2022-2023学年江苏省南京市建邺高级中学高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年江苏省南京市建邺高级中学高一下学期期中数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市建邺高级中学高一下学期期中数学试题 一、单选题1．已知向量，，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平面向量共线的坐标表示可求得的值.【详解】由已知可得，解得.故选：A.2．的值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数的和、差公式计算即可.【详解】原式，故选：.3．已知复数满足（为虚数单位），则（    ）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】利用复数的乘法运算法则化简后，计算模即可.【详解】，,故选：C.4．已知，是方程的两根，那么（    ）．A．1 B．2 C．-1 D．-2【答案】C【分析】根据，是方程的两根，利用韦达定理得到，再利用两角和的正切公式求解.【详解】解：因为，是方程的两根，所以，所以，故选：C5．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股 定理的证明， 后人称其为 “赵爽弦图”. 如图 1 ， 它由四个全等的直角三 角形与一个小正方形拼成的一个大正方形. 我们通过类比得到图 2， 它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形 拼成的一 个大等边三角形， 若， 则（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】由同角关系求，由两角差正弦公式求，设，由正弦定理求，由余弦定理求.【详解】因为，，所以，而 ，在 中， 设，则，由正弦定理得 ， 解得，由余弦定理 ，所以. 故选：C.6．如图所示，矩形的边，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，若点是圆弧（含端点､上的一点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立坐标系，表示出的坐标，利用数量积的运算结合三角函数的性质可得答案.【详解】以点为原点，以直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设，，，，，，，，，的取值范围是.故选：D.7．若，且，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由及二倍角的余弦公式可得，根据两角和的余弦公式可得，由诱导公式及的范围即可求解.【详解】，.由，可得，即.，，，，且，根据函数易知：，即得：.故选：A8．在中，已知为线段上的点，且，则的最小值为（    ）A． B．4 C．3 D．【答案】C【分析】因为P为线段上的点，所以A、B、P三点共线，根据向量共线定理可知，根据题中三角函数关系解出三角形三边长，最后利用基本不等式即可求解的最小值.【详解】，解得.解得.则，当且仅当，即时，等号成立.故选：C. 二、多选题9．（多选）关于平面向量，下列说法中错误的是（    ）A．若且，则 B．C．若，且，则 D．【答案】ACD【分析】A.由向量判断；B.由向量的运算律判断；C.由数量积的运算律判断；D.由向量共线判断.【详解】A.若向量，则不一定平行，故错误；B.根据向量的运算律可知，B正确；C. ，且，所以或，故错误；D.表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，与不一定相等，故错误.故选：ACD10．已知复数满足（其中是虚数单位），则下列说法中正确的有（    ）A．的最大值为3 B．的最小值为1C． D．有且只有两解【答案】ABD【分析】根据复数模的展开公式，得到复数的轨迹方程，即可判断出A、B选项；只有实数或者纯虚数平方等于实数，由此可判断C；根据复数模的展开公式展开求解即可判断D选项.【详解】解：设，，因为，所以，点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，的最大值为，最小值，，正确；只有实数或者纯虚数平方等于实数，所以不一定等于实数4，错误；由得，，整理得，①，因为②，①②联立只有2解，正确.故选：.11．已知，则下列命题正确的有（    ）A．若，则 B．的最大值为2C．存在，使 D．的最大值为3【答案】BCD【分析】根据向量的数量积公式即可求解AB，当同向时，则有，将转化为三角函数的最值问题即可求解.【详解】依题意，对于A：，即，所以，故A错误；对于B：由A知，所以当时，有最大值2，故B正确；对于C：当时，，，所以，，所以，故C正确；对于D：，所以，当，即时，取得最大值9，所以的最大值为3，故D正确.故选：BCD.12．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ）A．若B+C=2A，则的外接圆的面积为B．若，且有两解，则b的取值范围为C．若C=2A，且为锐角三角形，则c的取值范围为D．若A=2C，且，为的内心，则的面积为【答案】ACD【分析】根据条件求出.选项A：根据条件求角A，根据正弦定理求外接圆的半径，从而求外接圆的面积；选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,求得b的取值范围；选项C：根据正弦定理把边表示为，利用为锐角三角形求角A的范围，从而求边的范围；选项D：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用直角三角形内切圆半径公式求的内切圆半径，从而求的面积.【详解】因为，所以由正弦定理，得,即 ，因为，所以，且，所以.选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ，所以，所以的外接圆的面积为，选项A正确；选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,故 ,解得b，所以选项B错误；选项C：由正弦定理，得 ，即 ，因为为锐角三角形，所以 ，即，所以，所以，故选项C正确；选项D：因为，所以，因为，所以，所以由正弦定理，得，即，所以，即，所以，所以，又因为，所以，， ，，即是直角三角形，所以内切圆的半径为，所以的面积为，选项D正确.故选：ACD.【点睛】在三角形中,常常隐含角的范围:①若已知一个角数，则另两角的范围不能是，如＝，则,特别是在求值域问题时会用到.②在锐角三角形中，不要只考虑，还要想到另外两角之和在内,若再知其中一角,要考虑其它角的范围,如＝，则,所以;若知其中两角关系,也要考虑角的范围,如在本题中A=2C，综合三个角为锐角有,得. 三、填空题13．已知为第二象限角，且，则___________.【答案】【分析】根据的范围可求得的范围，结合可确定为第二象限角，结合同角三角函数关系求得，利用二倍角公式和诱导公式可求得，由同角三角函数关系可求得结果.【详解】为第二象限角，，，又，，，，，又为第二象限角，，.故答案为：.【点睛】易错点点睛：已知三角函数值求解函数值时，易错点是忽略角所处的范围，造成在求解三角函数值时出现符号错误.14．已知点，点为圆上的动点，则的最大值为__________.【答案】【分析】根据向量乘积公式可知，若求的最大值，则需要找到在上的投影的最大值即可，画出题中圆方程所示圆，根据几何关系即可找出求解.【详解】圆的标准方程为：，圆心为，半径为，，当点动到点时，取得最大值，即为在上的投影，.故答案为：.15．已知常数，若函数在上恒有，且，则函数在区间上零点的个数是________.【答案】15【分析】根据可得函数周期，作出函数一个周期上的图象，利用数形结合即可求解.【详解】 函数在上恒有,, 函数周期为4. 常数,, 函数在区间上零点,即函数与直线及直线之间的直线的交点个数.由，可得函数 一个周期内的图象，做草图如下：由图可知，在一个周期内，函数有3个零点，故函数在区间上有15个零点.故填15.【点睛】本题主要考查了函数零点的个数判断，涉及数形结合思想在解题中的运用，属于难题.16．已知中，，，，点在直线上，且满足：，则___________.【答案】【分析】设，得，由余弦定理解得，再利用向量线性运算得，则展开即可得结果．【详解】设，所以故，则由余弦定理的，又，所以，则由故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键先求解，得，然后再由向量模计算方法运算． 四、解答题17．已知向量，，.（1）若与向量垂直，求实数的值；（2）若向量，且与向量平行，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出，解方程即得解；（2）由已知得，解方程即得解.【详解】（1）由已知得，，所以，即，解得；（2）由已知得，因为，所以，解得.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查向量垂直平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．已知，，且，，求、的值.【答案】，【分析】求出的取值范围，利用同角三角函数的基本关系可求得、，利用两角和的余弦公式可求得的值，再利用半角公式可求得的值.【详解】因为，，则，因为，，则，所以，，，，，.19．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点.(1)试用向量，表示向量，；(2)若，求的值.【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）由即可求出；设，，由向量的线性运算分别得到，，解出，即可求得；（2）利用（1）中结论结合数量积运算律求得，进而得到，即可求解.【详解】（1），设，，则，又,所以，解得，所以；（2），则，所以，所以，所以.20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=4，.（1）求角B；（2）求△ABC周长的最大值.【答案】（1）；（2）12.【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，由此求得进而，求得.（2）将表示为角的形式，结合三角恒等变换以及三角函数最值的求法，求得三角形周长的最大值.【详解】（1）由正弦定理知，，∵，∴，整理得a2+c2-b2=ac，由余弦定理知，，∵，∴.（2）由（1）知，，∴，由正弦定理知，，∴，，∴，∵，∴，当，即时，a+c取得最大值，为8，∴a+b+c≤8+4=12，故△ABC周长的最大值为12.21．已知向量，且.（1）求及；（2）若的最小值为，求正实数的值.【答案】（1）；；（2）.【分析】（1）计算得，由,开方即可；（2），讨论和1的大小，求最值即可.【详解】（1）∵，∴ .∵，∴，因此.（2）由（1）知，∴，①当时，当时，有最小值，解得.②当时，当时，有最小值，（舍去），综上可得.22．如图，某小区有一块空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘，E，F在边BC上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且.(1)若，求EF的值；(2)为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可求，即可得结果；（2）利用正弦定理用表示，再结合条件得到，最后根据三角函数的性质求最值即可.【详解】（1）由题意可得，设，则，在中，由余弦定理，则，即，由正弦定理，可得，即，可得，在中，，，由正弦定理，可得，故.故EF的值.（2）设，则，由正弦定理，可得，在中，由正弦定理，可得，故的面积，∵，∴，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，故面积的最小值.