2022-2023学年江苏省南京市中华中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省南京市中华中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知向量，，则（    ）

A．5 B．14 C． D．

【答案】B

【分析】先求向量的坐标，再利用数量积的坐标表示求出答案.

【详解】因为，，所以，

所以.

故选：B.

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用平方关系可求，结合二倍角公式可得答案.

【详解】因为，所以；

所以.

故选：D.

3．为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若米，，，，，则塔尖之间的距离为（    ）米.

A．80 B．120 C． D．

【答案】D

【分析】先求，利用余弦定理求得.

【详解】，

在三角形中，由余弦定理得：

米.

故选：D

4．在中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出，根据可求答案.

【详解】因为在中，，所以为锐角，且，

所以；

因为，所以，

即，解得.

故选：A.

5．在中，为线段上一点，且，若，则的最小值为（    ）

A． B．16 C．48 D．60

【答案】C

【分析】先由得出再得出,最后常值代换应用基本不等式可解.

【详解】,

,，又B，D，C三点共线，

,

,当且仅当即当时取最小值.

故选:C.

6．已知，且，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】结合角的范围，利用同角三角函数基本关系及两角和差的正弦公式即可求解.

【详解】因为所以，

又，所以，

因为，所以，

因为，所以，

所以.

故选：A

7．记的内角 ，，的对边分别为，，.已知，，则周长的最大值为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】C

【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简可得，求出角B，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，即可求得答案.

【详解】由,可得,

即，即，

因为，故，

而，故，

故，即，

解得，当且仅当时取等号，

故周长的最大值为，

故选：C

8．若,且,,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出的范围,再利用和差化积公式对等式两边分别化简,即可求得的正切值,从而求出.

【详解】,

,,

又时,是减函数,,.

由和差化积公式可得:

,

,,,,

,

,又,,

故选:C.

二、多选题

9．在矩形中，，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】如图建系，应用坐标运算求向量加法及数量积分别判断各个选项即可.

【详解】如图建系，

，

,A选项错误;

,B选项正确;

,C选项错误;

,D选项正确.

故选：BD.

10．下列代数式的值为1的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】利用倍角公式，辅助角公式和两角差的正切公式逐项求解可得答案.

【详解】对于A，，A正确；

对于B，，B不正确；

对于C，

，C不正确；

对于D，，D正确.

故选：AD.

11．记的内角，，的对边分别为，，，则下列判断正确的是（    ）

A．若，，，则是钝角三角形

B．若，则是等腰三角形

C．若，则为锐角三角形

D．若，则为锐角三角形

【答案】AC

【分析】利用余弦定理和三角形的性质逐项判断即可得出答案.

【详解】对于A，因为，，，所以为最大角，

，所以是钝角三角形，A正确；

对于B，因为，所以或，

即或，是等腰三角形或直角三角形，B不正确；

对于C，因为，所以均大于零，即为锐角三角形，C正确；

对于D，当时，满足，但是为钝角三角形，D不正确.

故选：AC.

12．已知，则的值用可以表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】利用诱导公式、两角和公式以及二倍角公式，化简求解即可得到答案.

【详解】

，

又

，

故，得到

故选：AD

三、填空题

13．向量在向量方向上的投影向量______.

【答案】

【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.

【详解】向量在向量方向上的投影向量是.

故答案为：

14．函数的最小值为______.

【答案】

【分析】化简的解析式，根据二次函数的性质求得正确答案.

【详解】，

，根据二次函数的性质可知，

当时，取得最小值.

故答案为：

15．非零向量满足：，,则与夹角的大小为_______

【答案】135°或者

【分析】根据题意，设，，则，结合题意分析可得△OAB为等腰直角三角形，结合向量夹角的定义分析可得答案．

【详解】解：根据题意，设，，则，

若||＝||，，即||＝||，且⊥，

则△OAB为等腰直角三角形，

则与的夹角为180°﹣45°＝135°，

故答案为135°．

【点睛】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．

四、双空题

16．如图，在中，，，过点向外作等腰直角三角形，且，则当______时，的长度取得最大值，最大值为______.

【答案】         

【分析】利用余弦定理及诱导公式得到，结合，求出最大值及此时的值.

【详解】在中，由余弦定理得，

故，其中，，

因为，，所以，

故

，

因为，所以，

故当，即时，取得最大值，最大值为，

故的最大值为.

故答案为：，

五、解答题

17．已知.

(1)求的值域；

(2)若，，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先根据两角和差正弦余弦公式化简解析式，再应用三角函数值域求解即得；

（2）先用已知角表示未知角，结合同角三角函数关系求函数值，再应用两角和差公式求解即可.

【详解】（1），

所以的值域为

（2）由（1）得，

因为，

所以，

所以.

所以

.

18．已知，.

(1)求的值；

(2)若，，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二倍角的余弦及正切公式化简求值即可；

（2）结合角的范围解一元二次方程得，然后根据两角和正切公式求出，然后根据角的范围确定角的大小.

【详解】（1）因为，所以，

所以，所以

（2）因为，所以或.

因为，所以，所以.

所以

因为，，所以，所以.

19．在中，角的对边分别为.已知.

(1)求角的大小；

(2)若为线段延长线上一点，且，求.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由正弦定理边角关系及差角正弦公式可得，结合三角形内角性质即可求的大小；

（2）设，且，在、应用正弦定理列方程求，根据同角三角函数关系、诱导公式即可求的大小.

【详解】（1）由正弦边角关系得：，

所以

则，即，

所以（舍）或，故 .

（2）

设，且，

在中，①，

在中，②，

所以，

，

所以.

20．如图，在平面直角坐标系中，角和的终边与单位圆分别交于，两点.

(1)若，求的值；

(2)若，，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先表示出向量的坐标，利用和差角公式可求答案；

（2）根据求出，根据倍角公式可得答案.

【详解】（1）因为，，

所以，

所以，

两式平方相加，得，

解得.

（2）因为，

所以.

因为，所以.

所以

.

21．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦地里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块凸四边形的麦田里成为守望者，为了分割麦田，他将连结，经测量，，.霍尔顿发现无论多长，是定值.霍尔顿还发现麦田的生长与土地面积的平方和相关，记和的面积分别为和，为了更好地规划麦田，霍尔顿需要求出的最大值.请你帮助霍尔顿解决以下问题：

(1)求出的值；

(2)求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在两个三角形内分别利用余弦定理求出，化简整理可得答案；

（2）利用面积公式分别表示出，求和，利用换元法求解最值.

【详解】（1）在中，，，根据余弦定理，

.

同理，在中，.

所以，

所以.

（2）由（1）可知；

在中，

，

同理可得，在中，

.

令，则

，

所以当时，取得最大值，最大值为.

所以，当时，的最大值为.

22．在直角中，，，为的中点，，分别为线段，上异于，的动点，且.

(1)当时，求的长度；

(2)若为的中点，设，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理求出，再利用余弦定理可求；

（2）设，由正弦定理用表示出，把转化为，结合三角恒等变换的知识可求范围.

【详解】（1）在直角中，，，为的中点，

所以，.

在中，，，，

根据正弦定理，得.

在中，，同理，由正弦定理可得.

在中，，，，

根据余弦定理，

得，

所以.

（2）在中，，，，

根据正弦定理，得.

同理，在中，.

因为，

所以

， （用积化和差化简不扣分）

因为，所以，所以，

所以，所以，

所以，

所以的取值范围为.