2022-2023学年江苏省淮安市高中校协作体高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年江苏省淮安市高中校协作体高二下学期期中数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省淮安市高中校协作体2022-2023学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据四点共面的充要条件及其推论，即可得出答案.【详解】由与三点共面以及，可得，，所以.故选：C.2．若，则（    ）A．1 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根据排列数公式，将已知条件展开，即可得出答案.【详解】由已知，.因为，.则由可得，，整理可得，解得.故选：D.3．已知是夹角为的两个单位向量，设向量，，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知求出，根据数量积的运算求出的值，进而根据数量积的定义，即可得出答案.【详解】由已知可得，，所以，，，所以，，所以，，所以，.故选：C.4．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为（    ）A．192 B．420 C．210 D．72【答案】D【分析】分为同色，且同色；同色，而不同色；同色，而不同色三种情况，分别计算，根据分类加法计数原理，求和即可得出答案.【详解】由题意知，与任意一点均不同色.只用3种颜色，即同色，且同色，此时不同染色方法的种数为；用4种颜色，此时可能同色，而不同色或同色，而不同色.若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为；若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为.根据分类加法计数原理原理可得，不同染色方法的种数为.故选：D.5．设是实数，已知三点，，在同一条直线上，那么（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】求出，.进而根据三点共线得出，即可列出方程组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，.因为三点共线，所以存在唯一实数，使得，所以，解得，所以.故选：D.6．已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是，则展开式中系数的绝对值最大的是第（    ）项A．6 B．8 C．9 D．11【答案】B【分析】写出展开式的通项公式，由已知可得出，解得.进而写出展开式中系数的绝对值的表达式，列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，展开式的通项公式为，.所以，第5项的系数为，第3项的系数为， 由题意知，，整理可得，，解得或（舍去），所以，.设第项，系数的绝对值最大，该项系数的绝对值为，则有，即，整理可得，所以.又，所以，所以展开式中系数的绝对值最大的是第8项.故选：B.7．已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量的模为（    ）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】根据数量积的定义求得，进而得出的值，然后根据投影向量即可得出答案.【详解】由已知可得，，所以，，所以，向量在向量上的投影向量的模为.故选：A.8．若，则被12整除的余数为（    ）A．0 B．3 C．5 D．8【答案】B【分析】分别赋值以及，可推得.然后将展开，即可得出，观察即可得出答案.【详解】令，由已知可得，.令，由已知可得，.两式作差可得，，所以，.因为，所以，，显然可以被12整除，所以，余数为3.故选：B. 二、多选题9．下列命题中是真命题的为（    ）A．若与共面，则存在实数，使B．若存在实数，使向量，则与共面C．若点四点共面，则存在实数，使D．若存在实数，使，则点四点共面【答案】BD【分析】根据平面向量基本定理以及空间向量基本定理，可知B、D项正确；若共线，则A结论不恒成立；若三点共线，则C项结论不恒成立.【详解】对于A项，如果共线，则只能表示与共线的向量.若与不共线，则不能表示，故A项错误；对于B项，根据平面向量基本定理知，若存在实数，使向量，则与共面，故B项正确；对于C项，如果三点共线，则不论取何值，只能表示与共线的向量.若点不在所在的直线上，则无法表示，故C项错误；对于D项，根据空间向量基本定理，可知若存在实数，使，则共面，所以点四点共面，故D项正确.故选：BD.10．我国古代著名的数学著作中，《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经）、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》6本书分给5名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为（    ）A． B． C． D．【答案】AD【解析】先选出一个人分得两本书，剩余四人各分得一本书，再利用分步乘法计数原理相乘即得结果.【详解】依题意，6本书分给5名数学爱好者，其中一人至少一本，则有一人分得两本书，剩余四人各分得一本书，方法一：分三步完成，第一步：选择一个人，有种选法；第二步：为这个人选两本书，有种选法；第三步: 剩余四人各分得一本书，有种选法.故由乘法原理知，不同的分配方法的种数为，故A正确；方法二：分两步完成，第一步：先分组，选择两本书，将书分成“2+1+1+1+1”的五组，有种选法；第二步：将五组分配给五个人，有种选法.故由乘法原理知，不同的分配方法的种数为，故D正确.故选：AD.11．设且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（    ）A． B． C．  D．【答案】BCD【分析】令，并以它们为邻边作平行六面体，再确定，对应的线段，判断线段是否共面，即可判断各组向量是否可作为基底.【详解】如图所示，令，则，又，由A、B1、C、D1四点不共面知：向量不共面，同理和也不共面.故选：BCD12．对于二项式，以下判断正确的有（    ）A．存在，展开式中有常数项B．对任意，展开式中没有常数项C．对任意，展开式中没有x的一次项D．存在，展开式中有x的一次项【答案】AD【分析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案．【详解】设二项式展开式的通项公式为，则，不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确．故选：AD 三、填空题13．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，分别为上的点，且，__________.【答案】【分析】根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解.【详解】在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，，则，又，，，则，，因此，.故答案为：.14．已知的展开式中所有项的二项式系数之和为1024，则的展开式中项的系数为__________.【答案】【分析】由已知求出.进而得出的展开式中含有的项为，然后根据二项式系数的性质求解，即可得出答案.【详解】由已知可得，，所以.的展开式的通项为，，，且，展开式中含有的项为，所以，的展开式中项的系数为.故答案为：.15．在直三棱柱中，，，，分别为的中点.则点到平面的距离为__________.【答案】/【分析】以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面的法向量以及，然后求出在上的投影向量的模，即可得出答案.【详解】因为，，所以.又由直三棱柱的性质，可知平面.如图，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，所以，，，.设是平面的一个法向量，则，即，取，则是平面的一个法向量.因为，在方向上投影向量的模为，所以，点到平面的距离为.故答案为：. 四、双空题16．对任意实数有，则__________；__________.【答案】     6     27【分析】将展开，即可得出各项的系数，然后得出答案.【详解】因为，将该式展开可得，.所以，，.故答案为：6；27. 五、解答题17．在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.已知（），若的展开式中，______.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）10；（2）【分析】（1）分别选择不同方案，根据展开式系数关系即可求出；（2）令和可求出.【详解】（1）选择条件①，若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则，；选择条件②，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则，；选择条件②，若的展开式中所有二项式系数的和为，则，；（2）由（1）知，则，令，得，令，则，.【点睛】本题考查二项展开式系数关系，属于基础题.18．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD的中点，试用向量法解决下面的问题．（1）求证：；（2）若，求线段BP的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】由题设已知可构建底面中心O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向的空间直角坐标系，确定坐标，（1）应用向量的数量积坐标公式有，即可证；（2）用坐标表示，求模即为线段BP的长；【详解】连接BD，交AC于点O，由题意知平面ABCD．以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．（1）设底面边长为a，则高，于是，，，所以，，所以，故，即．（2）因为，所以，，.由中点坐标公式，可得，所以，所以，即线段BP的长为．【点睛】本题考查了应用空间向量证明垂直及求线段长度，根据几何体的性质构建合适的空间坐标系，并得到点坐标，应用向量垂直的坐标公式证垂直，由向量的模求线段长度.19．有4名男生，3名女生，共7个人从左至右站成一排，在下列情况下，各有多少种不同的站法.(1)男生､女生各站在一起；(2)男生必须站在一起；(3)男生互不相邻，且女生也互不相邻.(4)最左端只能站某生甲或乙，最右端不能站某生甲，则有多少种不同的站法？【答案】(1)288(2)576(3)144(4)1320 【分析】（1）先排男生，再排女生，考虑男女生位置，即可根据分步计数原理得出答案；（2）捆绑法：将男生看为一个整体，与女生排列，即可得出答案；（3）插空法：先排男生，女生插空，即可得出答案；（4）分为某生甲站在最左端，某生乙甲站在最左端，分别计算，相加即可得出答案.【详解】（1）男生必须站在一起，即把4名男生全排列，有种排法，女生必须站在一起，即把3名女生全排列，有种排法，全体男生、女生各看作一个元素全排列有种排法，由分步乘法计数原理知共有（种）排法.（2）把所有男生看作一个元素，与3名女生组成4个元素全排列，故有（种）不同的排法.（3）先排男生有种排法，然后让女生插空，有种排法，所以共有（种）不同的排法.（4）若最左端站某生甲，余下6名同学全排列共有种排法；若最左端站某生乙，则应先排某生甲，有种排法，剩余5名同学全排列共有种排法，由分步计数原理知共有种排法.根据分类加法计数原理可得，共有种.20．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，.(1)若的中点为，求证：平面；(2)若与底面所成的角为，求与平面的所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取的中点，连接.先证明四边形是平行四边形，即可得出，然后即可证明线面平行；（2）先证明平面，即可得出.然后建立空间直角坐标系，得出点以及向量的坐标，求出平面的法向量，根据向量求得与平面的所成角的正弦值，进而求得余弦值.【详解】（1）如图1，取的中点，连接，分别为的中点，，且.且，且，四边形是平行四边形，.平面，平面，平面.（2）若是中点，取中点为，连结.分别是的中点，.，.由底面为直角梯形且，，.，.由侧面底面，平面平面，面，平面，在平面的投影在直线上.又与底面所成的角为，与底面所成角的平面角，为等边三角形，.以为原点，分别以所在的直线为轴，如图2建空间直角坐标系， 则，，，，则，，.设平面PBD的法向量，则，即，取，得，.设与平面的所成角为，则.，，与平面的夹角的余弦值为.21．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数.(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.【答案】(1)5400(2)840(3)3360(4)360 【分析】（1）分为2女3男和1女4男，两种情况，先选出5人，然后排列即可得出答案；（2）从剩余7人中，选出4人排列，即可得出答案；（3）先考虑选出某男生的职位，再从剩余7人中，先选出4人排列，即可得出答案；（4）先考虑选出某男生的职位，再从剩余6人中，先选出3人排列，即可得出答案.【详解】（1）先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男，所以先选有种方法，后排有种方法，所以共有不同选法（种）.（2）先在剩余的7人中选出4人，有种选法，然后排列，有种方法，根据分步乘法计数原理，即可得出共有不同选法（种）.（3）分步：第一步，先安排不担任语文科代表的某男生，有种方法；第二步，然后从剩余的7人中选出4人，有种选法；第三步，选出的4人排列，有种方法.根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）.（4）第一步，安排某男生，有种方法；第二步，从剩余的6人中选出3人，有种选法；第三步，选出的3人排列，有种方法.根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）.22．如图，在底面是菱形的四棱锥中，为中点，，，已知.(1)若，证明：；(2)若，求二面角的平面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2). 【分析】（1）由已知可推得为等边三角形，，推得.根据勾股定理，可推得.即可证明平面，根据线面垂直的性质，即可推得线线垂直；（2）先证明面.以为原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面和平面的法向量，即可根据向量方法得出答案.【详解】（1）连结，由于为中点，且，所以，为等边三角形，故.因为，所以.因为，，所以.因为，在中，有，则.又，且平面，平面，所以平面.又平面，故.（2）取的中点，连接，在中，，，为中点， 所以，.在中，，，所以.又，，所以.又，，平面，平面，所以面.以为原点，分别以所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，则，.设平面的一个法向量为，则，即，取，则.易知为平面的一个法向量，则.设二面角的平面角为，所以，，所以二面角的平面角的正弦值为.