2022-2023学年陕西省汉中市兴华学校与镇巴中学联考高二下学期期中数学（文）试题含解析

2022-2023学年陕西省汉中市兴华学校与镇巴中学联考高二下学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为2：3：5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出100件进行测试，则应该抽取的A型号产品的件数为（    ）

A．20 B．30 C．50 D．80

【答案】A

【分析】根据分层抽样的性质求出抽样比，然后求解即可.

【详解】某工厂生产的A，B，C三种不同型号产品的数量之比为，则A被抽的抽样比为，所以抽出100件产品中A型号产品的件数为，

故选：A

2．观察下列各式：，，，，，…，则（    ）

A．47 B．76 C．121 D．123

【答案】A

【分析】根据题目信息可得，数列呈现出从第三项起，后一项等于前两项的和的规律，逐项计算即可得.

【详解】根据题目各式规律可知，从第三项开始后一项等于前两项的和，

所以可得；

；

，即可得.

故选：A

3．用反证法证明命题“设，为实数，则方程至少有两个实根”时，要做的假设是（    ）

A．方程没有实根 B．方程恰好有两个实根

C．方程至多有两个实根 D．方程至多有一个实根

【答案】D

【分析】依据反证法的要求，即至少有两个的反面是至多有一个，即可得出结论．

【详解】方程至少有两个实根的反面是方程至多有一个实根，

因此，用反证法证明命题：“设、为实数，则方程至少有两个实根”时，

要做的假设是“方程至多有一个实根”.

故选：D.

4．在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用几何概型的概率公式求解即可.

【详解】由题意可知全部结果构成的区间长度为，

构成取到的数小于的区间长度为，

所以取到的数小于的概率为，

故选：A

5．函数的单调增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求定义域,再对函数求导,令导函数大于零,解出不等式解集即可.

【详解】解:由题知,定义域为,

所以,

令,解得,

所以的单调增区间为:.

故选:C

6．“”是“方程表示焦点在x轴上椭圆”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】先根据方程表示焦点在x轴上的椭圆求出的取值范围，再根据充分必要条件的定义即可求解.

【详解】解：∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，

，

解得：，

“”是“方程表示焦点在x轴上椭圆”的必要不充分条件.

故选：C.

7．已知圆，则过点的最短弦所在直线的方程是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题可知，当直线l与直线垂直时，所截得弦长最短，再由点斜式确定直线l的方程.

【详解】由题可知，当直线l与直线垂直时，所截得弦长最短，

P(1,2)，圆C：x2＋y2－4x－5＝0，标准方程为，

，；

；

由点斜式得直线l方程为：，即.

故选D.

【点睛】本题考查求解直线方程的点斜式法，考查直线与圆的位置关系和圆的弦长变化规律，以及互相垂直的两直线斜率关系，考查用几何法解决直线与圆的综合问题的能力.

8．已知椭圆：的右焦点为，左顶点为，若上的点满足轴，，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意构建方程，进而转化为的齐次式，从而得到结果.

【详解】∵，

∴

∴，即

∴.

故选：C

9．曲线y=在点（1，1）处的切线方程为

A．x-y-2=0 B．x+y-2=0 C．x+4y-5=0 D．x-4y-5=0

【答案】B

【详解】求导得斜率-1，代点检验即可选B.

，选B.

10．已知直线交椭圆于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（    ）

A．-2 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】设出A，B坐标，列出坐标所满足的方程，将两方程相减得到l的斜率与线段AB中点坐标的关系，由此求解出直线l的斜率.

【详解】设，，因为A，B都在椭圆上，

所以，两式相减，得，

得，

又因为线段AB中点坐标为，，，

所以，

故选：D.

11．设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ）个.

（1）函数一定有三个零点    

（2）函数一定有三个极值点    

（3）函数有最小值

（4）函数有最大值           

（5）函数图像一定经过坐标原点

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】利用导函数图象的正负即可判断原函数的单调性，可得分别是函数的三个极值点，且最小值为中的较小者，无最大值；原函数图象与轴的位置关系无法确定，也不一定过原点，即可得出正确选项.

【详解】根据导函数的函数图象可知，

当时，，所以函数在上单调递减，

当时，，所以函数在上单调递增，

当时，，所以函数在上单调递减，

当时，，所以函数在上单调递增，

所以，分别是函数的极值点，因此（2）说法正确；

函数的图象可能都在轴上方，其零点个数可能是0个，即（1）说法错误；

图象也不一定过原点，即即（5）错误；

由单调性可知，和都是函数的极小值点，所以都是函数的极小值，

因此函数有最小值，且为中的较小者，无最大值，所以（3）正确，（4）错误；

综上可得，只有（2）（3）说法正确.

故选：B

12．伦教奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线顶的一段近似看成离心率为的双曲线C：上支的一部分，点F是C的下焦点，若点P为C上支上的动点，则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（    ）

A．7 B．6 C．5 D．4

【答案】C

【分析】根据离心率求出双曲线方程，可得出焦点坐标及渐近线方程，再利用双曲线的定义转化为求，数形结合即可得出最小值．

【详解】依题意，双曲线的离心率为，

则，解得，

所以双曲线方程为，

则双曲线得下焦点为，上焦点，渐近线方程为，如图，

根据图形的对称性，不妨取渐近线为，即，

又点P为双曲线上支上的动点，则，

过点P作，垂足为Q，过点作，垂足为M，

则，

所以与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为．

故选：C．

二、填空题

13．抛物线的准线方程为______.

【答案】

【详解】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是

【解析】抛物线方程

14．已知函数，则函数在处的切线方程是____________．

【答案】

【分析】求导，利用导数值求解斜率，再利用点斜式求解即可．

【详解】由，则，

所以，，

所以函数在处的切线方程为，即

故答案为：．

15．求过点且与圆相切的直线方程为______.

【答案】x＝4或3x+4y＝0

【分析】先考虑直线的斜率是否存在，然后结合点到直线的距离公式即可求解.

【详解】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y+3＝k（x－4），即kx－y－4k－3＝0，

由题意得，

解得k＝，此时直线方程为3x+4y＝0，

当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4

此时圆心 到直线x＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意.

故答案为：x＝4或3x+4y＝0.

16．函数的对称中心为，且时，函数的最小值为m，则直线与曲线的交点的个数为______________个.

【答案】2

【分析】由函数的对称性与最值求,,分为当时，当时,当时,当时,四种情况考虑曲线与直线是否有交点即可求解.

【详解】因为函数的对称中心为,

所以函数的对称中心为.

所以，所以曲线方程为.

因为,所以，

所以，当且仅当时等号成立，

所以函数的最小值为9，即，

所以直线方程为.

①当时，曲线，即为，

与直线联立，可得，解得或.

故交点为和；

②当时，曲线，即为，

与直线联立，可得，解得（舍）；

③当时，曲线，即为，不存在；

④当时，曲线，即为，

与直线联立，可得，解得（舍）.

综上，与曲线的交点的个数为2.

故答案为:2.

三、解答题

17．已知函数，当时，有极大值3．

（1）求的值；

（2）求函数的极小值．

【答案】（1）；（2）0．

【分析】（1）由题意得，则可得到关于实数的方程组，求解方程组，即可求得的值；

（2）结合（1）中的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的极小值.

【详解】（1），当时，有极大值3，所以

，解得，

经检验，满足题意，所以；

（2）由（1）得，则，令，得或，

列表得

易知是函数的极小值点，所以当时，函数有极小值0．

【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的极值，考查了学生对极值概念的理解与运算求解能力.

18．已知直线与圆.

(1)若直线和圆无公共点，求m的取值范围；

(2)若直线和圆交于两点，且两个交点处的圆的半径互相垂直，求m的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离与半径的关系可解出范围；

（2）直线与圆相交，两交点与圆心构成等腰直角三角形，得出边长与圆心到直线距离的关系，列出等式出结果.

【详解】（1）由已知，得圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离

∵直线与圆无公共点，

，即，解得或，

故m的取值范围为

（2）若直线和圆交于两点，两点，如图所示，

两条半径、互相垂直，几何关系可知为等腰直角三角形，设到直线的距离为，

，即，解得

19．随着新课程新高考改革的推进，越来越多的普通高中认识到了生涯规划教育对学生发展的重要性，生涯规划知识大赛可以鼓励学生树立正确的学习观、生活观，某校高一年级1200名学生参加生涯规划知识大赛初赛，学校将初赛成绩分成6组：，，，，，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，成绩大于等于80分评为“优秀”等级.

(1)求a的值；

(2)在评为“优秀”等级的学生中采用分层抽样抽取6人，再从6人中随机抽取3人进行下一步的能力测试，求这3人中恰有1人成绩在的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由频率分布直方图矩形面积之和为1计算可得；

（2）易知采用分层抽样的方式，成绩在的应抽取5人，在的应抽取1人，列举出所有的基本事件数，再找出符合条件的基本事件数即可求得其概率为

【详解】（1）根据频率分布直方图矩形面积代表对应区间的概率可得面积之和为1，

所以，解得；

即a的值为.

（2）由图可知，成绩在和的频率之比为，

所以，采用分层抽样抽取6人，则成绩在的应抽取5人，在的应抽取1人，

分别设为和，

则再从6人中随机抽取3人得基本事件数为：

共20种，

其中这3人中恰有1人成绩在的基本事件为：

共10种，

故所求概率为.

20．某药厂为了了解某新药的销售情况，将今年2至6月份的销售额整理得到如下图表：

（1）根据2至6月份的数据，求出每月的销售额关于月份的线性回归方程；

（2）根据所求线性回归方程预测该药厂今年第三季度（7,8,9月份）这种新药的销售总额.

（参考公式：，）

【答案】（1）； （2）万元.

【分析】(1)先计算出，，代入公式求出，结合线性回归方程的表达式求出结果

(2)由线性回归方程计算出、、时的值，然后计算出结果

【详解】（1）由题意得：，，

，

，

故每月的销售额关于月份的线性回归方程.

（2）因为每月的销售额关于月份的线性回归方程，

所以当时，；

当时，；

当时，，

则该药企今年第三季度这种新药的销售总额预计为万元.

【点睛】本题考查了线性回归方程的实际应用，结合公式求出回归方程是本题关键，较为基础

21．已知曲线上任意一点到点的距离比它到直线的距离大1.

(1)求曲线的方程；

(2)若直线与曲线交于，两点，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设动点，根据动点到点的距离比它到直线的距离大，可得动点到点的距离等于它到直线的距离，由此建立方程，即可求得曲线的方程；

（2）设、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而得证.

【详解】（1）设动点，动点到点的距离比它到直线的距离大，

即动点到点的距离等于它到直线的距离，

，两边平方，

化简可得.

（2）设、，由，消去得，

则，所以，，

所以，

所以，即.

22．已知.

（1）求的单调增区间；

（2）若在定义域内单调递增，求的取值范围

【答案】（1）当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(ln a，＋∞)．（2）(－∞，0]．

【分析】（1）对f(x)求导得，解可得单调增区间，解不等式过程中要对进行讨论；(2) 在R上单调递增，则在R上恒成立 ,即恒成立,即,求出的最小值即可.

【详解】（1）

若，则，此时的单调增区间为

若，令，得

此时的单调增区间为

（2）在R上单调递增，则在R上恒成立

即恒成立

即，因为当时，

所以