2022-2023学年河北省沧衡八校联盟高一下学期期中数学试题含解析

河北省沧衡八校联盟2022-2023学年高一下学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知向量，，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可.

【详解】因为，，所以.

故选：A.

2．已知复数，则的虚部为（    ）

A．1 B． C．6 D．

【答案】A

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出答案.

【详解】，

所以的虚部为1.

故选：A.

3．在中，，，则外接圆的半径为（    ）

A．2 B． C． D．4

【答案】D

【分析】根据内角和求出，再由正弦定理计算可得.

【详解】因为，所以，解得.

设外接圆的半径为，则，解得.

故选：D

4．已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】运用向量数量积运算即可求得结果.

【详解】设向量，的夹角为，

因为，，，

所以.

故选：B.

5．若的直观图如图所示，，，则顶点到轴的距离是（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】D

【分析】过点作轴交于点，求得，结合斜二测画法的规则，得到点到的距离即为，即可求解.

【详解】如图（1）所示，在的直观图中，过点作轴交于点，

又因为且，可得，

作出直角坐标系中，作出的图形，如图（2）所示，

根据斜二测画法的规则，可得轴，即点到的距离即为.

故选：D.

6．一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为，，，，的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论：

①直线与直线是异面直线；②直线与直线是异面直线；

③直线与直线MN共面；④直线与直线是异面直线.

其中正确结论的个数为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【分析】作出直观图，根据直线共面的判定与性质逐个判断即可.

【详解】根据展开图，复原几何体，如下图所示：

对②，因为F，M，N，Q分别为，，，的中点，所以，又，则，故F，N，A，B四点共面，故直线与直线是共面直线，①错误；

对②，E在过F，N，A，B四点的平面外，故直线与直线是异面直线，②正确；

对③，N，Q重合，故直线与直线共面，③正确；

对④，E在过F，N，A，B四点的平面外，故直线与直线是异面直线，④正确；

综上有②③④正确.

故选：B

7．灯罩的更新换代比较快，而且灯具大部分都是设计师精心设计，对于灯来说，不用将灯整个都换掉，只需要把灯具的外部灯罩进行替换就可以改变灯的风格.杰斯决定更换卧室内的两个灯罩来换换氛围，已知该灯罩呈圆台结构，上下底皆挖空，上底半径为10，下底半径为18，母线长为17，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计做工布料的浪费，则更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】运用圆台的侧面积公式计算即可.

【详解】由题意可得更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积.

故选：B.

8．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，确定，得到球半径，计算体积得到答案.

【详解】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，如图所示：

则，故，球的半径，

故体积为.

故选：D

二、多选题

9．已知向量，，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据向量平行得到，得到，再计算模长得到答案.

【详解】，则，即，即；

，所以.

故选：AC

10．在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程的两个根，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】运用韦达定理解得a、b的值，再运用余弦定理求得c的值，进而判断各个选项.

【详解】因为，所以.

又因为a，b是方程的两个根，

所以，解得：，

所以.

根据余弦定理可得，解得：或（舍去），

则.

故选：BCD.

11．已知点是所在平面内任一点，为的中点，，，且，则（    ）

A．是的外心 B．是的重心

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据平面向量的共线定理及运算法则结合三角形面积公式逐项判断即可得答案.

【详解】因为为的中点，，，所以，，，

因为，所以，如图，取中点为，中点为，连接

所以，所以所以三点共线，三点共线，又中点为，中点为，所以O是的重心，故A不正确，B正确；

则，

，故C，D正确.

故选：BCD.

12．在正方体中，分别为棱，，上的一点，且，是的中点，是棱上的动点，则（    ）

A．当时，平面

B．当时，平面

C．当时，存在点，使四点共面

D．当时，存在点，使，，三条直线交于同一点

【答案】BCD

【分析】利用图形，根据空间中点线面的位置关系逐一对各项进行判断即可得出结果.

【详解】对于A，当时，如图1，在取点，使,取中点,易知， 平面，故平面，所以选项A错误；

对于B，如图2，当时，分别为，，的中点，连接，，，， 易知四边形与均为平行四边形，则，，所以，则A，F，E，C四点共面，平面，所以选项B正确；

对于C，如图3，延长与的延长线交于点M，连接与的交点即为点I，则A，F，H，I四点共面，所以选项C正确；

对于D，如图4，连接并延长与的延长线交于点N，连接与的交点即为点I，则存在点I，使，，三条直线交于同一点N，所以选项D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．已知复数为纯虚数，则实数__________.

【答案】

【分析】运用纯虚数定义求解即可.

【详解】因为为纯虚数，所以，即.

故答案为：.

14．已知向量，向量，若，则__________.

【答案】

【分析】运用平面向量垂直及减法、数乘、数量积坐标运算即可.

【详解】因为，，

所以，解得.

故答案为：.

15．如图，在正六边形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，则_________．

【答案】/－0.5

【分析】由在向量上的投影向量公式计算即可.

【详解】设正六边形边长为1，则与的夹角为 ，

故在向量上的投影向量为，

所以.

故答案为：

16．广州国际金融中心大楼，简称“广州IFC”，又称“广州西塔”，位于广东省广州市，为地处天河中央商务区的一栋摩天大楼，东面珠江公园，南邻珠江和广州塔，西近广州大道，北望天河体育中心与白云山.小胜为测量其高度，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，其中，，三点共线且与广州国际金融中心大楼底部在同一水平高度，已知米，则广州国际金融中心大楼的高度为______米.

【答案】435

【分析】作出图形，设，由余弦定理求出和，利用可求得．

【详解】如图是塔底，显然与垂直，

，，，

设，则，，，

由余弦定理得，，

因为，，即，

所以，

即，解得．

故答案为：435.

四、解答题

17．据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.如图1，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图2，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米.求该蒙古包的侧面积.

【答案】平方米.

【分析】运用圆锥、圆柱的侧面积公式计算即可.

【详解】

由题意可知米，米，米，

则米.

圆锥的侧面积平方米，

圆柱的侧面积平方米，

所以该蒙古包的侧面积平方米.

18．已知复数z满足，.

(1)求；

(2)设，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）计算得到，，得到，计算模长得到答案.

（2）利用复数的计算得到，，，再根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】（1），，所以，，故.

（2），则，

，则，

，则，

所以，，.

19．在△ABC中，D为的中点，.

(1)设，，用，表示向量及向量，

(2)若，，且，求△ABC的周长.

【答案】(1)，

(2)18

【分析】（1）运用向量加法、减法及共线向量表示即可.

（2）运用向量数量积及余弦定理可求得结果.

【详解】（1）

因为D是的中点，，

则，

.

（2）由，，可得.

因为，，

所以，

在△ABC中由余弦定理，得：，

则，

所以△ABC的周长为.

20．已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，，且.

(1)求角C；

(2)若为的中线，且，求的面积.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）运用正弦定理角化边解方程即可.

（2）在中运用余弦定理求得CD的值，进而求得a的值，结合三角形面积公式求解即可.

【详解】（1）由题可得，

由正弦定理得，

则.

因为，

所以.

（2）

如图，在中，，

即，解得：或，

所以或.

①当时，，

②当时，，

故的面积为或.

21．如图，正方体的棱长为6，M是的中点，点N在棱上，且.

(1)作出过点D，M，N的平面截正方体所得的截面，写出作法；

(2)求（1）中所得截面的周长.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）如图所示，五边形即为所求截面，得到答案.

（2）根据相似得到各线段长度，再计算周长得到答案.

【详解】（1）如图所示，五边形即为所求截面.

作法如下：连接并延长交的延长线于点E，连接交于点F，

交的延长线于点H，连接交于点Q，连接，，

所以五边形即为所求截面.

（2）因为，所以，得.

因为，所以，得，

则，，所以，

，，

则截面的周长为.

22．如图，某巡逻艇在A处发现正东方向30海里的B处有一艘走私船正沿东偏北（）的方向直线行驶，巡逻艇立即以走私船2倍的速度沿东偏北（）的方向直线追去，并在F处拦截.若点F在警戒水域内（包含边界），则为安全拦截，否则为警戒拦截.已知B为的中点.

(1)若，求；

(2)若对任意的都可以通过调整的大小来实现安全拦截，求的最小值.

【答案】(1)

(2)20

【分析】（1）确定，根据正弦定理计算得到答案.

（2）设，则，确定，根据余弦定理得到，确定，利用二次函数性质计算最值得到答案.

【详解】（1）在中，由于巡逻艇速度是走私船速度的2倍，则，

由正弦定理可得，所以.

（2）设，则，则，即，

由余弦定理可得，所以，

如图所示，过F作交于Q，

则，

由题意得对任意恒成立，

则，当且仅当时，等号成立.

当警戒水域的宽的最小值为20海里时，才能满足对任意的都可以通过调整的大小来实现安全拦截.