2022-2023学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高一下学期4月期中联考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高一下学期4月期中联考数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高一下学期4月期中联考数学试题 一、单选题1．已知，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解一元二次不等式和对数不等式，求出，得到交集.【详解】变形为，解得，故，因为，所以.故选：D2．已知为虚数单位，复数为纯虚数，则（    ）A．0 B． C．3 D．10【答案】D【分析】利用复数的乘法法则和纯虚数、模长的定义求解即可.【详解】由题意可得因为复数，所以，解得，即，所以，故选：D3．已知正三棱锥，各棱长均为，则其外接球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】抓住正三棱锥的特征，底面是正三角形，边长为，则高线的投影在底面正三角形的重心上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等，构造直角三角形，从而即可求出外接球的半径为，进而可求出外接球的体积．【详解】由是正三棱锥，底面是正三角形，边长为，则高线的投影在底面正三角形的重心上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等，如图，取的中点，连接，过作平面，且垂足为，则，由，则在中，有，所以，则在中，有，设外接球的半径为，则，即，解得，故外接球的体积为．故选：C．4．若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】解不等式，对实数的取值进行分类讨论，求出不等式的解集，根据题意可得出集合的包含关系，综合可求得实数的取值范围.【详解】解不等式可得，由可得，①当时，即当时，不等式即为，解得，此时，“”“”，不合乎题意；②当时，即当时，解不等式可得或，由题意可知，或，所以，或，解得或，所以，；③当时，即当时，解不等式可得或，由题意可得或，所以，或，解得或，此时.综上所述，实数的取值范围是或.故选：A.5．在中，，，且与交于点，若，则（    ）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根据平面向量共线定理得到，，利用、分别表示出，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得、，再代入计算可得.【详解】依题意、、三点共线，故，所以，、、三点共线，故，则，所以，解得，所以，又，所以，所以.故选：B6．已知正实数a，b满足，则的最小值是（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由已知可推得，然后根据“1”的代换，利用基本不等式，即可得出最小值.【详解】由已知可得，，所以.又，所以.当且仅当，即，时，等号成立.所以，的最小值是.故选：C.7．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．若函数的图象关于直线轴对称，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二倍角的余弦公式和两角的和差公式可得，再根据三角函数的平移变换可得，再利用条件结合正弦函数的对称性列方程即可求得的值．【详解】由，则，又函数的图象关于直线轴对称，则，得，又，则，即．故选：B．8．对任意的函数，都有，且当]时，，若关于的方程在区间内恰有6个不等实根，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性求出函数的解析式，利用函数的周期性画出函数图象，结合方程的根与函数图象交点的关系可得函数与图象在上有6个不同的交点，由图可得，解之即可求解.【详解】由，知函数为偶函数，由，知函数为周期函数，且.又当时，，则当时，，，由，得，所以，若方程在上有6个不等实根，则函数与图象在上有6个不同的交点，若，函数在上与函数图象只有1个交点，不符题意，故，如图，由图可知，，解得，即实数a的取值范围为.故选：A. 二、多选题9．下列关于复数的命题不正确的有（    ）A．若，则 B．若，则C． D．【答案】ABD【分析】举例说明，即可判断AB；根据复数的乘法运算和几何意义计算化简，即可判断C；根据复数的乘法运算和共轭复数的概念，即可判断D.【详解】A：令，满足，而，不成立，故A错误；B：由选项A的分析可知，不成立，故B错误；C：设，则，，又，所以，即，故C正确；D：设，则，得，，，所以不成立，故D错误.故选：ABD.10．已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，为点，下列说法正确的是（    ）A．B．为异面直线C．D．【答案】BC【分析】根据线面、面面平行的性质定理与判定定理判断即可.【详解】对于A：若，则与平行或异面，故A错误；对于B：若，则与为异面直线，故B正确；对于C：若则在平面内存在直线，使得，所以，又，，所以，故C正确；对于D：若，则与平行或异面，故D错误；故选：BC11．已知定义在R上的函数满足条件，且函数为奇函数，则下列说法中正确的是（    ）A．函数是周期函数B．函数为R上的偶函数C．函数的图象关于点对称D．函数为R上的单调函数【答案】AC【分析】由题可得即可判断A；由为奇函数可得，即可判断B；由、可得，即可判断C；根据为R上的奇函数，结合单调函数的定义即可判断D.【详解】A选项，由，得，即，故A正确；B选项，因为为奇函数，，用换x，得，又，所以，即函数为R上的奇函数，故B错误；C选项，因为为奇函数，所以，则的图象关于点对称，故C正确；D选项，因为函数为R上的奇函数，其图象关于原点对称，函数在和的单调性相同，但函数在R上不一定为单调函数，故D错误.故选：AC.12．已知，下列关于说法正确的是（    ）A．的最小正周期为 B．的最大值为4C．在上单调递减 D．关于成中心对称【答案】BCD【分析】先求出是的周期.设的最小正周期为，，根据，即可推导出，判断A项；根据余弦函数的值域得出，结合，即可得出B项；化简可得，然后根据复合函数的单调性，即可得出C项；求出并化简的表达式，即可得出D项.【详解】对于A项，因为，所以，是的周期.则可设的最小正周期为，，因为，所以应有，所以，应有，.由可得，，所以.又，所以，，或，；由可得，，所以.又，所以必有，此时.所以，，所以，的最小正周期为，故A项错误；对于B项，因为，，所以.又，所以的最大值为4，故B项正确；对于C项，.令，则函数在上单调递减，而函数单调递增，所以，根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，故C正确；对于D项，，所以，关于成中心对称，故D项正确.故选：BCD. 三、填空题13．一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为，腰和上底长均为的等腰梯形，则原平面图形的面积为___________.【答案】【分析】计算出梯形的下底的长，作出原图形，确定原图中梯形的上、下底的长以及梯形的高，利用梯形的面积公式可求得结果.【详解】在直观图等腰梯形，，且，如下图所示：分别过点、作，，垂足分别为点、，由题意可知，所以，，同理可得，因为，，，则四边形为矩形，所以，，故，将直观图还原为原图形如下图所示：由题意可知，梯形为直角梯形，，，，，，因此，梯形的面积为.故答案为：.14．已知，，且，，则___________.【答案】【分析】首先求出，，再根据两角和的余弦公式计算可得.【详解】因为，，且，，所以，，所以.故答案为：15．已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是___________.【答案】【分析】根据奇偶函数的定义证明为偶函数，易知当时函数单调递增，利用定义法证明函数在上单调递增，则函数在上单调递增，利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可求解.【详解】，定义域关于原点对称，则，所以函数为偶函数；当时，函数单调递增，设，则，，所以，又，所以，则函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，由，得，解得，所以实数a的取值范围为.故答案为：16．在中，点O满足，且AO所在直线交边BC于点D，有，，，则的值为___________.【答案】2【分析】由题干条件得到点为的内心，再由切线长定理和向量数量积公式变形得到答案.【详解】，变形为，即，其中表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，故在的平分线上，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，因为，所以，故，因为，所以，故，故平分，故点为的内心，过点作⊥于点，作⊥于点，作⊥于点，则，因为，所以，又，所以，由向量数量积得，故.故答案为：2【点睛】方法点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心，点为所在平面内的点，且，则点为的垂心，点为所在平面内的点，且，则点为的外心，点为所在平面内的点，且，则点为的内心. 四、解答题17．已知平面直角坐标系中，点为原点，，(1)若，且方向相反，求的坐标；(2)若，与的夹角为，且向量与互相垂直，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据已知可设，，然后根据已知得出，即可得出的值，代入即可得出答案；（2）求出，根据数量积的定义得出.由向量垂直，得出，根据数量积的运算律展开，得出方程，求解即可得出答案.【详解】（1）由已知可得，，设，，所以，.又，所以，所以，所以，.（2）由已知可得，，所以，所以.因为向量与互相垂直，所以，，即，即，解得.18．已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向右平移个单位后得到函数的图象，若，求实数x的取值范围.【答案】(1)(2)， 【分析】（1）由图象可求得，，即可得出，所以.根据“五点法”，可推得，即可得出答案；（2）由已知可得，.然后得出，根据正弦函数的图象，即可得出答案.【详解】（1）由图象可得，，，所以，，所以，.又在处取得最大值，由“五点法”可知，所以.又，所以，所以，.（2）将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到的图象；将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象；将图象向右平移个单位后得到函数的图象，所以.由可知，，所以.根据正弦函数的图象可得，或，所以，或，所以，实数x的取值范围为，.19．已知函数的最小值为.(1)求的解析式；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据题意可知二次函数的对称轴为，分类讨论当、、时函数的单调性，求出对应的最小值即可；（2）由（1），结合一次函数、二次函数的性质可知函数在R上单调递减，利用函数的单调性解不等式即可求解.【详解】（1）函数，对称轴为，当即时，函数在上单调递增，所以，即；当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即；当即时，函数在上单调递减，所以，即，故.（2）由（1）知，当时，，函数单调递减，当时，，对称轴为，函数在上单调递减，当时，，函数单调递减，注意到是连续函数，所以函数在R上单调递减.由，得，解得，故实数m的取值范围为.20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求B；(2)若锐角△ABC中，求其周长的取值范围.【答案】(1)； (2).  【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由内角和等于消去角C，然后通过和差公式展开化简即可求解；（2）由正弦定理、三角恒等变换化简可得，结合角A的范围和正弦函数的性质即可求解.【详解】（1），由正弦定理可得，即，整理得，又，所以，所以，即，又，所以，即.（2）由（1）知，又，由正弦定理，得，所以，所以，在锐角中，，则，所以，则，故的周长的取值范围为.21．如图，直线，点A是，之间的一个定点，过点A的直线EF垂直于直线，（m，n为常数），点B，C分别为，上的动点，已知.设，的面积为.(1)写出的解析式；(2)求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用三角函数表示各个边长的关系，再用梯形的面积减去两个直角三角形表达出即可.(2)由(1)有，将正切值用正弦除以余弦表示，再利用三角函数的和差角二倍角与辅助角公式化简成再求最值即可.【详解】（1）由题意，，所以，在中，，，则，在中，，∴的面积，∴的面积，∴梯形的面积，∴.（2）令.所以当时，即时，取得最小值，此时取得最小值.22．已知函数.(1)证明：函数为奇函数；(2)判断函数的单调性；(3)若函数，其中，讨论函数的零点个数.【答案】(1)证明见解析；(2)函数在上单调递减；(3)答案见解析. 【分析】（1）根据对数函数的概念求出函数的定义域，结合奇偶函数的定义即可证明；（2），利用复合函数的单调性质即可判断；（3）令，则，分类讨论，时，结合图形，t分别对应的零点个数，进而得解.【详解】（1），则函数的定义域为，关于原点对称，，所以函数为奇函数；（2），又函数在和上单调递减，由函数图象的平移可知在上单调递减，而函数在上单调递增，利用复合函数的单调性质知，函数在上单调递减；（3）由，得，令，则， 当时，由，得，如图，当时，，由图可知，对应有3个零点；当时，，由图可知，对应有1个零点；当时，如图，由图可知，只有一个，对应有1个零点；综上，当时，函数只有3个零点；当时，函数只有1个零点；当时，函数只有1个零点.