶函数，则.又当时，

，，则在上单调递减，

，∴在上单调递减，

设，，当，，单调递减，

当，，单调递增，所以当时，取得最小值，，所以，时，等号成立，

所以，

设，（），

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以当时，取得最大值，，则，时，等号成立，

所以，

∴，∴，

故选：B

8．已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】切点为，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图象交点的个数，结合图象即可得出答案.

【详解】设切点为，由可得，

所以在点处的切线的斜率为，

所以在点处的切线为：，

因为切线过点，所以，

即，即这个方程有三个不等根即可，

切线的条数即为直线与图象交点的个数，

设，

则

由可得，由可得：或，

所以在和上单调递减，在上单调递增，

当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷，

的图象如下图，且，

要使与的图象有三个交点，则.

则的取值范围是:.

故选：A.

四、多选题

9．已知函数，则（    ）

A．恒成立 B．是上的增函数

C．在取得极小值 D．只有一个零点

【答案】BCD

【分析】利用导数判断函数的单调性可知B正确；利用导数求出函数的极小值可知C正确；当时，，可知A错误；求出函数的零点，可知D正确．

【详解】因为，该函数的定义域为，，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，故B正确，C正确；

当时，，此时，A错误；

由，可得，解得，D正确．

故选：BCD

10．已知动点在双曲线上，双曲线的左､右焦点分别为，下列结论正确的是（    ）

A．双曲线的离心率为2

B．双曲线的渐近线方程为

C．动点到两条渐近线的距离之积为定值

D．当动点在双曲线的左支上时，的最大值为

【答案】ACD

【分析】根据双曲线的性质可判断A,B，利用点到直线距离公式可判断C，利用双曲线的定义以及基本不等式判断D.

【详解】对A和B，双曲线，

所以双曲线的离心率为，

渐近线方程为，A选项正确，B选项错误；

对C，设点的坐标为，则，

双曲线的两条渐近线方程分别为和，

则点到两条渐近线的距离之积为C选项正确；

对D，当动点在双曲线的左支上时，，

，

当且仅当时，等号成立，

所以，的最大值为，D选项正确.

故选:ACD.

11．记等比数列的前n项和为，前n项积为，且满足，，，则（    ）

A． B．

C．是数列中的最大项 D．

【答案】AC

【分析】根据等比数列的通项公式和所给的条件得出，再根据等比中项即可判断选项，；再根据数列的单调性判断选项；根据等比数列下标和性质判断.

【详解】数列的公比为q．

对于，∵，，∴，又，∴．

∵，∴，故正确；

对于，∵，∴，即，故错误；

对于，∵，，∴数列是递减数列，∵，，

∴是数列中的最大项，故正确；

对于D，

，

∵，∴，即．故错误．

故选．

12．已知，且，，则下列说法中正确的是（    ）

A．

B．若方程有且仅有一个解，则

C．若关于b的方程有两个解，，则

D．当时，

【答案】ACD

【分析】首先对 作出解释，推出a与b的关系，根据推出的关系对每一项所提出的问题解释其几何意义，构造函数，根据函数的单调性求解.

【详解】由题意， ，令 ， ，

则等价于当时对应的x的值，

令 ，

考察函数 ， ，令 ，

当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，

， ， 是单调递减的；

当 时， ，当 时， ， ，函数图象如下图：

， ，

构造函数：  ，则 ，当 时， ， 单调递减，

当 时， 单调递增， ，当 时等号成立，

由于 ， ，A正确；

对于B， 有并且只有一个解，由A知： ，考察函数 ，

，当 时， 单调递增，当 并且 时， 单调递减，当 时， ，当 时， ，

在 处，取得极小值 ，

当x从小于1的方向趋近于1时， 趋向于 ，当x从大于1的方向趋向于1时， 趋向于 ，当x趋向于0时， 趋向于0，

函数图象大致如下：

所以当 时，方程 也是一个解，B错误；

对于C，方程 有2个解 ，由B知： ，  即 ，由A知： ， ，

原方程为 有2个解 ，即 ，由基本不等式知： ，

由B知： ，  ，

只需证明 即可，即 ，设，   ，则 ，

当时， 单调递减，当 时， 单调递增， ，

函数图象大致如下：

对应的2个解为 ，显然 ，要证 ，

只需证明 ， ，当 时， 是增函数，

所以即证 ，由 得， ，   ，即证 ，

即证  ，即 ，

即 ，

构造函数 ，

是减函数，又 ，

，命题得证；C正确；

对于D， ， ，原不等式化简为 ，令 ，则有 ，

构造函数 ，

是减函数， ，即 ，D正确；

故选：ACD.

五、填空题

13．已知正项数列前n项和为，若，，，则的值为______.

【答案】65

【分析】运用（且）可得的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，进而求得的通项公式，代入可得通项公式，赋值可得结果.

【详解】∵，，，①

当时， ，②

①-②得：（且），

又∵，

∴（且），

∴的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差都为2，

∴（），

（），

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴.

故答案为：65.

14．函数在区间上有最大值，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】求函数导数，研究函数单调性，判断其取最大值的位置，由于函数在区间上有最大值，故最大值对应的横坐标应在区间内，由此可以得到参数的不等式，解不等式即可得到的取值范围

【详解】，，

令 解得；令 ，解得或，

由此可得在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

故函数在处有极大值，在处有极小值，

即，解得，

故答案为：

15．已知m为常数，函数有两个极值点，则m的取值范围是______.

【答案】

【分析】由题意可知，有两个变号零点，转化为，然后在同一坐标系下研究，的交点个数问题.

【详解】由题意，有两个极值点等价于有两个变号零点，也等价于有两个变号实根，

由可得，，问题转化成考虑，在同一坐标系下图像有两个交点的问题.

设，，故时，，单调递增；故时，，单调递减.

故在处取到极大值，也是最大值. 由解得为唯一零点，故可作出大致图像如下：

如图所示，当，即时，，两图像在同一坐标系下有两个交点，记为.

根据图像可知时，，即；时，，

即，说明是的变号零点. 同理可说明也是变号零点，故符合题意.

故答案为：

16．函数，且，若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为______.

【答案】

【分析】当时，运用参数分离法，构造函数利用导数研究函数的性质即得，当时根据二次不等式的解法讨论的范围进而即得.

【详解】由题意知，当时，；当时，；当时，．

当时， ，即 ，构造函数 ，

当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，

， ；

当时，，当时，由，得，不合题意；

当时，由，得，不合题意；

当时，由，得，，所以，此时，不合题意；

当时，由，得，又，所以，此时适合题意；

综上，关于x的不等式的解集为，则 .

故答案为：.

六、解答题

17．设等比数列的前n项和为，且．

求的通项公式；

若，求的前n项和．

【答案】(1)．(2)．

【分析】利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．

利用的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．

【详解】等比数列的前n项和为，且

当时，解得．

当时

得，

所以常数，

故．

由于，所以，

所以．

【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．

18．某家具制造公司欲将如图所示的一块不规则的名贵木板裁制成一个矩形桌面板，已知，，且米，曲线段BC是以点B为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形桌面板的相邻两边分别落在AD、DC上，且一个顶点P落在曲线段BC上.

(1)建立适当的坐标系，设P点的横坐标为x，求矩形桌面板的面积关于x的函数；

(2)求矩形桌面板的最大面积.

【答案】(1)坐标系见解析，，

(2)平方米

【分析】（1）以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，计算出曲线段的方程，设是曲线段上的任意一点，计算出、，即可表示出矩形桌面板的面积关于x的函数.

（2）对求导，利用导数求出矩形桌面板的面积的最大值及其对应的值，即可得出结论.

【详解】（1）以B为原点，AB所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

依题意可设抛物线方程为，且，所以，即，

故点P所在曲线段BC的方程为，

设是曲线段BC上的任意一点，

则在矩形PMDN中，，，

桌面板的面积为，

（2），

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以当时，有最大值，.

矩形桌面板的最大面积为平方米.

19．已知函数，.

(1)当时，求在处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由导数的几何意义得出切线的斜率，进而写出切线方程；

（2）讨论，，，，结合导数得出函数的单调性.

【详解】（1）当时，，，

，，

∴切线方程为：，即.

（2）因为，.

所以.

①当时，令，得，∴在上单调递减；

令，得，∴在上单调递增.

②当时，令，得.∴在上单调递减；

令，得或.∴在和上单调递增.

③当时，在时恒成立，∴在R单调递增.

④当时，令，得.∴在上单调递减；

令，得或.∴在和上单调递增.

综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在和上单调递增；

当时，在R上单调递减；

当时，在上单调递减，在和上单调递增.

【点睛】关键点睛：解决问题（2）时，关键在于讨论根的大小，从而得出函数的单调性.

20．函数，，记为的从小到大的第个极大值点.

(1)求数列的通项公式，并证明数列是等比数列；

(2)若对一切不等式恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)，证明见解析；

(2).

【分析】（1）求出函数的导数，再求出区间上的极值点，并求出结合等比数列定义判断作答.

（2）利用（1）的结论结合已知分离参数，构造函数，再求出函数的最小值作答.

【详解】（1）函数，，求导得，

若，即，，则，，

若，即，，则，，

于是当，时，取得极大值，所以，，

此时，显然，而是常数，

所以数列是首项为，公比为的等比数列.

（2）对一切不等式恒成立，即恒成立，

等价于恒成立，等价于恒成立，

设，则，当时，，当时，，

于是在区间上单调递减，在区间上单调递增，

因为，且当时，，，，

，因此，

于是，解得，

所以实数a的取值范围是.

21．已知椭圆E：的离心率为，其左、右焦点分别为，，T为椭圆E上任意一点，面积的最大值为1.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过点的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线l：的垂线（点B，C在直线l的两侧）.垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数t，使得，，总成等比数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）椭圆a，b，c得关系以及条件列方程求解即可；

（2）依题意作图，设l的方程并与椭圆方程联立，求出 得解析式，再根据等比数列的定义求解.

【详解】（1）因为椭圆E的离心率为，所以，

又当T位于上顶点或者下顶点时， 面积最大，即，

又，即，解得，，

所以椭圆E的标准方程为；

（2）

由已知得，BC的斜率存在，且B，C在x轴的同侧，

设直线BC的方程为，，，不妨设，

则，，

由得，

所以，，，

因为，，，

所以

，

，

要使，，总成等比数列，则应有解得，

所以存在，使得，，总成等比数列.

【点睛】本题的难点在于计算很繁琐，需要用 表达 ，难度并不大，计算过程需要仔细，每计算一步都要核对是否正确.

22．已知有两个极值点，且.

(1)若的极大值大于，求a的范围；

(2)若，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求导，由，是的两根，得到，设，利用导数法求得，，再由，得到为的极大值点求解；，

（2）易得   ，设，则有，，将问题转化为证即可.

【详解】（1）解：，

∴，是的两根，

即，

设，∴，

∴时，，单调递增；时，，单调递减，

又，，时，；时，，

∴，，

∵，

∴时，单调递增，

时，单调递减，

∴为的极大值点，

∴，

，

∴，

令  ，

∴在上单调递增，∴，

∴，又在单调递减，

∴，∴；

（2）   ，

设，则有，，

要证，∵，

即要证，，

即要证，

构造  ，

设  ∴在单调递增，

∴  ∴  ∴单调递增，

∴得证.

【点睛】关键点点睛：本题第一问关键是由，是的两根，得到，通过的单调性，得到，，进而由，得到为的极大值点而得解.