2022-2023学年湖北省云学新高考联盟学校高二下学期4月期中联考数学试题含解析

2022-2023学年湖北省云学新高考联盟学校高二下学期4月期中联考数学试题

一、单选题

1．已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【分析】根据条件，列出关于公比的方程，即可求解.

【详解】设等比数列的公比为，，首项，

由，，成等差数列，则，

则，，得（舍）或.

故选：B

2．已知函数的导函数为，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对函数求导，将代入导数中可得，从而得到函数解析式，将代入函数解析式可得答案.

【详解】，则，

令得，解得，

则，

将代入上式得，

故选：C

3．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（    ）

A．60 B．80 C． D．

【答案】B

【分析】根据各项系数和求出，再由二项展开式通项公式求解即可.

【详解】当时，，解得，

则的展开式第项，

令，解得，所以，

故选：B

4．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就，小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前位数字，，，，，进行某种排列得到密码.要求两个不相邻.那么小明可以设置的不同密码有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】B

【分析】直接利用插空法计算得到答案.

【详解】利用插空法：共有种.

故选：B

5．定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可得到答案．

【详解】构造函数，则函数的导数为，

，，即在上单调递减，

，，

则不等式，等价为，

即，则，即不等式的解集为，

故选：A．

6．已知数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用裂项相消法求出，对任意的，不等式恒成立，则恒成立，求出最大值即可得解.

【详解】，

则，

因为，

所以，

因为对任意的，不等式恒成立，

所以，解得或，

所以实数的取值范围是.

故选：C.

7．现有天平及重量为，，，的砝码各一个，每一步，我们选取任意一个砝码，将其放入天平的左边或者右边，直至所有砝码全放到天平两边，但在放的过程中发现天平的指针不会偏向分度盘的右边，则这样的放法共有（    ）种.

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意，按照从大到小的顺序，逐一分情况讨论，结合排列组合以及分类加法原理，可得答案.

【详解】依题可知10只能在左边，按照从大到小的顺序，逐一分情况讨论，有以下4种情况：

情况①：第一步先排10，10只能在左边，接下来重量为1,2,4的砝码顺序随意有种，左右边随意，则种，共有种；

情况②：第一步先排4，4只能在左边，10可以在第2,3,4步中任选一步放，有种，重量为1,2的砝码顺序随意左右边随意，共有种；

情况③：第一步先排2，2只能在左边，

若第二步放10，则重量为去1,4的砝码顺序随意左右边随意，有中，

若第二步放4，则10可以在第3,4步汇总任选一步放，砝码1左右边随意放，有种，

若第二步放1，有2种放法，接下第3步有2种情形：

（）若第三步放10，那第四步放4可以在左右都行，有2种，

（）若第三步放4，那4只能放左边，第四步放10只能放左边，有1种，

共有种；

情况④：第一步先排1，1只能在左边，接下来第二步：

若第二步放10，则重量为2,4的砝码顺序随意左右边随意放，有种，

若第二步放4，则10可以在第3,4步中任选一步放，砝码2左右边随意放，有种，

若第二步放2，2只能在左边，接下来第三步有2种情形：

（）若第三步放10，那第四步放4可以在左右边都行，有2种，

（）若第三步放4，那4只能在左边，第四步放10只能放左边，有1种，

共有种，

综上有种.

故选：A.

8．若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】，令，构造函数，从而问题转化为存在，使得成立的问题.

【详解】

，令，即，

因为，所以，令.

则原问题等价于存在，使得成立.

令，即，解得，

令，即，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减.

又因为.

而，当时，.

若存在，使得成立.

只需或，所以.

故的取值范围为.

故选：D

二、多选题

9．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】令，则，原等式可化为，结合二项展开式的性质逐项判断即可.

【详解】令，则，原等式可化为，

令，则，故A项正确；

的展开式的通项为，则

，故B项错误；

令，则①，令，则②，由①+②得，

又，所以，故C项错误，D项正确．

故选：AD.

10．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（    ）

A．若，则是等差数列

B．若是等比数列，且，，则

C．若是等差数列，则

D．若，则是等比数列

【答案】ACD

【分析】对于AD：由与的关系求通项公式即可；对于B：作差比较大小即可；对于C：根据等差数列性质计算即可.

【详解】对于A：当时，，，则，又也适合，故，所以，所以是等差数列，故A正确；

对于B：

，故，所以B错误；

对于C：，故C正确；

对于D：当时，，，则，又也适合，故，所以，所以是等比数列，故D正确；

故选：ACD

11．现将把椅子排成一排，位同学随机就座，则下列说法中正确的是（    ）

A．个空位全都相邻的坐法有种

B．个空位中只有个相邻的坐法有种

C．个空位均不相邻的坐法有种

D．4个空位中至多有个相邻的坐法有种

【答案】AC

【分析】对于A，用捆绑法即可；对于B，先用捆绑法再用插空法即可；对于C，用插空法即可；对于D，用插空法的同时注意分类即可.

【详解】对于A，将四个空位当成一个整体，全部的坐法：种，故A对；

对于B，先排4个学生，然后将三个相邻的空位当成一个整体，

和另一个空位插入5个学生中有种方法，

所以一共有种，故B错；

对于C，先排4个学生，4个空位是一样的，

然后将4个空位插入4个学生形成的个空位中有种，

所以一共有，故C对；

对于D，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C可知都不相邻的有120种，

空位两个两个相邻的有：，

空位只有两个相邻的有，

所以一共有种，故D错；

故选：AC.

12．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】通过证明确定，的大小关系；通过证明确定，的大小关系；

【详解】令，

，

在上单调递增，

，

，

，

.

令，

，

令 ，

显然在为减函数 ，

，

 使 ，

当时，当时 ，

当时为增函数，当时为减函数 ，

所以的最小值为中一个 ，

而 ，

即 ，

在上单调递增，

，

.

故选：BC

【点睛】关键点点睛：本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量就有了函数的形式，如在本题中，，将视为，将视为函数与的函数值，从而只需比较与这两个函数大小关系即可.

三、填空题

13．若直线与函数的图象相切，则__________.

【答案】1

【分析】利用导数的几何意义即可求得答案.

【详解】由题意，可得，

因为直线与函数的图象相切，故设切点为，

则，故，则，

故，

故答案为：1

14．某校社团召开学生会议，要将个学生代表名额，分配到高二年级的个班级中，若高二（一）班至少个名额，其余个班每班至少个名额，共有__________种不同分法.（用数字作答）

【答案】

【分析】先分配给高二（一）班2个名额，剩余9个名额用隔板法分配.

【详解】先给高二（一）班2个名额，还有9个名额分到6个班级去，

每班至少个名额，使用隔板法，

有9个相同元素共8个空（不含两端），插入5个板，共有种插法，

两个板之间元素个数即为相应班级名额.

故答案为：

15．对于数列，定义为数列的“加权和”，已知某数列的“加权和”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】根据数列新定义可得，从而时，，相减求得，进而求得的表达式，利用对任意的恒成立，列出不等式组，即可求得答案.

【详解】由题意可得，

∴时，，

两式相减可得：，

化为，

时，，满足上式，

故

故，

∵对任意的恒成立，

∴ ，即，

解得，即，

故答案为：

16．设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则当时，不同的和共有__________种组合.（请用数字作答）

【答案】

【分析】利用列举的方法，结合集合的子集问题，利用等比数列求和，即可求出满足条件的组合数.

【详解】由条件可知，，

若集合中的最小的数为2，则集合有个，集合有个，

若集合中的最小的数为3，则集合有个，集合有个，

若集合中的最小的数为4，则集合有个，集合有个，

…………….

若集合中的最小的数为10，则集合有个，集合有个，

所以满足条件的不同集合的组数为：

.

故答案为：

四、解答题

17．已知的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大.

(1)求的值；

(2)求展开式中系数最大的项.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）令x=1可得，展开式中各项系数之和，展开式中的二项式系数之和为，由题意列方程求解.

（2）展开式中的通项公式为，且为偶数，由求解.

【详解】（1）令x=1可得，展开式中各项系数之和为，

而展开式中的二项式系数之和为，

（2）展开式中的通项公式为（），设第项最大，要使展开式中系数最大则必为偶数，

则，即，

即，即 且，解得：，

所以展开式中系数最大的项为：.

18．已知数列的前项和为，，且.，.

(1)求数列和的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）首先判断数列为等比数列，数列是等差数列，再根据等差和等比数列的基本量求解；

（2）由（1）可知，，利用错位相减法求和.

【详解】（1），，

则所以为等比数列，

又，得，所以

由，知数列是等差数列，且，,

，得，；

（2），

，

两式相减可得：

，

，

.

19．某地打算修建一条公路，但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线，为了保护野生动物，决定修建高架桥，为野生动物的迁徙提供安全通道.若高架桥的两端及两端的桥墩已建好，两端的桥墩相距1200米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测，一个桥墩的工程费用为500万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为y万元.

(1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)需新建多少个桥墩才能使y最小？并求出其最小值.参考数据：，

【答案】(1)

(2)需新建个桥墩才能使y最小，最小值为万元.

【分析】（1）利用题中的已知条件设出需要建设桥墩的个数，进而表示出工程的费用即可；

（2）利用（1）的结果，再利用导数研究函数的单调性即可求出最值.

【详解】（1）由已知两端的桥墩相距1200米，且相邻两桥墩相距x米，故需要建桥墩个，

则

所以y关于x的函数关系式为，

（2）由（1）知

令，即，解得（舍）或

当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；

所以当时，y有最小值，

且

又

（万元）

所以需新建个桥墩才能使y最小，最小值为万元.

20．已知函数.

(1)求的极值；

(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)有极小值，无极大值.

(2)

【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值；

（2）首先根据不等式构造函数，再根据函数构造函数，再利用函数的导数判断函数的单调性，并结合零点存在性定理，判断，即的正负，判断函数的单调性，并求函数的最值，即可证明不等式.

【详解】（1）求导得

所以当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以有极小值，无极大值.

（2）由题知不等式在上恒成立，

则原问题等价于不等式在上恒成立，

记，

则

记则恒成立，

所以在上单调递增，又，，

所以存在，使得，

即当时，，此时；当时，，此时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

由得，

即，

所以，

.

21．已知数列的前项和为，，若对任意正整数，.

(1)求证：为等差数列

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用数列与的关系，变形得到根据数列是等比数列，结合等差数列的定义，变形后即可证明；

（2）首先根据（1）的结果求得再根据条件求得，利用数列不等式恒成立，转化为最值问题，即可求解.

【详解】（1）因为，当时，，解得，

当n≥2时，则，

即又

所以是首项为公比为的等比数列，

所以则，又，

所以为首项为2，公差为1的等差数列，

（2）由（1）可知：，则

所以又

则又恒成立，

所以

当n为奇数时，恒成立，而则a<2；

当n为偶数时，，而即，则

综上所述，实数a的取值范围为

22．已知函数，

(1)求的最小值.

(2)若关于的方程，有两个实数根，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）函数的最值可利用单调性求解.

（2）方程在上有两个实根可转化为函数在上有两个零点，注意到，可讨论分析什么范围时存在另外一个根.

【详解】（1）（1），

令

，

，

在上恒成立.

∴在上单调递增

∴在上单调递增

（2）令，

此时，.

令，则，

当时，，函数在区间上单调递减，

当时，，函数在区间上单调递增，

所以函数在时取最小值，所以，即.

若， ，

在上恒成立.

∴在上单调递增，仅有一个零点，不符合题意.

令，，则

所以函数在区间上单调递减，

所以即.

若m<0，则

令，，

∴在上单调递增.

即

此时，若则成立，不满足题意.

故.

此时记的另外一个零点为，

则在上单调递减，在上单调递增

要使在上由两个零点，只需又

【点睛】思路点睛：（1）函数的最值可以利用函数的单调性去判断，本题中因导函数本身正负难以判断，所以考虑先分析导函数的单调性，进而判断导函数在区间的符号，再确定原函数的单调性（2）本题中函数本身比较复杂，导函数的判断也比较困难，可结合导数中常见不等式结论，在区间上去判断.