2022-2023学年广东省河源市龙川县第一中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年广东省河源市龙川县第一中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据交集和补集的概念，直接求解即可.

【详解】因为，，

所以，

又，

所以.

故选：A

2．已知，，若，则（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【分析】根据向量平行列方程，化简求得.

【详解】由于，所以.

故选：D

3．点在平面直角坐标系中位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】根据终边相同的角确定角度与弧度所在的象限，从而得，，即可知点在平面直角坐标系中的象限位置.

【详解】解：因为，，故2023°为第三象限角，故，

因为8与终边相同，又，故8是第二象限角，故，则点在第三象限.

故选：C.

4．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据奇偶性排除A和D，由排除B.

【详解】由图可知，的图象关于原点对称，是奇函数,，，

则函数，是偶函数，排除A和D．当时，恒成立，排除B.

故选：C．

5．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是     

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m的取值范围.

【详解】若不等式有解，即即可，

，，

则，

当且仅当，即，即时取等号，此时，，

即，

则由得，即，

得或，

即实数m的取值范围是，

故选D．

【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．

6．已知，关于该函数有下列四个说法：

①的最小正周期为；

②在上单调递增；

③当时，的取值范围为；

④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．

以上四个说法中，正确的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．

【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确；

令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；

由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．

故选：A．

7．设函数，若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据在上是减函数，于是可知对称轴，且的函数最小值大于的函数的最大值，联立方程可求解.

【详解】解：由题意得：

函数在上是减函数

在上单调递减，则

当时，

当时，

故，解得，所以的取值范围为

故选：B

8．已知为定义在上的奇函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（    ）

A． B．函数在定义域上是周期为的函数

C．直线与函数的图象有个交点 D．函数的值域为

【答案】A

【分析】首先时，函数变形为，再结合函数是奇函数，可计算求值，并判断选项B；根据条件，可判断和时，函数的值域，即可判断D；再结合条件，以及D选项，即可判断C.

【详解】函数是上的奇函数，，由题意可得，

当时，，，A选项正确；

当时，，则，，，

则函数不是上周期为的函数，B选项错误；

若为奇数时，，

若为偶数，则，即当时，，

当时，，若，且当时，，

，

当时，则，，

当时，，则，

所以，函数在上的值域为，

由奇函数的性质可知，函数在上的值域为，

由此可知，函数在上的值域为，D选项错误；

如下图所示：

由图象可知，当时，函数与函数的图象只有一个交点，

当或时，，此时，函数与函数没有交点，

则函数与函数有且只有一个交点，C选项错误.

故选：A.

二、多选题

9．下列命题中正确的有（    ）

A．，

B．，

C．若，则

D．圆心角为，弧长为的扇形面积为

【答案】ABD

【分析】利用三角函数的值符号与角的范围之间的关系可判断A选项；取可判断B选项；利用同角三角函数的平方关系可判断C选项；利用扇形的面积公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，，，A对；

对于B选项，当时，，则，B对；

对于C选项，若，则，C错；

对于D选项，设扇形的半径为，则，因此该扇形的面积为，D对.

故选：ABD.

10．下列说法错误的是（    ）

A．若，则存在唯一实数使得

B．两个非零向量，，若，则与共线且反向

C．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

D．在中，，则为等腰三角形

【答案】AC

【分析】若可判断A；将已知条件两边平方再进行数量积运算可判断B；求出的坐标，根据且与不共线求出的取值范围可判断C；取的中点，根据向量的线性运算可得可判断D，进而可得正确选项.

【详解】对于A：若满足，则实数不唯一，故选项A错误；

对于B：两个非零向量，，若，则，

所以，可得，，因为，所以，所以与共线且反向，故选项B正确；

对于C：已知，，所以，若与的夹角为锐角，则，解得：，当时，，此时与的夹角为，不符合题意，所以，所以的取值范围是，故选项C不正确；

对于D：在中，取的中点，由，得，故垂直平分，所以为等腰三角形，故选项D正确．

故选：AC．

11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中=2，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．在上的投影向量为

【答案】ACD

【分析】根据数量积的定义、向量的线性运算法则，向量模的定义以及投影向量的概念计算判断各选项．

【详解】，A正确；

由向量加法的平行四边形法则知是以为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，起点是，易知该平行四边形的对角线长不等于的二倍，即，而，因此B错误；

，C正确；

，

在上的投影为，又，

∴在上的投影向量为，D正确．

故选：ACD．

12．关于函数，下列结论正确的是（    ）

A．函数的最大值是2

B．函数在单调递减

C．函数的图像可以由函数y＝2sin2x+1的图像向右平移个单位得到

D．若方程在区间有两个实根，则

【答案】CD

【分析】把函数化成，再逐项分析、计算判断作答.

【详解】依题意，，

对于A，函数的最大值是3，A错误；

对于B，当时，，而正弦函数在上单调递增，

因此函数在单调递增，B错误；

对于C，因为，则函数的图像可以由函数y＝2sin2x+1的图像向右平移个单位得到，C正确；

对于D，当时，令，函数在上单调递增，

函数值从0增大到3，在上单调递减，函数值从3减小到，

方程在区间有两个实根，即方程在上有两个实根，则，D正确.

故选：CD

三、填空题

13．若角的终边过点，且，则___________.

【答案】

【分析】根据三角函数的定义即可直接求出的值.

【详解】因为角的终边过点，且，

所以，所以，所以解得.

故答案为：.

14．求函数的定义域为_________．

【答案】

【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式组，再利用正余弦函数的性质求解作答.

【详解】函数有意义，则，即，

解，得，

解，得，于是，

所以所求定义域为.

故答案为：

15．已知是奇函数，则__________写出一个值即可

【答案】(答案不唯一)

【分析】由为奇函数结合奇函数的性质列关系式求即可.

【详解】因为是奇函数，

所以，

所以，

所以，

所以，故可取，

故答案为：(答案不唯一).

16．定义在上函数满足且当时，，则使得在上恒成立的m的最小值是________．

【答案】8

【分析】根据给定条件，依次求出函数在上的最大值、最小值，再借助函数图象求解作答.

【详解】定义在上函数满足，当时，，，

当时，，，，

当时，，，，

当时，，，，

由得，，因此当时，恒成立，

观察图象知，，则有，所以m的最小值是8.

故答案为：8

【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系及给定区间上的解析式求解析式，在所求解析式的区间上任取变量，再变换到已知解析式的区间上是解题的关键.

四、解答题

17．已知 ，并且是第二象限角．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式计算作答.

（2）由（1）的结论，利用齐次式法计算作答.

【详解】（1）因为，且是第二象限角，则，

所以.

（2）由（1）知，，所以.

18．在平面直角坐标系中，已知，.

(1)若，求实数k的值；

(2)若，求实数t的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由向量的坐标运算公式得与坐标，再利用向量共线的坐标公式求解即可；

（2）先由向量的坐标运算公式求，再利用向量垂直的坐标公式求解即可.

【详解】（1）因为，，

所以，，

因为，

所以，解得.

（2），

因为，所以，

解得.

19．已知，，且．

(1)求的值；

(2)若，，且，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由向量垂直的坐标表示可求得，由，利用正余弦齐次式的求法可求得结果；

（2）利用同角三角函数关系可求得，根据，利用两角和差余弦公式可求得，结合范围可得结果.

【详解】（1）由得：，，

.

（2）由（1）知：，，，；

，，，又，；

，

又，.

20．已知函数的部分图象如图所示.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递减区间.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）直接利用函数的图象求出函数的关系式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用函数的图象的平移变化和伸缩变化的应用求出，再利用正弦函数的单调性得单调区间即可

【详解】（Ⅰ）由已知图象得

，则.

因为，

所以.

因为，，

所以.

所以．

（Ⅱ）由题可得：向左平移得y=2cosx,横坐标再缩短到原来的倍得

故

．

因为，

所以.

所以的单调递减区间为.

【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变化，函数的图象的平移变化和伸缩变化的应用，函数单调性，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

21．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（单位：m/s）.其中（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s.

参考数据：.

(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；

(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加500m/s，求在材料更新和技术改进前总质比最小整数值？

【答案】(1)

(2)45

【分析】（1）根据最大速度公式求得正确答案.

（2）根据火箭最大速度的要求列不等式，由此求得正确答案.

【详解】（1）当总质比为230时，，

即型火箭的最大速度为.

（2）型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以型火箭的喷流相对速度为，总质比为，

由题意得：

因为，所以，

所以在材料更新和技术改进前总质比最小整数值为45.

22．已知函数．

(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；

(2)解关于x的不等式；

(3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围．

【答案】(1)；

(2)答案见解析；

(3).

【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果；

（2），对，与分类讨论，可分别求得其解集

（3），通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围．

【详解】（1）根据题意，当，即时，，不合题意；

当，即时，

的解集为R，即的解集为R，

即，故时，或.

故 ．

（2），即，

即，

当，即时，解集为；

当，即时，，

，

解集为或；

当，即时，，

，

解集为．

综上所述：当时，解集为；

当时，解集为；当时，解集为或.

（3），即，

恒成立，

，

设则，

，

，当且仅当时取等号，

，当且仅当时取等号，

当时，，

．

【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题.