2022-2023学年江苏省无锡市太湖高级中学高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年江苏省无锡市太湖高级中学高二下学期期中数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省无锡市太湖高级中学高二下学期期中数学试题 一、单选题1．函数在点处的切线方程是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再求出的值，利用直线方程的斜截式得答案．【详解】解：由，得，则，又，函数在点，处的切线方程是．故选：．2．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则的值为（    ）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【分析】根据题中条件得出二项展开式的总项数，再求解n的值即可.【详解】根据题意，只有第7项为二项展开式的中间项，所以二项展开式的总项数为13，即，解得，故答案为：12.3．从4名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名男生和1名女生的选法共有（    ）A．16种 B．20种 C．24种 D．36种【答案】A【分析】分为1名男生，2名女生和2名男生，1名女生两种情况，分别计算，根据分类加法计数原理，相加即可得出答案.【详解】3名志愿者为1名男生，2名女生时，选法的种数为；3名志愿者为2名男生，1名女生时，选法的种数为.所以，根据分类加法计数原理可知，至少有1名男生和1名女生的选法共有种.故选：A.4．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是3”，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件概率公式转化为，分别求解事件和实际包含的基本事件的个数，代入求解.【详解】事件为“两次所得点数均为奇数”，则事件为，，，，，，，，，故；为“至少有一次点数是3”，则事件为，，，， ，故，所以.故选：B.5．若，则（    ）A．45 B．120 C． D．【答案】D【分析】将展开，即可得出展开式中含有的系数，计算即可得出答案.【详解】，展开式中含有的系数为.故选：D.6．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有（    ）A．4种 B．6种 C．10种 D．16种【答案】C【分析】分两类：甲第一次踢给乙时，和甲第一次踢给丙时，分别求得传递方式的种数再由分类加法计数原理计算可得选项.【详解】甲_ _ _ _甲（1）中间无甲，则有：甲乙丙乙丙甲，甲丙乙丙乙甲，共2种；（2）甲在第三个，则有：甲乙甲乙丙甲，甲乙甲丙乙甲，甲丙甲乙丙甲，甲丙甲丙乙甲，共4种；（3）甲在第四个，则有：甲乙丙甲乙甲，甲丙乙甲乙甲，甲乙丙甲丙甲，甲丙乙甲丙甲，共4种.综上，共10种.故选：C.7．若在x=1处取得极大值10，则的值为（　　）A．或 B．或 C． D．【答案】C【分析】由于，依题意知，，，于是有，代入f（1）=10即可求得，从而可得答案．【详解】∵，∴，又在x=1处取得极大值10，∴，，∴，∴或．当时，，当＜x＜1时，，当x＞1时，，∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；当时，，当x＜1时，，当＜x＜3时，，∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；则，故选C．【点睛】本题考查函数在某点取得极值的条件，求得，利用，f（1）=10求得是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．8．设函数，的导数为，且，，则不等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，求出，根据已知得出为R上的增函数，则.代入结合，即可得出答案.【详解】构造辅助函数，令，则.因为，所以，所以，所以函数为R上的增函数，则.又，，.又，所以，所以，所以.故选：C. 二、多选题9．直线可作为函数的图像的切线，则的解析式可以是（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】求出的导函数，根据已知只需有解即可.【详解】对于A项，的定义域为，且，此时无解，故A错误；对于B项，定义域为，则，显然在上有解，故B正确；对于C项，定义域为R，且，因为，所以在R上有解，故C正确；对于D项，定义域为R，，显然在R上有解，故D正确.故选：BCD.10．对于的展开式，下列说法正确的是（    ）A．展开式共有6项B．展开式中各项系数之和为1C．展开式中的常数项是D．展开式中的奇数项的二项式系数之和为32【答案】BD【分析】根据二项式展开式的项数判断A；根据二项式系数和性质可判断B，D；根据二项式通项公式求得常数项判断C.【详解】因为二项式的次数为6，所以展开式共有7项，故A错误；令，则展开式中各项系数之和为1，故B正确；的通项为，令，得，故展开式中的常数项为，故C错误；展开式中奇数项的的二项式系数之和为，故D正确.故选：BD11．假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表：品牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率80%90%70%在该市场中任意买一部智能手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌､乙品牌､其他品牌，B表示买到的是优质品，则（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据表中数据，结合条件概率公式、全概率公式逐一判断即可.【详解】因为乙品牌市场占有率为30%，所以，因此选项A正确；因为，所以选项B不正确；因为，所以选项C正确；因为所以选项D正确，故选：ACD12．已知函数，下列说法正确的有（    ）A．函数是周期函数B．函数有三个零点C．函数有无数个极值点D．函数在上不是单调函数【答案】BCD【分析】根据周期函数的定义判断A，构造新函数，由函数图象交点判断B，求出导函数，利用的零点个数判断C，由零点存在定理判断在上有无零点，从而判断D．【详解】因为不是周期函数，则不是周期函数，A错误；作出与的图象，由图可知，与的图象有三个交点，B正确；，作出与的图象，由图可知，有无数个交点，即有无数个极值点，C正确；因为，，所以在有零点，不是单调函数，D正确；故选：BCD． 三、填空题13．一辆汽车做直线运动，位移与时间的关系为，若汽车在时的瞬时速度为8，则实数的值为________.【答案】2【分析】根据导数的定义可推得，根据导数的意义，即可得出答案.【详解】根据导数的定义可得，，根据导数的意义，可知，所以.故答案为：2.14．设，且，若能被13整除，则的值可以为________.【答案】1或14【分析】变形，写出通项，根据通项可知，除第2024项外，其他项均能被13整除，即可得出能被13整除.进而只需满足能被13整除，即可根据的取值范围得出答案.【详解】该二项式展开式通项为，，显然，当时，能被13整除，但是时，不能被13整除，所以能被13整除.要使能被13整除，则应满足能被13整除.因为，所以，所以或，所以或.故答案为：1或14.15．甲罐中有4个红球，4个白球和2个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则的值为________.【答案】/【分析】根据全概率公式以及条件概率的计算公式，即可求得答案.【详解】分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件,则，故答案为：16．已知对，不等式恒成立，则的最大值是________.【答案】【分析】由不等式恒成立，求得，故，只需求的最大值即可.【详解】下面证明当时不成立：当时，原不等式变形为，，若，则，而当时，原不等式不成立；若，当时，，取，则，，原不等式不成立，故当时不成立，所以.不等式可化为，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，，即，所以，令，则令可得，当时，单调递增， 当时，单调递减，故，即，故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的思路是将不等式可化为，然后再构造函数，并对其进行求导，求出函数的最小值为，即，然后求出目标函数的最大值为，即，所以求出的最大值是． 四、解答题17．盒子内有3个不同的黑球，4个不同的白球.(1)全部取出排成一列，3个黑球两两不相邻的排法有多少种？(2)从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？(3)若取一个白球记2分，取一个黑球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【答案】(1)1440(2)7(3)21 【分析】（1）首先4个白球进行排列，然后3个黑球进行插空即可得出结果；（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有2类：2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球；（3）从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：4个白球1个黑球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球.【详解】（1）首先4个白球进行排列，然后3个黑球进行插空，则共有种；（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有2类：2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球，共有种；（3）从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：4个白球1个黑球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球，共有种.18．在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列.(1)求的值；(2)求展开式中所有的有理项.【答案】(1)7(2)； 【分析】（1）根据条件求接建立等式，再利用组合数公式即可求出结果；（2）利用二项展开式的通项公式，通过的取值即可得到结果.【详解】（1）因为展开式中第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，所以，得到，整理得，即，又因为，，所以的值为7.（2）当时，展开式的第项为，其中，，当，即，时，得到展开式中的有理项，当时，，当时，，所以展开式中所有的有理项为，.19．甲、乙、丙、丁4位志愿者被安排到，，三所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教.(1)不同的安排方法共有多少种？(2)求甲乙志愿者被同时安排到同一个学校的概率.(3)求在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两位志愿者的概率.【答案】(1)36(2)(3) 【分析】（1）先把甲、乙、丙、丁 4人被分成2,1,1三组，再进行全排列即可；（2）甲乙志愿者被同时安排到同一个学校共有办法，再除以安排方法的总数可得概率；（3）先求出甲志愿者被安排到学校支教的方法数，在其中找到学校有两位志愿者的方法数，求其概率即可.【详解】（1）先把甲、乙、丙、丁 4人被分成2,1,1三组，先选2人为一组，其余2人各自一组，则有种办法，再进行3个的全排列即可， 根据分步乘法计数原理则共有种方法.（2）甲乙志愿者被同时安排到同一个学校，共有种方法，其余两人有种方法，则以上共有种办法，由（1）知甲、乙、丙、丁4位志愿者被安排到，，三所山区学校参加支教总共有36种方法.则所求概率为.（3）甲志愿者被安排到学校支教，若学校只有一个人，则需要把剩余3人分成两组，两组人员再分配到两所学校，则有种安排方法；若学校有两个人，则需要从剩余3人选出1人去学校，另外2人去剩余的两所学校，共有种安排方法.甲志愿者被安排到学校支教的方法数，在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两位志愿者的概率为.20．已知函数，(1)设，若函数在区间上不单调，求实数的取值范围；(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用导数求得函数的极值点，根据题意列出不等式，即得答案；（2）将，变为，由此构造函数，利用导数求出其最值，结合解不等式，即可求得答案.【详解】（1）∵，则，，当时，，当时，.∴在上单调递增，在上递减,∴函数在处取得极大值,因为函数在区间上不单调，所以函数在存在极值，∴，解得.（2）时，不等式，即为，记，∴，令，则，∵，∴.∴在上单调递增，∴，，∴在上递增，所以在上的最小值为,∴，解得.【点睛】方法点睛：证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.21．某生态旅游景区升级改造，有一块半圆形土地打算种植花草供人游玩欣赏，如图所示，其中长为，，两点在半圆弧上，满足，设为圆心，.若在和内种满向日葵，在扇形内种满薰衣草，已知向日葵利润是每平方千米元，薰衣草的利润是每平方千米元.(1)试用表示总利润；(2)试确定的值，使得总利润最大？【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由已知可求得，.进而根据三角形以及扇形的面积公式，即可得出答案；（2）令，根据导函数得出函数的单调性，进而求出函数的极值以及最值，即可得出答案.【详解】（1）由已知，所以，所以，所以.又扇形的半径，所以，，，，所以总利润，.（2）令，所以，因为，所以，所以由得，，所以.当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.所以，在处取得极大值，也是最大值.所以，当时，总利润最大，最大值为.22．已知函数.(1)若函数在定义域内单调递增，求实数的范围；(2)若实数，求的单调递增区间；(3)若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)答案见解析(3) 【分析】（1）根据函数在定义域内单调递增，则其导数在恒成立，解不等式可得答案.（2）求出的根，讨论m的取值范围，结合不等式的解集，即可求得答案.（3）由题意可得，进而参变分离，构造函数，将不等式恒成立问题转化为函数的单调性或最值问题，利用导数即可求解.【详解】（1）的定义域为，求导得，函数在定义域内单调递增，故在恒成立，所以恒成立，则，即.（2）令，得，，若时，，方程的两根为，，当时，，，则时，，故在单调递增；当时，，则或时，，故在和上单调递增，综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，.（3）由上可知有两个极值点时，等价于方程有两个不等正根，∴，∴，，，此时不等式恒成立，等价于对恒成立，可化为恒成立，令，，则，∵，∴，，∴在恒成立，∴在上单调递减，∴，∴，故实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题，一般方法是分离参数，然后构造函数，转化为函数的最值问题解决，另外有时当参变量不好分离时也可以尝试变形进而构造恰当的函数，利用导数求解函数单调性或最值加以解决.