2022-2023学年辽宁省朝阳市北票市高级中学高二下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省朝阳市北票市高级中学高二下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解一元二次不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答.

【详解】因为，，且，所以.

故选：D

2．在复平面内，复数z对应的点为，则（    ）

A．1 B．i C．－i D．

【答案】B

【分析】根据复数的几何意义可得，根据复数除法运算即可求解.

【详解】由题意可得，故，

故选：B.

3．已知向量，，，则（    ）.

A． B． C．6 D．－6

【答案】A

【分析】根据平面向量的数量积的坐标运算，由可知，代入坐标运算即可求解．

【详解】由得，即，所以，

故选：A．

4．“”是“函数的最小值大于4”的（    ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可．

【详解】解：若，则的最小值为；

若的最小值大于4，则，且，则，

故选：C．

5．设曲线在点处的切线与直线垂直，则a等于（    ）

A． B． C．1 D．－1

【答案】A

【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义并结合垂直的条件，列式求解作答.

【详解】函数，求导得，则曲线在点处的切线斜率，

又该切线与直线垂直，因此，解得，

所以.

故选：A

6．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，利用导数确定其单调性，由单调性比较大小可得．

【详解】设，则，时，，是减函数，

又，所以，即，

故选：D．

7．以双曲线C：的实轴与虚轴端点为顶点的四边形各边中点恰在双曲线的渐近线上，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据中点公式可得在直线上，即可代入求解.

【详解】由题意可得实轴的顶点为虚轴的顶点为，故4个中点为，

双曲线的渐近线为，

因此不妨考虑点在直线上，

所以，，

双曲线C的离心率，

故选：A.

8．已知定义在R上的函数满足，，且，则（    ）

A．2023 B．－2023 C．4046 D．－4046

【答案】B

【分析】利用函数的奇偶性和周期性即可求解.

【详解】因为，所以为奇函数，即，

又因为，所以，即，所以，所以函数的周期为，

因为，则，

故选：B.

二、多选题

9．端午节与春节、清明节、中秋节并称中国四大传统节日，吃粽子是端午节习俗，其节日形象早已深入人心.下图为年中国“世代”（指出生年代在年年之间的一代人）群体与白领群体偏爱的粽子包装风格柱形图：

根据该图，下列说法正确的是（    ）

A．“世代”群体与白领群体偏爱简约风格的粽子包装的占比都超过

B．白领群体同时偏爱简约风格与中国风的粽子包装的占比低于

C．“世代”群体偏爱其他风格的占比是白领群体偏爱其他风格的占比的倍以上

D．“世代”群体偏爱二次元风的占比超过白领群体偏爱二次元风的占比

【答案】ACD

【分析】根据条形统计图逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】“世代”群体与白领群体偏爱简约风格的粽子包装的占比分别为、，都超过，A正确；

对于偏爱其他风格的比例，“世代”群体占比，白领群体占比，C正确；

“世代”群体偏爱二次元风占比，白领群体偏爱二次元风占比，D正确；

白领群体同时偏爱简约风格与中国风的粽子包装的占比约为，B错误，

故选：ACD.

10．已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则直线的方程可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】将圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，转化为圆心到直线的距离，根据圆心到直线距离公式计算即可.

【详解】由题知，圆，圆心为，半径为，

因为圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，

所以圆心到直线的距离，

对于A，圆心为到直线的距离，故A错误；

对于B，圆心为到直线的距离，故B正确；

对于C，圆心为到直线的距离，故C正确；

对于D，圆心为到直线的距离，故D正确；

故选：BCD

11．定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的可能取值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】由定义运算结合辅助角公式，得函数解析式，再求平移后的函数解析式，由此函数为偶函数，求出ω的值，对照选项进行判断.

【详解】将函数的图像向左平移个单位，

可得的图像，再根据所得图像对应的函数为偶函数，

可得，求得，令，可得；令，求得.

故选：BC.

12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数存在两个不同的零点

B．函数既存在极大值又存在极小值

C．当时，方程有且只有两个实根

D．若时，，则的最小值为

【答案】ABC

【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．

【详解】对于A．，解得，所以A正确；

对于B．，

当时，，当时，或，

所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，

所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．

对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；

对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．

故选：ABC.

【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．

三、填空题

13．若服从正态分布，且，则的值为______.

【答案】8

【分析】由正态分布知和关于对称.

【详解】由题意知，解得.

故答案为：8.

14．某学校举办班主任经验交流会，共有五名老师参加演讲，在安排出场顺序时，甲、乙两人需要排在一起，这样出场顺序一共有______种.（用数字作答）

【答案】48

【分析】根据相邻问题捆绑法即可求解.

【详解】将甲乙两个人看作是一个整体，与另外三个人全排列，即，

故答案为：48

15．过椭圆C：上一点作直线与椭圆C交于另一点，以PQ为直径的圆过点，，则______.

【答案】或

【分析】根据椭圆的对称性以及圆的性质可分圆心为原点O和圆心在y轴上两种情况，即可由点点距离以及对称求解.

【详解】以PQ为直径的圆过，，则线段MN的垂直平分线过圆心，即直径PQ的中点在y轴上，

当圆心为原点O，所以，，.

当圆心在y轴上且不在原点处时,由椭圆的对称性可知圆心为,由符合要求

故

故答案为：或

16．已知四棱锥的外接球O的表面积为，平面ABCD，且底面ABCD为矩形，，设点M在球O的表面上运动，则四棱锥体积的最大值为______.

【答案】48

【分析】由球的表面积求出半径，将四棱锥补成长方体，长、宽、高分别设为a、b、c，则，可得矩形ABCD面积的最大值，再求出四棱锥高的最大值，得到体积的最大值.

【详解】球O的表面积为，则半径，将四棱锥补成长方体，长、宽、高分别设为a、b、c，

则，且，∴，∴，当且仅当时取等号.

矩形ABCD面积的最大值为，

要使四棱锥的体积最大，只需点M为平面ABCD的中心与球心O所在的直线与球的其中一个离平面ABCD较远的交点，，，

可求得体积最大值为.

故答案为：48

四、解答题

17．如图，在中，已知，是边上的一点，，，.

（1）求的面积；

（2）求边的长.

【答案】（1）；（2）

【详解】分析：（1）在中，根据余弦定理求得，然后根据三角形的面积公式可得所求．（2）在中由正弦定理可得的长．

详解：（1）在中，由余弦定理得

，

∵为三角形的内角，

，    

 ，

 ．

（2）在中，，

由正弦定理得：

∴．

点睛：解三角形时首先要确定所要解的的三角形，在求解时要根据条件中的数据判断使用正弦定理还是余弦定理以及变形的方向，另外求解时注意三角形内角和定理等知识的灵活应用．

18．在公比为2的等比数列中，，，成等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等差数列的性质进行求解即可；

（2）运用错位相减法进行求解即可.

【详解】（1）因为成等差数列，

所以，

因此；

（2）由（1）可知：，

所以，则，

所以①，

②，

①-②得，，化简得，解得，

19．如图所示，⊥平面，四边形为矩形，，.

(1)求证：∥平面；

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由面面平行判断定理证平面BFC平面ADE，再证∥平面即可；

（2）建立空间直角坐标系如图，由向量法即可求

【详解】（1）证明：四边形为矩形，∴，又，平面，平面ADE，故平面ADE，平面ADE，

又平面BFC，∴平面BFC平面ADE，

∵平面BFC，∴∥平面；

（2）建立空间直角坐标系如图，则，

设平面CDF的法向量为，则，取得，

平面的法向量为，设平面与平面所成锐二面角为，则，

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为

20．某公司计划对A产品进行定价，前期针对A产品的售价以及相应的市场份额进行调研，所得数据如下表（1）所示.根据前期的销售情况，公司征求了所有员工对产品定价的看法，所得数据如表（2）所示

表（一）

表（2）

(1)根据表（1）数据建立A产品所占市场份额y与定价x之间的回归直线方程（回归直线方程的斜率和截距均保留两位有效数字）；

(2)根据表（2）中的数据，依据的独立性检验，能否认为产品定价的高低与员工的年龄具有相关性？

(3)若按照年龄进行分层抽样，从表（2）中认为定价应该超过3000元的员工中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记40岁以下员工的人数为X，求X的分布列以及数学期望.

参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

参考数据：

【答案】(1);

(2)有99%的把握认为产品定价与员工年龄有关;

(3)

【分析】（1）直接进行数据分析，套公式求出回归方程；（2）套公式计算，对着参数下结论；（3）利用古典概型的概率公式直接计算.

【详解】（1）由题意可得：，.

所以，

.

所以.

即回归直线方程为.

（2）由题意进行数据分析可得：

.

所以有99%的把握认为产品定价与员工年龄有关；

（3）进行分层抽样，年龄在40岁以上的有人，年龄在40岁以上的有人.

从这5人中随机抽取3人，恰有1人年龄在40岁以上的概率为

.

即从这5人中随机抽取3人，恰有1人年龄在40岁以上的概率为.

21．已知抛物线C：的焦点为F，过点的动直线l与C的交点为A，B.当直线l的斜率为1时，.

(1)求C的方程；

(2)C上是否存在定点P使得（其中，分别为直线PA，PB的斜率，且两点不重合）？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）联立直线与抛物线方程，设，，则有，结合抛物线焦点弦公式即可求出值；

（2）假设在C上存在定点满足题意，设直线l的方程为，将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，结合点在抛物线上计算，从而得到，利用因式分解结合方程恒成立即可求出的坐标.

【详解】（1）直线l的斜率为1时，直线l的方程为，由得，

设，，则.

由定义可知，，，所以，所以，此时，即点重合，

故C的方程为.

（2）假设在C上存在定点，使得.

当直线l的斜率不存在或斜率为0时，不合题意；

设直线l的方程为，与联立方程组，消去x并整理得，

考虑不重合的一般情况，由，得且.

设，，则，，

从而

，

即，整理得，此式恒成立，

所以，.

故在C上存在定点，使得.

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采取设线法，首先单独讨论斜率不存在和为0时不合题意，然后设直线l的方程为，再联立得到韦达定理式，对计算并整理直至将韦达定理式代入得，利用因式分解和方程恒成立即可得到的坐标.

22．已知函数.

(1)判断在上的单调性；

(2)若，求证：.

【答案】(1)在上是减函数，在上是增函数

(2)证明见解析

【分析】(1)先求的导数得到，设，再对求导，可得在上是增函数，则，即可求出单调性.(2)用导数法判断在上的单调性，从而得到在处有最大值，令，再用导数法求出在处的最大值为，即可证明结论.

【详解】（1）因为，

所以，

因为，设，则在上是增函数，

所以.

所以时，单调递减；

时，，单调递增，

所以在上是减函数，在上是增函数.

（2）证明：由(1)知，

因为，所以，

因为在上是增函数，且，，

所以存在，使得，即，

且时，，，递增，

时，，递减，

所以时.

设，则，

所以在上是增函数，.

即.