2022-2023学年江苏省苏州市高二下学期期中数学试题含解析

江苏省苏州市2022-2023学年高二下学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设函数，则在处的瞬时变化率为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】A

【分析】，计算得到答案.

【详解】，，.

故选：A

2．已知（，且），则的值为（    ）

A．30 B．42 C．56 D．72

【答案】C

【分析】根据组合数公式求出，再根据排列数公式计算可得.

【详解】因为，所以，解得或（舍去），

所以.

故选：C

3．设为函数在处的导数，则满足的函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据导数的几何意义逐项分析判断.

【详解】结合图象根据导数的几何意义可得：

对于A：由图可得，故A错误；

对于B：由图可得，故B错误；

对于C：由图可得，故C错误；

对于D：由图可得，故D正确；

故选：D.

4．在某项志愿服务中，需从来自甲、乙两个单位的10名志愿者（甲单位6名、乙单位4名）中选出4名志愿者组成志愿者服务小组，所选4名志愿者不全来自同一个单位的选法种数为（    ）

A．156 B．180 C．194 D．672

【答案】C

【分析】利用组合公式得出所选4名志愿者来自同一单位的选法，再由求解即可.

【详解】所选4名志愿者来自同一单位的共有种选法，则所选4名志愿者不全来自

同一个单位的选法种数为.

故选：C

5．在某项测验中，假设测验数据服从正态分布.如果按照，，，的比例将测验数据从大到小分为，，，四个等级，则等级为的测验数据的最小值可能是（    ）

【附：随机变量服从正态分布，则，，】

A．75 B．79 C．83 D．91

【答案】B

【分析】设测验数据为，依题意，根据正态分布的性质可得，即可得解.

【详解】设测验数据为，依题意，则，，

设等级为的测验数据的最小值为，则，

因为，所以，

所以，所以的可能取值为.

故选：B

6．，当时，都有，则实数的最大值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】依题意对，当时恒成立，，，则问题转化为在上单调递增，求出函数的导函数，则在上恒成立，参变分离可得的取值范围，即可得解.

【详解】因为，当时，都有，

即，即，

令，，则恒成立，

即在上单调递增，

又，所以在上恒成立，

所以在上恒成立，因为在上单调递减，

所以，所以，即实数的最大值为.

故选：B

7．讲台上有左、右两盒粉笔，左盒中有20支白色粉笔、5支黄色粉笔，右盒中有5支红色粉笔、6支黄色粉笔、4支蓝色粉笔.某位老师从这两盒中取粉笔，取自左盒的概率为40%，取自右盒的概率为60%.若这位老师从这两盒粉笔中任取一支，则取到黄色粉笔的概率为（    ）

A．0.275 B．0.28 C．0.32 D．0.6

【答案】C

【分析】直接根据全概率公式计算得到答案.

【详解】.

故选：C

8．设（e为自然对数的底数），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性及最值，结合对数函数的单调性及不等式的性质即可求解.

【详解】

令则，

令，即，解得

当时，，

所以在上单调递增.

所以

所以，即，

令则，

令即，解得，

当时，，

当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

所以，即（当且仅当时等号成立）.

因为

所以即

所以.

故选：A.

二、多选题

9．已知是函数的导函数，其图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．在上单调递减 B．在上单调递增

C．在处取得极小值 D．在处取得极大值

【答案】BD

【分析】根据导函数符号判断原函数单调性和极值，逐项分析判断.

【详解】由题意可得：当时，；当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减，则仅在处取得极值，且为极大值，

故A错误，B正确，C错误，D正确；

故选：BD.

10．在的展开式中（    ）

A．常数项为 B．项的系数为

C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项

【答案】BCD

【分析】根据二项展开式的通项公式可得，对A、B：分别令、，运算求解即可；对于C：可得第项的系数为，结合数列单调性分析运算；对于D：令，分析运算即可.

【详解】的展开式的通项公式，

对于A：令，解得，可得，

即常数项为，故A错误；

对于B：令，解得，可得，

即项的系数为，故B正确；

对于C：由通项公式可得：第项的系数为，

当为偶数时，；当为奇数时，；

取为偶数，令，则，

整理得，解得，

所以系数最大项为第3项，故C正确；

对于D：令，则，

所以有理项共有5项，故D正确；

故选：BCD.

11．甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出1球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1球.记“从甲盒中取出的球是红球”为事件A，“从甲盒中取出的球是白球”为事件B，“从乙盒中取出的球是红球”为事件C，则（    ）

A．A与B互斥 B．A与C独立 C． D．

【答案】ACD

【分析】A与B是互斥事件，A正确，，B错误，利用公式计算CD正确，得到答案.

【详解】对选项A：A与B是互斥事件，正确；

对选项B：，，，

，错误；

对选项C：，正确；

对选项D：，正确.

故选：ACD

12．设函数，则（    ）

A．

B．函数的图象过点的切线方程为

C．函数既存在极大值又存在极小值，且其极大值大于其极小值

D．方程有两个不等实根，则实数的取值范围为

【答案】AD

【分析】根据导数的运算法则及初等函数的导数公式，利用导数值的定义及求过点处的切线方程的步骤，结合导数法求函数的极值的步骤及将方程有两个不等实根转化为与有两个交点，再利用数形结合即可求解.

【详解】由题意可知

对于A，由得，故A正确；

对于B，设切点为

切线方程代入点，得，化简整理得，

令

所以函数在的切线方程为，

因为函数图象连续不断，

所以存在使得，

所以过点的直线与函数在之间存在切点，

所以过点的切线不止一条，故B错误；

对于C，的定义域为

令即，解得或

当时，

当时，

所以在和上单调递增，在和上单调递减.

当时，取得极大值为，

当时，取得极小值为，

因为

所以极大值小于极小值，故C错误；

对于D，由C选项知，作出的图象如图所示

要使方程有两个不等实根，只需要与有两个交点，由图可知，

所以实数的取值范围为.故D正确.

故选：AD.

【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用求过点处的切线方程的方法及零点的存在性定理判断方程的根，再利用导数法求函数的极值及作出函数的大致图象，将方程有两个不等实根转化为与有两个交点即可.

三、填空题

13．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的四位数，在组成的四位数中，能被5整除的有________个.

【答案】

【分析】分个位为和两种情况讨论，分别利用排列数公式求出所对应的数字个数，即可得解.

【详解】若个位为，则有个，若个位为，则有个，

综上可得组成的四位数中，能被整除的有个.

故答案为：

14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数________.

①定义域为，函数值不恒为0，且图象是条连续不断的曲线；②；③为函数的导函数，.

【答案】（答案不唯一）

【分析】取，验证得到函数满足条件①②，求导得到，满足条件，得到答案.

【详解】取，

函数定义域为，函数值不恒为0，且图象是条连续不断的曲线；

，函数为奇函数；

恒成立.

故答案为：

四、双空题

15．在下图中，从第2行起，除首末两个位置外，每个位置上的数都等于它肩上的两个数的和，最初几行是：

自左向右，第n行第个数记为（n，且）.若（且），则k的值为________；（且）的值为________.

【答案】     或；    

【分析】确定或，解得答案，根据组合公式得到原式为，计算得到答案.

【详解】，则，或，，故或；

.

故答案为：或；

五、填空题

16．已知函数.若曲线与曲线有公切线，则实数m的取值范围为________.

【答案】

【分析】根据导数的几何意义分析可得，构建，利用导数求单调性及最值.

【详解】∵，则，

设切点坐标，则切线斜率，

故切线方程为，整理得，

又∵，则，

设切点坐标，则切线斜率，

故切线方程为，整理得，

由题意可得，整理得，

构建，则，

∵，可得，

令，解得；令，解得；

∴在上单调递增，在上单调递减，则，

当x趋近于0时，趋近于正无穷大，当x趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，

可得的值域为，即实数m的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】方法定睛：公切线问题的解决方法：

利用导数的几何意义分别求切线方程，根据切线方程之间的关系构建方程(组)或函数求解．

六、解答题

17．从4名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛，

(1)至少选到1名女生的的方法有多少种?

(2)设随机变量X表示所选2人中女生的人数，求X的分布列及期望、方差.

【答案】(1)

(2)分布列见解析；；.

【分析】（1）利用间接法及组合数公式即可求解；

（2）根据已知条件求出随机变量的取值，求出对应的概率，即可得出随机变量的分布列，利用随机变量的期望公式及方差公式即可求解.

【详解】（1）从4名男生和2名女生中任选2人有种方法，不含女生的方法种，所以至少选到1名女生的方法有种.

（2）随机变量的可能取值为.

故的分布列为

所以

18．在①只有第6项的二项式系数最大；②第5项与第7项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数之和为512；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知，且满足________.

(1)求的值；

(2)求的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用二项式系数的性质及赋值法即可求解；

（2）利用复合函数的求导法则及赋值法即可求解.

【详解】（1）二项式的展开式第项为（且），其二项式系数为.

选择①，

因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，

所以在（且）中只有最大，即，解得.

选择②，

因为展开式中的第5项与第7项的二项式系数相等，

所以，解得.

选择③，

因为展开式中的奇数项的二项式系数之和为512，

所以，解得.

所以，即

在式中令，得，解得，

在式中令，得，解得，

所以.

（2）对式两边求导得，

令，得，解得，

所以.

19．将一个边长为米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.

(1)试把这个正六棱柱铁皮盒的容积表示为盒底边长的函数；

(2)多大时，盒子的容积最大?

【答案】(1)，.

(2)

【分析】（1）求出盒子的高与底面积，即可得到盒子的容积；

（2）利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极大值点，从而得解.

【详解】（1）如图，易得，，，则盒子的高，

所以盒子的底面积，

所以盒子的容积，.

（2）由（1）可得，，

所以，令，解得，（舍去），

所以当时，则单调递增，

当时，则单调递减，

所以当时取得极大值，即最大值，

所以当米时，盒子的容积最大.

20．近年来，我国电影市场非常火爆，有多部优秀国产电影陆续上映，某影评网站统计了100名观众对某部电影的评分情况，得到如下表格：

以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立.从全国所有观众中随机抽取名，

(1)求恰有人评价为五星，人评价为四星的概率；

(2)记其中评价为五星的观众人数为，求的分布列与数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）首先求出评价为五星、四星的频率，再根据相互独立事件的概率公式计算可得；

（2）依题意可得，利用二项分布的概率公式求出所对应的概率，即可得到概率分布列与数学期望.

【详解】（1）依题意样本中抽取人，评价为五星的频率为，评价为四星的频率为，

所以从全国所有观众中随机抽取名，恰有人评价为五星，人评价为四星的概率.

（2）依题意的可能取值为、、、、，且，

所以，，

，，

，

所以随机变量的分布列为：

所以.

21．已知函数.

(1)求的极值；

(2)设曲线在点处的切线为，记在轴上的截距为，当的斜率为非负数时，求的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，令求出对应方程的根，即可得到、的变化情况表，从而求出函数的极值；

（2）首先表示出，，即可表示出切线方程，再令求出，再根据求出斜率为非负数求出的取值范围，即可得到，再构造函数，利用导数求出函数的极值，再与区间端点函数值比较，即可求出函数的值域，从而求出的取值范围.

【详解】（1）因为的定义域为，

，

令，解得，，

所以、的变化情况如下所示：

所以当时取极小值，即，当时取极大值，即.

（2）因为，，

所以曲线在点处的切线为：，

令可得在轴上的截距为，

因为直线的斜率为非负数，即，即，解得，

所以，

令，，则，

所以当或时，当时，

所以在，上单调递增，在上单调递减，

所以当时有极大值，当时有极小值，

又，，

所以的取值范围为，即的取值范围为.

22．已如函数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当时，求证：函数存在极小值点，且.

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为

(2)证明见解析

【分析】（1）求导得到，确定导函数单调递增，且，得到单调区间.

（2）求导得到，确定函数单调递增，得到存在，使，得到单调区间，确定极值点，化简得到，根据单调性得到证明.

【详解】（1），，则，

设，则恒成立，故单调递增.

即单调递增，且，

故当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

综上所述：单调递减区间为，单调递增区间为.

（2），，设，

则恒成立，故单调递增，即单调递增，

，，

故存在，使，即，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

故是函数存在极小值点，

，

函数在上单调递增，故，得证.

【点睛】关键点睛：本题考查了求函数的单调区间，证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中在不能直接求出零点的时候，利用隐零点代换可以简化运算，是解题的关键.