2022-2023学年广东省广州市天河区第八十九中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年广东省广州市天河区第八十九中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知是第二象限角，则点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】由是第二象限角，可得，即可得答案.

【详解】解：因为是第二象限角，所以，

所以在第三象限.

故选：C.

2．设，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量线性运算的坐标表示列式计算.

【详解】根据向量线性运算的坐标表示，得.

故选：A

3．已知为虚数单位，则（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用复数的除法化简可得结果.

【详解】，

故选：C.

4．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据诱导公式求解即可.

【详解】解：因为.

故选：D.

5．在中，若，，，则等于（    ）

A． B．或 C． D．或

【答案】D

【分析】利用正弦定理以及三角形内角的范围计算求解.

【详解】由正弦定理可得，，

化简得，

又因为，且，

所以或.

故选：D

6．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】B

【分析】根据三角函数平移变换原则直接判断即可.

【详解】，

只需将的图象向右平移个单位长度即可.

故选：B.

7．下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若与是单位向量，则

【答案】B

【分析】运用数量积的运算可判断A项、D项，对等式两边同时平方可判断B项，由零向量与任意向量共线可判断C项.

【详解】对于A项，∵，

∴，

又∵

∴或，故A项不成立；

对于B项，∵，

∴，即：，

∴，故B项正确；

对于C项，因为零向量与任意向量共线，例如：，，，则满足，，但不满足，故C项不成立；

对于D项，∵，，

∴，

又∵不确定，

∴的值不确定，故D项不成立.

故选：B.

8．已知菱形ABCD边长为2，∠B＝，点P满足＝λ，λ∈R，若·＝－3，则λ的值为(　　)

A．  B．－ C．  D．－

【答案】A

【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．

【详解】法一：由题意可得·＝2×2cos＝2，

·＝(＋)·(－)

＝(＋)·[(－)－]

＝(＋)·[(λ－1)·－]

＝(1－λ) 2－·＋(1－λ)··－2

＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4

＝－6λ＝－3，

∴λ＝，故选A.

法二：建立如图所示的平面直角坐标系，

则B(2,0)，C(1，)，D(－1，)．

令P(x,0)，由·＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.

∵＝λ，∴λ＝.故选A.

【点睛】1.已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．

设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.

2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.

二、多选题

9．设复数，（为虚数单位），则下列结论正确的为（    ）

A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限

C． D．

【答案】AD

【分析】根据复数的概念判断A；算出判断B；算出判断C；求出判断D.

【详解】对于A：，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A正确；

对于B：，其在复平面上对应的点为，在第四象限，B错误；

对于C：，则，C错误；

对于D：，则，D正确.

故选：AD

10．下列各式中，结果为零向量的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.

【详解】对于选项：，选项不正确；

对于选项： ，选项正确；

对于选项：，选项不正确；

对于选项：

选项正确.

故选：BD

【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.

11．下列等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用二倍角的余弦公式即可判断A；利用二倍角的正弦公式即可判断B；利用两角和的正弦公式即可判断C；利用两角差的正切公式即可判断D.

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确.

故选：ABD.

12．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知， ，且，则

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】利用正弦定理边化角，再结合余弦定理即可求解.

【详解】.

整理可得:

可得

为三角形内角,

故A正确，B错误.

解得 ,

由余弦定理得

解得, 故C错误，D正确.

故选: AD.

【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.

三、填空题

13．已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈.现在经过了1小时，则此时分针转过的角的弧度数是 _______．

【答案】

【解析】先明确1小时是60分钟，得到分针转过的角度，再算出弧度数.

【详解】因为1小时是60分钟，分针正好转过一周，

所以转过的角的弧度数是.

故答案为：

【点睛】本题主要考查弧度制，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

14．已知，若，则________.

【答案】

【分析】根据复数相等列式求解.

【详解】根据复数相等，列式得，

解得，所以.

故答案为：

15．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为___________.

【答案】

【分析】利用投影向量的定义化简即可求解.

【详解】解：由题意可知，

又因为，

所以在方向上的投影向量为.

故答案为：

16．如图，在平面四边形中，．若点为边上的动点，则的最小值为_________．

【答案】

【分析】设，根据条件找出，，且与的夹角为，与的夹角为，从而根据向量的加法法则和减法的定义写出，然后表示为关于的二次函数，通过求二次函数的最小值即可解决问题.

【详解】延长交于点，因为，所以，，

在中，，，所以，

在中，，，所以，

所以，不妨设，则，且与的夹角为，与的夹角为，

则

，

所以时，取最小值.

故答案为：.

四、解答题

17．已知复数.

(1)若在复平面中所对应的点在直线上，求的值；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）化间，得在复平面中所对应的点的坐标，代入直线计算即可；

（2）代入模长公式表示出，再利用二次函数的性质求解最值即可.

【详解】（1）解：化简得，

所以在复平面中所对应的点的坐标为：，

又因为此点在直线上，

所以，

解得；

（2）解：因为，

所以的取值范围为.

18．已知，均为锐角，，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】运用二倍角公式、同角三角函数平方关系、配凑角及差角公式求解即可.

【详解】（1）由题意知，，

（2）∵、为锐角，

∴，

又∵，，

∴，，

∴.

19．设x，，向量，，，且，．

(1)求x，y的值；

(2)求的值．

【答案】(1)，

(2)10

【分析】（1）根据向量垂直、平行的坐标表示即可求解；

（2）由（1）知，从而计算，再根据模长的坐标公式即可求解.

【详解】（1）若，

则，且，

得且.

（2）由（1）可知，，

则，

则.

20．已知，，．

（1）求的最小正周期及单调递减区间；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值．

【答案】（1）最小正周期为，单调减区间为；（2）最大值为3，最小值为0．

【分析】（1）利用向量的坐标运算化简，再利用整体的思想.

（2）根据（1）的结果及的范围求出的范围，从而计算出函数的最值.

【详解】解：，，

由

，

的最小正周期，

由，

得：，

的单调递减区间为，；

由可得：

当时，函数取得最小值为

当时，函数取得最大值为

故得函数在区间上的最大值为3，最小值为0．

21．由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，（m为长度单位）.陈某准备过点修建一条长椅（点，分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.

(1)求点到点的距离；

(2)为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值.

【答案】(1)；

(2)当时，面积取最小值.

【分析】（1）连接，在中，由余弦定理求解的值；（2）由三角形面积公式和，可推出，再结合基本不等式求解的最小值，从而求解出面积的最小值.

【详解】（1）连接，在中，因为，，，

所以，由余弦定理得，，

所以，即点到点的距离为.

（2）由，

，

，

化简得，当且仅当，

即时取等号，，

故当时，三角形面积最小，最小值为.

22．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．

(1)求证：；

(2)求的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)．

【分析】（1）先利用余弦定理化简已知条件可得，再利用正弦定理化边为角，即可证明（2）消元，将要求取值范围的代数式转化为，利用第一问得出的结论求出角的取值范围，从而得到的取值范围，最后应用对勾函数的单调性即可求解

【详解】（1）由余弦定理得，

∵，

∴

∴

∴，

由正弦定理得，

∴，

∴，

∵，∴，∴，∴

（2）由（1）得，

∴，

∵，又，∴，∴，

函数在上单调递减，在上单调递增

，

∴，

∴的取值范围为．