2022-2023学年江西省赣州市南康区第三中学高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年江西省赣州市南康区第三中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知向量与不平行，记，，若，则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量平行的条件列出方程组求解即可.

【详解】依题意，，，

，即，

，解得．

故选：B．

2．给定两个向量，，若，则的值是（    ）

A．23 B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出的坐标,然后利用向量垂直等价于数量积为零，利用数量积的坐标运算得到关于x的方程，求解即得.

【详解】,

，

又，

即，

整理得,解得，

故选:C.

3．已知化简结果为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用诱导公式及切化弦化简即可.

【详解】.

故选：D.

4．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可.

【详解】由题可知，

∵点F在BE上，

∴，

∴．

∴，．

∴．

故选：C．

5．函数零点的个数（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】画出函数和的图象，根据函数图象得到答案.

【详解】画出函数和的图象，其中，如图,

由图可知，

当时，，两函数图象没有交点；

当时，两函数图象有3个交点；

当时，，两函数图象没有交点，

综上，函数和的图象有3个交点，

所以，函数零点的个数为3．

故选：C.

6．△ABC中，已知，，，如果△ABC有两组解，则x的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意得，列出关于的不等式求解即可.

【详解】在中，已知，，，

由于有两组解，则，即，即.

故选：C.

7．在中，则的值等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】分析：先利用三角形的面积公式求得的值，进而利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.

详解：由题意，在中，

利用三角形的面积公式可得，

解得，

又由余弦定理得，解得，

由正弦定理得，故选A.

点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.

8．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，若，，则△ABC的形状是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

【答案】D

【分析】由，结合三角形面积公式及向量的数量积运算可得，得，由余弦定理结合条件可得，从而得出结果．

【详解】由，可得，即，

因为，可得，

由余弦定理得：，

因为，所以，即，即，

又，所以是等边三角形．

故选：D．

二、多选题

9．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（    ）

A．先向左平移个单位长度，再横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）

B．先向左平移个单位长度，再横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

C．先横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度

D．先横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度

【答案】AC

【分析】根据三角函数的图象变换规则及三角函数诱导公式求解即可得出答案.

【详解】对于A，向左平移个单位长度，可得，再横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得，故A正确；

对于B，向左平移个单位长度，可得，再横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得，故B错误；

对于C，横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得，再向左平移个单位长度，可得，故C正确；

对于D，横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得，再向左平移个单位长度，可得，故D错误.

故选：AC.

10．下列说法正确的是（    ）

A．不等式的解集为

B．函数的单调递增区间是

C．已知，则的值是

D．若，则的值为0

【答案】ACD

【分析】解不等式，即可判断A；化简，利用三角函数的单调性求解可判断B；由结合诱导公式可判断C；利用的周期性求解可判断D.

【详解】由不等式得，解得，故A正确；

，由，得，即函数的增区间为，又，取，函数的增区间为，故B错误；

已知，则，故C正确；

的最小正周期，则

，故D正确．

故选：ACD.

11．定义：，两个向量的叉乘，则以下说法正确的是（    ）

A．若，则

B．

C．若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于

D．若，，则的最小值为

【答案】AC

【分析】对于A，根据叉乘定义，判断，至少有一个为零向量或，即可判断；对于B，根据叉乘定义，讨论和，即可判断；对于C，结合平行四边面积即可判断；对于D，由，推出，结合向量模的计算以及基本不等式即可判断.

【详解】对于A，，

若，至少有一个为零向量，则满足；

若，均不为零向量，则，即，同向或反向，即，故A正确，

对于B，，

，

若，则 ，此时；

若，，此时，故B错误；

对于C，若四边形为平行四边形，

则它的面积等于，即 ，故C正确；

对于D， ，

，两式平方后相加得，即，

又，

当且仅当时等号成立，

故的最小值为，故D错误，

故选：AC

12．下列说法正确的是（    ）

A．若圆心角为的扇形的弦长为，则该扇形中弓形的面积为

B．已知向量，，则“，的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件

C．向量，，在x轴上的一点P，使取得最小值，则点P的坐标为

D．已知扇形的周长是4，当扇形面积最大时，则扇形的圆心角的弧度数是2

【答案】BCD

【分析】求出扇形的半径，进而得出扇形面积，扇形中除去弓形部分的三角形面积，从而得出弓形的面积，即可判断A；由与的夹角为锐角，求得的范围，结合充分条件与必要条件的概念，即可判断B；设，利用数量积的坐标运算求出，结合二次函数的性质求解，即可判断C；设扇形的半径为，得出扇形的面积的表达式，结合二次函数的性质求解，即可判断D.

【详解】对于A选项，设弓形所在圆的半径为，，

弓形所在的扇形面积为：，

扇形中除去弓形部分的三角形面积为：，

所以弓形的面积为：，故A错误；

对于B选项，因为与的夹角为锐角，所以且与不平行，

所以且，即且，

所以“，的夹角为锐角”可以推出“”，但是“”不能推出“与的夹角为锐角”，

故“，的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，故B正确；

对于C选项，设，则，

，

当时，取得最小值，此时，故C正确；

对于D选项，设扇形的半径为，则扇形的弧长为，扇形的面积为，

当时，扇形的面积最大，此时扇形的圆心角的弧度数为，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．已知的终边过点，若，则__________．

【答案】

【详解】∵的终边过点

∴

∵

∴

∴

故答案为：

14．设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为________.

【答案】

【详解】

【解析】该题主要考查平面向量的概念、数量积的性质等基础知识，考查数学能力.

15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，则ABC面积的最大值为________．

【答案】

【分析】又正弦定理可得，再由面积公式结合余弦定理和基本不等式即可求出最值.

【详解】由正弦定理得：，所以，即，

故.

由余弦定理可得：，

由基本不等式得：，等且仅当时取得等号，此时，所以ABC面积的最大值为.

故答案为：

16．平面向量，满足，，，对于任意实数k，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】由两边平方，结合向量的数量积运算求得，由两边平方并整理化简，从而问题转化为：对于任意实数，不等式恒成立，利用一元二次不等式恒成立问题的解法即可得出答案.

【详解】，，，

则，得，

又对于任意实数，不等式恒成立，

即对于任意实数，不等式恒成立，

即对于任意实数，不等式恒成立，

则，即，解得：或，

则实数的取值范围是．

故答案为：．

四、解答题

17．已知，，且与夹角为，求：

(1)；

(2)与的夹角．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据数量积的运算律，求出的值，即可得出答案；

（2）先根据数量积的运算律，求出的值，即可得出的值，进而根据数量积的运算得出的值.然后根据夹角公式，即可得出结果.

【详解】（1）由已知可得，.

所以有，

所以.

（2）因为，

所以.

又，

所以，

所以与的夹角为．

18．已知函数（其中）的图像如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)若将函数的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图像，求当时，函数的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据图像得到A=1，，进而求得，再由点在图像上求解；

（2）利用伸缩变换得到，再利用正弦函数的性质求解.

【详解】（1）解：由图像知：A=1，，则，，

所以，

因为点在图像上，所以，

所以，解得，

因为，所以，

所以；

（2）解：由题意得，

因为，则，

所以，当，即时，有最大值；

当，即时，有最小值

所以，即的值域为.

19．已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，.

（1）求角C的大小；

（2）若，且的面积为，求的周长.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）首先根据正弦定理角化边公式得到，再利用余弦定理求解即可.

（2）首先根据三角形面积得到，利用余弦定理得到，即可得到三角形的周长.

【详解】（1）因为

由正弦定理可得，即.

由余弦定理知

又因，所以；

（2），的面积，

即，

所以

，

所以，即.

所以的周长为.

20．如图，，分别是矩形的边和的中点，与交于点N.

(1)设，，试用，表示；

(2)若，，H是线段上的一动点，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）引入，重新整理得出和这组基底的关系；

（2）以A为原点，AB，AD分别为x， y轴，建立平面坐标系，借助的方程，化为关于的表达式，从而利用二次函数性质求最值.

【详解】（1）取AC的中点O，连OE，OF则，

因为，

所以.

（2）以A为原点，AB，AD分别为x， y轴，建立直角坐标系，

则，，，，

直线的方程为：，

设，

则，，

所以，

当时等号成立.

21．如图，在中，点在边上，，，.

(1)求边的长；

(2)若的面积是，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在中，利用余弦定理即可求得边的长；

（2）求得，可得是等边三角形，利用三角形面积公式可求得，再在中，由余弦定理求出，最后由正弦定理可求的值.

【详解】（1）在中，设，

由余弦定理得，

则，

整理得，

解得，故．

（2）因为，，

所以，所以为等边三角形，则，

所以，解得．

在中，由余弦定理得，得，

在中，由正弦定理得，即，解得．

22．如图所示，摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要.甲，乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点).

（1）求劣弧的弧长(单位：)；

（2）设游客丙从最低点处进舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式；

（3）若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.

【答案】（1）；（2），其中；（3）.

【分析】（1）根据弧长的计算公式可求的长度.

（2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用三角函数的定义可求关于时间的函数解析式.

（3）利用（2）中所得的解析式并令，求出不等式的解后可得甲，乙两位游客都有最佳视觉效果的时间长度.

【详解】（1）因为摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，

故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，

故.

（2）建立如图所示的平面直角坐标系，设，

由题意知，，所以，

又由，所以，

当时，可得，所以，

故关于时间的函数解析式为，其中.

（3）令，即，

令，解得，

因为甲乙两人相差，

又由，所以有甲乙都有最佳视觉效果.

【点睛】三角函数实际应用问题的处理策略：

1、已知函数模型求解数学问题；

2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题；

3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.