2022-2023学年上海市育才中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市育才中学高二下学期期中数学试题

一、填空题

1．写出直线的一个法向量是_____________

【答案】（答案不唯一）

【分析】直接根据直线法向量的定义得到答案.

【详解】直线的一个法向量是.

故答案为：

2．函数的驻点是____________

【答案】

【分析】依据驻点的定义计算求解.

【详解】令，解得.

故答案为：.

3．已知过点和的直线与直线平行，则的值为________.

【答案】-8

【分析】直线AB与直线平行，即斜率相等，由斜率公式即可得到m的值.

【详解】∵直线2x+y-1＝0的斜率等于﹣2，

∴过点和的直线的斜率也是﹣2，

由斜率公式得，解得m＝﹣8，

故答案为-8．

【点睛】本题考查两条直线平行的条件，考查斜率公式，属基础题.

4．三层书架，分别放置科技书籍12本，经济类书籍14本，建筑类书籍11本，从中取2本书，且各类只能选1本，有_____________种不同选法

【答案】

【分析】分为三类：科技书和经济书，科技书和建筑书，经济书和建筑书，计算得到答案.

【详解】分为三类：科技书和经济书，科技书和建筑书，经济书和建筑书.

则共有.

故答案为：

5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________．

【答案】8

【分析】先确定抛物线中，焦点F(1，0)，再利用定义计算，即得结果.

【详解】抛物线y2＝4x中，，焦点F(1，0)，而直线AB过焦点F(1，0)，

故根据抛物线定义可知.

故答案为：8.

6．已知函数，则的值为______．

【答案】

【分析】将作为常量对求导，得到导函数，再将作为未知量求解即可.

【详解】由解析式知：，

∴，解得.

故答案为：.

7．双曲线的渐近线与圆相切，则=_____

【答案】

【分析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出．

【详解】解：双曲线的渐近线方程为，即，

圆心到直线的距离，

．

故答案为．

【点睛】本题考查双曲线的性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式．解答的关键是利用圆心到切线的距离等于半径来判断直线与圆的位置关系．

8．已知函数在处的切线斜率为，且，则____________

【答案】

【分析】根据计算得到答案.

【详解】，则.

故答案为：

9．已知动圆P过定点，且在定圆的内部与其相内切，则动圆P的圆心的轨迹方程为____________________.

【答案】

【分析】设切点为，根据题意，列出点满足的关系式即．则点的轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程求点的轨迹方程．

【详解】解：设动圆和定圆内切于点，

动点到定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，

即，

点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4的椭圆，

，

点的轨迹方程为，

故答案：．

10．已知上的可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为_____________

【答案】

【分析】根据图像得到当时，，当时，， 时，，代入计算得到答案.

【详解】根据图像：

当时，，，即，故；

当时，，，即，故；

当时，，，即，故；

综上所述：.

故答案为：

11．当直线和曲线没有公共点，则实数b的取值范围为______________

【答案】或

【分析】数形结合，根据直线与圆的位置关系求解.

【详解】由的为如图所示的半圆，

当直线与半圆相切时，

解得或（舍），

要使直线与曲线没有公共点，

则或，

故答案为: 或.

12．过点任意作一条直线分别交轴、轴的正半轴于点，若恒成立，则的最小值为________

【答案】

【解析】根据切线长相等，将问题转化为内切圆半径的最大值的求解问题；由图形关系可知为切点时内切圆半径最大，由此构造方程求得，进而得到结果.

【详解】作的内切圆，设其半径为，则，

由知：.

若不是切点，则，当为切点时，取得最大值.

设，则，整理得：，

解得：或，

当时，圆不是的内切圆，不合题意，，即，

，即的最小值为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够利用转化与化归思想，将问题转化为内切圆半径的最大值的求解问题，进而通过图形关系确定半径取最大值时需满足的条件，构造方程求得结果.

二、单选题

13．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（    ）

A．10种 B．20种 C．25种 D．32种

【答案】D

【分析】由分步乘法原理计算．

【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.

故选：D

14．若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有（ ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】C

【详解】解：当直线斜率存在时，设直线L：y=k（x-3），代入双曲线方程化简得（4-9k2）x2+54k2x-81k2-36=0

要使L与双曲线只有一个公共点，需上述方程只有一根或两实根相等，

∴4-9k2=0，或△=0（不成立），解得k=±

当直线斜率不存在时，直线为x=3，此时与双曲线也只有一个公共点，

故这样的直线有3条，

故选C

15．设函数的导函数图像如下图所示，则函数的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由导函数的正负与函数的单调性的关系判断，再通过的根，从而确定答案．

【详解】由导函数的图像可知，函数，先减再增, 再减再增，可排除选项；

又知的根为, 单调递增，

单调递减,且为极大值点，所以可排除选项.

故选:D.

16．已知曲线C的方程是，给出下列四个结论：

①曲线C与两坐标轴有公共点；

②曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形；

③若点P，Q都在曲线C上，则的最大值是；

④曲线C围成图形的面积大小在区间内．

所有正确结论的序号是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．②④

【答案】C

【分析】画出函数图像，根据图像得到①错误，②正确，的最大值是相对的两圆心的距离加上两个半径，计算得到③正确，计算得到，④错误，得到答案.

【详解】当，时，；

当，时，；

当，时，；

当，时，；

圆半径，画出图像，如图所示：

对①：曲线C与两坐标轴没有公共点，错误；

对②：曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形，正确；

对③：点P，Q都在曲线C上，则的最大值是相对的两圆心的距离加上两个半径，即，正确；

对④：与轴的一个交点分别为，，中，，故，，

故，，，错误.

故选：C

三、解答题

17．求下列函数的导数：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】直接利用求导公式计算得到答案.

【详解】（1），

（2），.

18．已知直线和，

(1)求与l1与l2距离相同的点的轨迹；

(2)过l1与l2交点作一条直线l，使它夹在两平行线与之间的线段长为，求直线l的方程．

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）设点满足到两直线的距离相等，则，化简得到答案.

（2）计算直线交点为，排除直线斜率不存在的情况，设直线方程为，计算交点坐标，根据两点间距离公式计算得到答案.

【详解】（1）设点满足到两直线的距离相等，则，

即，

即，，

或，，

（2），解得，故直线交点为，

当直线的斜率不存在时，线段长度为，不满足；

故设直线方程为，

，解得，即交点，

，解得，即交点，

，整理得到，

解得或，

故直线方程为：

，即，或，即.

19．.已知点，，动点满足条件.记动点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据双曲线的定义可知轨迹为双曲线的右支，从而可得轨迹方程；（2）当直线斜率不存在时，可求得；当直线斜率存在时，假设直线方程，代入可整理得到一元二次方程；根据有两个正实根可构造出不等式组，求得斜率；将利用坐标运算表示为符合韦达定理的形式，代入整理后，结合可求得；综合两种情况可得所求最小值.

【详解】（1）

由双曲线定义可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支

，，

的方程为：

（2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为：

此时，    

②当直线斜率存在时，设直线方程为：

代入双曲线方程可得：

可知上式有两个不等的正实数根    

解得：

由得：

综上所述，的最小值为

【点睛】本题考查根据双曲线的定义求解双曲线方程、直线与双曲线综合应用中的最值问题的求解；易错点是忽略双曲线仅为右半支的情况，导致求解错误；求解最值问题的关键是能够将所求式子通过韦达定理来进行表示，利用韦达定理代入变为关于斜率的函数，从而结合斜率的范围求得最值.

20．设，已知函数．

(1)若，求实数a的值；

(2)求函数的单调区间；

(3)对于函数的极值点，存在，使得，试问对任意的正数a，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)递增区间是，，递减区间是；

(3)是定值，为6.

【分析】（1）求出函数的导数，再由给定导数值求出a值作答.

（2）探讨导函数大于0或小于0的不等式的解集即可作答.

（3）求出极值点，再根据给定等式求出，代入计算判断作答.

【详解】（1）由，，求导得，则由，解得，

所以实数a的值是.

（2），由，解得或，

当或时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以函数单调递增区间是，，递减区间是.

（3）因为函数存在极值点，由（2）知：，且，

因为，，又，

得，即，

因为，则，

依题意，，即，

因此，即，

亦即，而，因此，

所以对任意的正数a，为定值6.

【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

21．如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点.若点分别为曲线的圆心.

(1)求的方程；

(2)若点分别在上运动，求的最大值，并求出此时点的坐标；

(3)若点在曲线上运动，点，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)最大值为6，，

(3)

【分析】（1）由圆心的横坐标确定的值，再用可得方程；

（2）将运用几何法放缩到过两个半圆的圆心时最大，再根据特殊三角形的角度计算出点的坐标；

（3）需要分情况讨论，在圆上和在椭圆上分开计算，计算圆锥曲线上一点到某定点的最值问题可以用参数方程计算.

【详解】（1）依题意，，所以，

于是的方程为

（2）由对称性，不妨设，，

，

当三点共线，同时三点共线，，

此时，.

（3）曲线关于轴对称，不妨设点在曲线

或曲线的右半部分上运动.

①当点在曲线上运动，

设，.

，

；

②当点在曲线上运动，

设，.

，

，

综合①②，.

【点睛】圆锥曲线的组合曲线的问题，一般都需要采用分类讨论的方法，与圆有关系的问题一般都考虑几何法优先.