2022-2023学年河南省南阳市高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年河南省南阳市高一下学期期中数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省南阳市高一下学期期中数学试题 一、单选题1．（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用诱导公式结合特殊角的三角函数值计算作答.【详解】.故选：D2．在中，内角的对边分别为，且，，则满足条件的三角形有（    ）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【答案】C【分析】根据与的大小判断可得.【详解】因为，，，所以，所以满足条件的三角形有2个.故选：C3．若为第三象限角且 ，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值.【详解】因为，则.故选：B.4．下列说法正确的是（    ）A．斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角B．若向量满足且同向，则C．若三点满足则三点共线D．将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为【答案】A【分析】根据象限角的概念判断A，利用向量的定义以及共线定理判断B,C，利用任意角的定义判断D.【详解】因为斜三角形的内角是锐角或钝角，且锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，所以A正确；因为两个向量不能比较大小，所以B错误；由可得，根据向量的共线定理可知，三点不共线，所以C错误；将钟表的分针拨快10分钟，则顺时针旋转了，所以分针转过的角的弧度数为，所以D错误，故选:A.5．将函数的图象沿轴向左平移 个单位后，得到的函数的图象关于原点对称，则的一个可能值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求平移后的函数解析式，然后根据对称性求解可得.【详解】将函数的图象沿轴向左平移 个单位后的函数为，因为的图像关于原点对称，所以，即，当时，.故选：C6．已知函数，的部分图象如图，则 （    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由图象可求得，.然后根据，结合的取值即可推出，根据，求出，即可得出.然后将代入，即可得出答案.【详解】由图象可知，，所以.由可得，，所以.又，所以，所以，所以.因为，所以，.又，所以，所以，所以，所以.故选：C.7．在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】以为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线所在直线方程为，设，得到，利用二次函数的性质即可求出其值域.【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，则，直线所在直线方程为，设，，则，，，当时，，当时，，故其取值范围为，故选：B.8．在锐角三角形ABC中，下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用，即，结合余弦函数的单调性可判断ABC，取特值可判断D.【详解】因为为锐角三角形，所以，所以，所以所以，故A正确；同理，，所以，故B错误；同上，，所以，故C错误；又时，，故D错误.故选：A 二、多选题9．下列四个命题为真命题的是（    ）A．若向量、、，满足，，则B．若向量，，则、可作为平面向量的一组基底C．若向量，，则在上的投影向量为D．若向量、满足，，，则【答案】BC【分析】取，可判断A选项；利用基底的概念可判断B选项；利用投影向量的概念可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.【详解】对于A选项，若且，，则、不一定共线，A错；对于B选项，若向量，，则，则、不共线，所以，、可作为平面向量的一组基底，B对；对于C选项，因为向量，，所以，在上的投影向量为，C对；对于D选项，因为向量、满足，，，则，D错.故选：BC.10．已知函数，则下面结论正确的是（    ）A．的对称轴为B．的最小正周期为C．的最大值为，最小值为D．在上单调递减【答案】ABC【分析】化简函数的解析式，作出函数的图象，逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为，当时，即当时，，即，此时，；当时，即当时，，即，此时，.所以，.作出函数的图象如下图中实线所示：对于A选项，由图可知，函数的图象关于直线、、对称，对任意的，，所以，函数的对称轴为，A对；对于B选项，对任意的，，结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，B对；对于C选项，由A选项可知，函数的对称轴为，且该函数的最小正周期为，要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，因为，，所以，，因此，的最大值为，最小值为，C对；对于D选项，由C选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，D错.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的基本性质，解题的关键在于化简函数解析式，结合函数的图象进行判断.11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ）A．若，则B．，，，则C．若为的内心，，则D．若为的重心，则 【答案】ACD【分析】利用“奔驰定理”可判断A选项；求出，结合“奔驰定理”可判断B选项；利用“奔驰定理”可得出的值，结合勾股定理可判断C选项；利用重心的几何性质结合“奔驰定理”可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，由“奔驰定理”可知，A对；对于B选项，由 ，，可知，又，所以，由可得，，，所以，B错；对于C选项，若为的内心，，则，又（为内切圆半径），所以，，故，C对；对于D选项，如下图所示，因为为的重心，延长交于点，则为的中点，所以，，，且，，所以，，由“奔驰定理”可得，D对.故选：ACD.12．已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（    ）A．的最小正周期是B．若，则C．若的图象与的图象重合，则满足条件的有且仅有1个D．若，则的取值范围是【答案】BCD【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围即可判断A；根据中心对称求值即可判断B；利用函数平移求出，再结合A选项即可判断C；结合已知单调区间得出范围后即可判断D．【详解】对于A，因为函数在区间上单调递减，所以，所以的最小正周期，即的最小正周期的最小值为，故A错误；对于B，由，则的图像关于点对称，所以，故B正确；对于C，由的图象与的图象重合，则为函数的周期或周期的倍数，所以，所以，再结合A选项知，所以，又，所以，所以，即满足条件的有且仅有1个，故C正确；对于D，由题意可知为单调递减区间的子集，所以，其中，解得，当时，，当时，，故的取值范围是，故D正确．故选：BCD．【点睛】思路点睛：本题考查正弦型函数的奇偶性、单调性、周期性等知识的综合应用；求解此类问题的基本思路是采用整体对应的方式，将看作一个整体，对应正弦函数的图象和性质来研究正弦型函数的性质． 三、填空题13．请写出终边落在射线上的一个角___________ (用弧度制表示).【答案】（满足即可，答案不唯一）【分析】写出射线上一点，根据三角函数的定义，可求得，进而即可求得答案.【详解】设的终边落在射线上，则为第一象限角，取上的一个点，根据三角函数的定义可得，，又为第一象限角，所以，取，可得.故答案为：.14．在平行四边形中，点为的中点，点在上，三点共线，若，则_______________.【答案】2【分析】由已知可推得，.结合图象及已知，用表示出以及.然后根据三点共线，得出，有.然后列出方程组，即可求出答案.【详解】取基底，由图可知，因为，所以，所以，显然.又是的中点，所以，所以.又，三点共线，所以，有，即.因为不共线，所以有，解得.故答案为：.15．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃.【答案】20.5/【分析】根据题意列出方程组，求出，A，求出年中12个月的平均气温与月份的关系，将x＝10代入求出10月份的平均气温值．【详解】据题意得 ， 解得 ， 所以 令 得 .故答案为：20.5 四、双空题16．为所在平面内一点，且满足|则点为的_________心.若,，，则  ___________【答案】     垂     【分析】由平面向量数量积的运算性质可得出，同理可得，，结合垂心的定义可得出结论；由平面向量数量积的运算性质可求出的值，再利用垂心的几何性质结合平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】因为，则，即，即，即，即，所以，，同理可得，，故点为的垂心，因为，即，因为，解得，因此，，解得，因此，.故答案为：垂；. 五、解答题17．已知向量，满足，.(1)若，求;(2)若与的夹角为，求.【答案】(1)或(2)2 【分析】（1）分为，方向相同，以及方向相反，分别计算，即可得出答案；（2）根据数量积的定义求出，然后根据数量积的运算律，展开即可得出答案.【详解】（1）若，方向相同，则；若，方向相反，则.（2）由已知可得，，所以.18．某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：   (1)请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；(2)若在上有两根，求的取值范围.【答案】(1)表格见解析， (2) 【分析】（1）根据表格数据可得A和周期，然后可得，带点可得；（2）令，将问题转化为在上有两个根，然后根据正弦函数的性质求解可得.【详解】（1）补充表格:由最大值为最小值为可知又，故再根据五点作图法，可得，得 故 (2)令，则所以=有两个根，转化为在上有两个根.即在上有两个根.由在的图像和性质可得：,所以故实数的取值范围为19．已知向量，．(1)求的取值范围；(2)求的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）依题意先求出，再结合的二次式即可求得的取值范围；（2）依题意先求出，再结合的二次式即可求得的最大值．【详解】（1）因为，所以，又，则，所以，所以．（2）因为，，则，所以当时，取得最大值，且最大值为．20．的内角，，的对边分别为，，.（1）求的三个角中最大角的大小；（2）秦九韶是我国古代最有成就的数学家之一，被美国著名科学史家萨顿赞誉“秦九韶是他那个民族，他那个时代，并且确实也是那个时代最伟大的数学家之一”.他的数学巨著《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是有世界意义的重要贡献；他提出的三斜求积术可以已知三边求三角形的面积.试用余弦定理推导该公式，并用该公式求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据大边对大角得到C为最大角，利用余弦定理求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用三角形面积公式，以及，且，从而证明结论的成立，代入、、即可求出三角形ABC面积．【详解】（1）∵、、∴角最大.由余弦定理得：，又角为内角，∴.（2）在中，∵，且∴，即证.当、、时，，即面积为.【点睛】此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题.21．已知的内角，，所对的边分别为，，．向量，，．(1)若，求证：为等腰三角形；(2)若，，求的面积．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据题意得到，再根据正弦定理可得到，进而即可证明结论；（2）根据题意化简整理可得到，再根据余弦定理即可得到，进而即可求得的面积．【详解】（1）因为，，且，所以，由正弦定理可得，所以，所以为等腰三角形．（2）因为，，且 ，所以，                               又，则，因为， ，则由余弦定理可得，解得，  所以的面积为．22．已知函数 请在下面的三个条件中任选两个解答问题.①函数的图像过点；②函数的图像关于点 对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为.(1)求函数的解析式；(2)当时，是否存在实数满足不等式？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在， 【分析】对于小问(1)，由图像过可以求的值，由函数相邻两个对称轴之间距离可以求的值，结合上述两个条件之一，再由函数的图像关于点对称可以求或的值.对于小问(2)，由轴对称的性质把不等式转化为进行求解.【详解】（1）选择①②:因为函数的图像过点，所以，解得，因为  所以因为函数的图像关于点对称，则 可得，因为，所以，所以.   选择①③:若函数的图像过点所以，解得，因为所以因为函数相邻两个对称轴之间距离为，所以，所以，解得：.所以.                  选择②③:因为函数相邻两个对称轴之间距离为，所以，所以，解得：. 若函数的图像关于点对称，则可得，因为  所以，所以.(2)当时，，令，则，记，则  因为在轴对称，所以，即，所以，即，解得：  所以实数的范围是：.