2021-2022学年福建省泉州市第九中学高一上学期第一次考试数学试题含解析

2021-2022学年福建省泉州市第九中学高一上学期第一次考试数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意结合交集的定义可得结果.

【详解】由交集的定义结合题意可得：.

故选：D.

2．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据交集、补集的定义可求.

【详解】由题设可得，故，

故选：B.

3．已知集合，，若，则的值是（    ）

A．-2 B．-1 C．0 D．1

【答案】B

【分析】根据集合N和并集，分别讨论a的值，再验证即可.

【详解】因为，若，经验证不满足题意；

若，经验证满足题意.

所以.

故选：B.

4．设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先求解不等式和，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】由得，

由，得，即，

；反之，不成立.

 “”是“”的必要不充分条件.

故选：B

5．有下列四个命题：①；②③若，则；④集合有两个元素；⑤集合是有限集.；其中正确命题的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据空集的概念和性质得到①正确，根据元素和集合的关系得到②正确；举出反例得到③错误；求出，得到④错误；求出，判断⑤正确.

【详解】①因为是任何集合的子集，所以，①正确；

②是的一个元素，故，②正确；

③若，满足，，故③错误；

④，集合有1个元素，故④错误；

⑤集合，故是有限集，⑤正确.

故选：C

6．下图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则不能表示阴影部分的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】根据韦恩图，分U为全集，B为全集，为全集时，讨论求解.

【详解】由图知：当U为全集时，阴影部分表示集合A的补集与集合B的交集，即

当B为全集时，阴影部分表示的补集，即

当为全集时，阴影部分表示A的补集，即

故选：C

7．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据命题是真命题，由，恒成立求解.

【详解】因为命题“，”是真命题，

所以，恒成立，

所以，

结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是，

故选：B

8．集合的所有三个元素的子集记为.记为集合中的最大元素，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题列举出所有的集合A的三元素子集，挑出最大值，求和即可.

【详解】由题知：，，，

，，，，

，，，

则

故选：C

二、多选题

9．下列各组对象能构成集合的是（    ）

A．全体较高的学生 B．所有素数

C．2021年高考数学难题 D．所有正方形

【答案】BD

【分析】AC不满足集合的确定性，BD满足集合的确定性.

【详解】A选项中“比较高”标准不明确，不符合确定性，不能构成集合，A错误；

B选项，所有素数满足确定性，能构成集合，B正确；

C选项，“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合，C错误；

D选项，所有正方形满足确定性，能构成集合，D正确

故选：BD

10．下列各组中表示相同集合的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABC

【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答.

【详解】对于A，集合M，P含有的元素相同，只是顺序不同，由于集合的元素具有无序性，因此它们是相同集合，A是；

对于B，因为，则，因此集合M，P都表示所有偶数组成的集合，B是；

对于C，，即，C是；

对于D，因为集合M的元素是实数，集合P中元素是有序实数对，因此集合M，P是不同集合，D不是.

故选：ABC

11．下列说法正确的是（    ）

A．命题，则命题的否定是

B．全称命题“”是真命题.

C．命题“”是假命题

D．集合.集合，若，则的取值范围是

【答案】AC

【分析】A选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；B选项，举出反例；C选项，由根的判别式得到恒成立，C错误；D选项，根据交集结果得到，分和两种情况，分类讨论，得到的取值范围.

【详解】A选项，命题的否定是，A正确；

B选项，当时，，故B错误；

C选项，对于，，故对任意的，，C正确；

D选项，因为，所以，又，

当时，若，则，解得，此时，满足，

若，则，解得，此时，不满足，

当时，，解得，

综上，的取值范围为或，D错误.

故选：AC

12．若集合具有以下性质：（1），；（2）若、，则，且时，.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（    ）

A．集合是“完美集”

B．有理数集是“完美集”

C．设集合是“完美集”，、，则

D．设集合是“完美集”，若、且，则

【答案】BCD

【解析】利用第（2）条性质结合，可判断A选项的正误；利用题中性质（1）（2）可判断B选项的正误；当时，推到出，结合性质（2）可判断C选项的正误；推导出，结合性质（2）可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，取，，则，集合不是“完美集”，A选项错误；

对于B选项，有理数集满足性质（1）、（2），则有理数集为“完美集”，B选项正确；

对于C选项，若，则，，C选项正确；

对于D选项，任取、，若、中有或时，显然；

当、均不为、且当，时，，

则，所以，，，，

所以，若、且，则，从而，D选项正确.

故选：BCD.

【点睛】本题考查集合的新定义，正确理解定义“完美集”是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.

三、填空题

13．若集合有且仅有两个子集，则实数__________；

【答案】0或2或18

【分析】集合有且仅有两个子集，由于空集是任何集合的子集，所以集合是单元素集合，即方程只有一个根或两个相等的实数根，分和两种情况求出实数即可.

【详解】∵集合有且仅有两个子集,

∴集合中有且仅有一个元素, 即方程有一个根或者两个相等的实数根.

当时, 方程仅有一个实数根, 满足题意;

当时, 令, 解得或.

综上, 或或.

故答案为：0或2或18.

14．用列举法表示集合＝________．

【答案】{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}.

【分析】利用题目条件，依次代入，使，从而确定出的值，即可得到答案

【详解】，

为的因数

则

则答案为

【点睛】本题主要考查了集合的表示法，理清题意，找出满足条件的因数是关键，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．

15．已知集合，，，，则______．

【答案】

【分析】由题知，集合C中的元素为集合A的所有子集，集合D中的元素为集合B的所有子集，写出两集合的所有子集，并取交集即可.

【详解】由题知，集合C中的元素为集合A的所有子集，集合D中的元素为集合B的所有子集，

则，

，

故，

故答案为：

16．某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则__________.

【答案】19

【分析】设出集合，根据集合之间的关系，得到，求出答案.

【详解】设集合分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集，

就是两者都爱好的，要使中人数最多，则，

要使中人数最少，则，即，解得，

.

故答案为：19

四、解答题

17．在①；②这二个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.

问题：已知集合.

(1)当时，求；

(2)若__________，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）求出，根据并集概念求解答案；

（2）根据并集或交集结果得到不等式，求出实数的取值范围.

【详解】（1）当时，集合，所以；

（2）若选择①，则，

因为，所以，又，

所以，解得，所以实数的取值范围是

若选择②，

因为，所以，又

所以或，解得或，

所以实数的取值范围是或

18．已知集合．

（1）当时，求；

（2）若A为非空集合且“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

【答案】（1），（2）.

【分析】（1）解出不等式，然后可得答案；

（2）由条件可得且，然后可建立不等式组求解.

【详解】（1）因为，当时，

所以

（2）因为A为非空集合，所以，即

因为“”是“”的充分不必要条件，所以且

所以且等号不同时取得，解得

综上：实数m的取值范围

19．设集合.

(1)讨论集合与的关系；

(2)若，且，求实数的值.

【答案】(1)答案见解析

(2)或

【分析】（1）解方程得到，分两种情况，得到的关系；

（2）根据交集结果得到，分类讨论，求出实数的值.

【详解】（1），

当时，；

当时，，是的真子集.

（2）当时，因为，所以，所以.

当时，解得（舍去）或，此时，符合题意.

当时，解得，此时符合题意.

综上，或.

20．已知集合，.

（1）求；

（2）定义集合为集合与的差集.记集合，已知集合，若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）分别求出集合M、N，再根据交集得运算即可得出答案；

（2）根据题中所给定义求出集合A，再根据，得，从而即可求得实数的取值范围.

【详解】解：(1)因为，，

所以.

（2）由（1）知，因为，所以，所以或.

当时，，所以；

当时，解得.

综上，实数的取值范围为.

21．已知集合

（1）若，求实数m的取值范围.

（2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1），分B为空集和B不是空集两种情况讨论求解即可；

（2）由，使得，可知B为非空集合且，然后求解的情况，求出m的范围后再求其补集可得答案

【详解】解：（1）①当B为空集时，成立.

②当B不是空集时，∵，，∴

综上①②，.

（2），使得，∴B为非空集合且.

当时，无解或，，

∴.

22．设命题；命题：关于的一元二次方程的一根大于零，另一根小于零；若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.

【答案】或

【分析】根据，为真命题，求出实数的取值范围，再得到一真一假，求出实数的取值范围.

【详解】若命题为真命题，则，解得或.

若命题为真命题，则，可得.

因为为真命题，为假命题，则一真一假.

若真假，则或；

若假真，则，可得.

综上所述，实数的取值范围是或.