2022-2023学年江苏省南京市天印高级中学高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年江苏省南京市天印高级中学高一下学期期中数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市天印高级中学高一下学期期中数学试题 一、单选题1．（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接运用两角差的正弦公式即可.【详解】故选：A．2．已知，为不共线的向量，且，，则（    ）A．共线 B．共线 C．共线 D．共线【答案】B【分析】根据，，求出和，再根据与不共线，可得不共线，根据与共线，且有公共点，可得共线，根据与不共线，可得不共线，根据与不共线，可得不共线.【详解】因为，，，所以，，因为，为不共线，所以为非零向量，若存在，使得，则，即，因为，不共线，所以，即，此方程组无解，故与不共线，所以不共线，故A不正确；因为，即与共线，又与有公共点，所以共线，故B正确；若存在，使得，则，即，因为，不共线，所以，即，此方程组无解，故与不共线，所以不共线，故C不正确；若存在，使得，则，即，因为，不共线，所以，即，此方程组无解，故与不共线，所以不共线，故D不正确.故选：B3．设（为虚数单位），则复数的虚部为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，则，利用复数运算以及复数相等可求得、的值，即可得解.【详解】设，则，由可得，所以，，解得，因此，复数的虚部为.故选：B.4．在中，角的对边分别为，且，，，则（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理可构造方程直接求得结果.【详解】在中，由余弦定理得：，即，解得：或（舍），.故选：B.5．已知在中，，，，点为边上靠近的三等分点，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用、表示向量、，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】如下图所示：，由平面向量数量积的定义可得，因此，.故选：D.6．已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是（    ）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理将边化为角，再逆用两角差的正弦公式及三角形内角和定理求解即可.【详解】因为，由正弦定理可得：，所以，所以，所以或，即(舍去)或，故为直角三角形，故选：C7．已知，则的值为（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函数的诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解.【详解】由，得，所以，所以．故选：A．8．某观测站在目标的南偏西方向，从出发有一条南偏东走向的公路，在处测得与相距的公路处有一个人正沿着此公路向走去，走到达，此时测得距离为，若此人必须在分钟内从处到达处，则此人的最小速度为(　　)A． B． C． D．【答案】B【详解】由已知得∠CAB＝25°＋35°＝60°，BC＝31，CD＝21，BD＝20，可得，那么，于是在△ABC中，＝24，在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos60°，即312＝242＋AB2－24AB，解得AB＝35或AB＝－11(舍去)，因此AD＝AB－BD＝35－20＝15.故此人在D处距A处还有15 km，若此人必须在20分钟，即小时内从D处到达A处，则其最小速度为15÷＝45(km/h)．故选B. 二、多选题9．欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ）A． B．为纯虚数C．复数的模长等于 D．的共轭复数为【答案】ABC【分析】利用欧拉公式计算出各选项指数式的复数代数形式，即可判断各项的正误.【详解】A：由题意，，正确；B：由题意，为纯虚数，正确；C：由题意，，其模长为1，正确；D：由题意，，则其共轭复数为，错误.故选：ABC10．设向量，，则下列叙述错误的是（    ）A．若与的夹角为钝角，则且B．的最小值为2C．与共线的单位向量只有一个为D．若，则或【答案】CD【分析】利用向量的夹角公式可判断A的正误；利用向量的模长公式及二次函数的性质可判断B的正误；利用向量共线的坐标表示可判断C的正误；利用模长公式可求出的值，进而判断D的正误.【详解】A：若与的夹角为钝角，则有，且与不共线，即且，故A正确；B：，当且仅当时，有最小值为2，故B正确；C：与共线的单位向量有和两个，故C错误；D：若，则，解得，故D错误；故选：CD.11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（    ）A．若，则B．若，则为钝角三角形C．若，则符合条件的三角形不存在D．若，则一定是等腰三角形【答案】AC【分析】利用正余弦定理，三角函数的性质逐一判断即可.【详解】若，则，所以由正弦定理可得，故A正确；若，，，则，即，所以角为锐角，即为锐角三角形，故B错误；若，，，根据正弦定理可得所以符合条件的三角形不存在，即C正确；若，则，即,因为,所以或，即或，所以为等腰或直角三角形，故D错误.故选：AC12．已知中，，，，在上，为的角平分线，为中点下列结论正确的是（    ）A． B．的面积为C． D．在的外接圆上，则的最大值为【答案】ACD【分析】先由余弦定理算出，再计算面积，验证B选项，在中，利用余弦定理求验证A选项，用等面积法，求验证C选项，用正弦定理表示，，结合三角函数性质验证D选项.【详解】解：在中，由余弦定理得，因为，所以.所以，故B错误；在中，，所以，故A正确；因为为的角平分线，由等面积法得，整理得，解得，故C正确；在的外接圆上，如图则，所以在中，记，，由正弦定理得，，又，所以，其中，又因为，所以的最大值为，故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查正余弦定理的综合应用，考查数学运算能力，是中档题. 三、填空题13．在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数是______．【答案】【分析】由向量的线性运算和复数的减法运算可求得答案.【详解】解：由题意可知，，则对应的复数是.故答案为：.14．__________.【答案】【分析】利用展开计算即可【详解】.故答案为：.15．已知向量的夹角为，若，则 ___________．【答案】3【详解】由题意可得：，整理可得：，据此可得：. 四、双空题16．已知由，，可推得三倍角余弦公式，已知，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得______________；如图，已知五角星是由边长为的正五边形和五个全等的等腰三角形组成的，则___________【答案】          【分析】由结合三倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式可得出关于的二次方程，结合可求得的值；求得，，过点作，垂足为点，求得，，然后利用平面向量数量积的定义可求得结果.【详解】因为，所以，，即，即，即，因为，解得.在五角星中，，，，故，从而可得，，过点作，垂足为点，则，于是，从而有，于是，所以，.故答案为：；. 五、解答题17．已知复，，为虚数单位.(1)若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围；(2)若，求的模.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用复数代数形式的运算法则化简复数，求出对应点利用点在第四象限，得到不等式组，即可求实数的取值范围；（2）利用复数代数形式的除法运算化简复数，从而求出其模．【详解】（1）解：，，复数，则复数在复平面内所对应的点为，由题意可得，解得，即．（2）解：，所以.18．已知平面向量，．(1)在方向上的投影向量；(2)当k为何值时，与垂直．【答案】(1)(2) 【分析】（1）直接利用投影向量的定义计算即可；（2）由数量积的坐标表示计算即可.【详解】（1）在方向上的投影向量.（2）∵与垂直，，，∴，即，解得．19．已知向量，，且.（1）求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由共线向量的坐标表示列出等式，利用两角和的余弦公式化简等式即可得解；（2）由的值求出，再利用两角和的正切公式求出，根据的范围即可求得.【详解】（1）因为，所以，， ，即. （2）由得，又因为，所以，则，，因为，所以，因为，所以，所以.【点睛】本题考查两角和与差的余弦、正切公式，已知三角函数值求角，涉及向量共线的坐标表示，属于中档题.20．在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【详解】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（Ⅰ）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，，故.【解析】正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.21．某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上．设．（1）现要在四边形ABCD内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大；（2）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若BC＝CD，则当为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值（单位：百米）．【答案】（1）当时，郁金香种植面积最大；（1）当为时，栈道的总长l最长，l的最大值为6百米.【分析】(1)求出利用三角形的面积公式可得四边形ABCD关于的函数，利用三角函数的恒等变换可以得到“一角一函”的形式,然后根据角的范围利用正弦函数的性质可求得面积最大值；(2)利用余弦定理求得关于的三角函数，相加可求出关于的三角函数表达式，利用二倍角公式和换元思想转化为二次函数的最值，进而求解.【详解】解：(1)∵线段AB长为4百米，所以圆的半径为2百米，即,当时，由三角形的面积公式得：，，则，，当，即时取等号，∴当时，取得最大值，当时，郁金香种植面积最大；(2)由余弦定理得：，，，令，∵，∴，，，即时，的最大值为6.故当为时，栈道的总长l最长，l的最大值为6百米.22．如图，在平面凸四边形中（凸四边形指没有角度数大于180°的四边形），，，．(1)若，，求；(2)已知，求四边形的面积为S的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）在中，由余弦定理得出，在中由余弦定理得出；（2）在和中，由余弦定理得出，进而由三角形面积公式以及余弦函数的性质得出S的最大值．【详解】（1）连接，在中，由余弦定理，得，所以，由余弦定理，得，即，所以；（2）在和中，，，所以，又，所以，所以当时，S取最大值为.