2022-2023学年上海市洋泾中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市洋泾中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．函数的最小正周期为_____________．

【答案】

【分析】利用的最小正周期为，即可得出结论．

【详解】函数的最小正周期为：，

故答案为.

2．若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为______.

【答案】

【分析】利用扇形面积公式可求出答案.

【详解】由题意,扇形的面积为.

故答案为:.

【点睛】本题考查了扇形的面积的计算,考查了学生的计算能力,属于基础题.

3．设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．

【答案】

【详解】因为向量与平行，所以，则所以．

【解析】向量共线．

4．函数的严格减区间为___________．

【答案】

【分析】根据余弦函数的性质计算可得.

【详解】余弦函数的减区间为：，

函数减区间满足即，

解得，

即函数的单调递减区间为，

故答案为：，

5．若函数为偶函数，则实_______．

【答案】

【分析】根据函数是偶函数建立恒等式求解参数即可.

【详解】因为是偶函数，

所以，

所以，

故答案为：1

6．设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的数量投影是______．

【答案】

【分析】利用向量的数量积转化求解向量在方向上的数量投影即可.

【详解】设向量与的夹角是θ，

则向量在方向上数量投影为.

故答案为：.

7．化简：______．

【答案】/0.5

【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式即得.

【详解】

.

故答案为：.

8．已知函数是上的严格增函数，则的取值范围是______

【答案】

【分析】先分析每一段函数的单调性，然后再分析分段点处函数值的大小关系，由此求解出的取值范围.

【详解】当在上单调递增时，，，

当在上单调递增时，，

因为是上的严格增函数，所以，所以，

综上可知，，

故答案为：.

9．已知 三点共线于直线，对直线外任意一点，都有，则的最小值为________．

【答案】

【分析】先由A、B、C三点共线，得到，利用基本不等式“1”的妙用求最值.

【详解】由题意，A、B、C三点共线

所以存在实数λ使得，即，

所以

而

所以

则，

所以

当且仅当,即时取等号．

因此的最小值为．

故答案为：．

10．已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是___________

【答案】

【分析】作出函数图像，根据三角函数对称性得，解得，进而得答案.

【详解】根据题意，作出函数图像，

不妨设，

如图,根据三角函数的对称性得与关于对称，

所以，

另一方面,，即

所以，

故答案为：.

二、单选题

11．“，”是“”的（    ）条件．

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的概念及特殊角的正弦函数值求解即可.

【详解】“”能推出“”，反过来，“”不能推出“”，因为可能，

所以“，”是“”的是充分不必要条件，

故选：A

12．在中，，则一定是（    ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形

【答案】C

【解析】由余弦定理结合题意得，由勾股定理逆定理即可得解.

【详解】，

，

即，

一定是直角三角形.

故选：C.

【点睛】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题.

13．函数（其中，，）的部分图像如图所示，则的解析式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先根据图象求出，然后结合周期公式求出的值，进而根据函数图象过点以及求出的值，即可求出结果.

【详解】由图象可知，所以，又因为，所以，所以，因为函数图象过点，所以，又因为，所以，因此，

故选：C.

14．已知是平面内的三个单位向量，且，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据条件在直角坐标系中可取，然后可算出，然后利用三角函数的知识求解即可.

【详解】因为是平面内的三个单位向量，且，

所以在直角坐标系中可取

所以

所以

故选：D

三、解答题

15．已知.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）-3；（2）

【分析】（1）由,可求出答案;

（2）由二倍角公式可得,,然后分子分母同乘以,可得到原式,可得到答案.

【详解】（1）；

（2）.

【点睛】本题考查了三角函数的二倍角公式的应用,考查了三角函数恒等变换,属于基础题.

16．已知．

(1)若，求实数x的值；

(2)若，求实数x的值．

【答案】(1)4；

(2)

【分析】（1）利用向量平行(共线)的坐标关系可得;

（2）利用向量垂直即数量积为零即得.

【详解】（1）解：故；

（2）解：

.

17．在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，，.

(1)若，求A和外接圆半径R的值；

(2)若三角形的面积，求c.

【答案】(1)，；

(2)或.

【分析】（1）由题可得，利用正弦定理即求；

（2）利用三角形面积公式可得，再利用同角关系式及余弦定理即求.a

【详解】（1）因为，则，且.

由正弦定理，得，即，

即，，

因为，所以，

因此，；

（2）由得，

于是.

当时，由余弦定理，得.

当时，由余弦定理，得.

所以，或.

18．设函数，该函数图像上相邻两个最高点之间的距离为，且为偶函数.

(1)求和的值；

(2)在中，角的对边分别为，若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题可得，，即求；

（2）利用正弦定理可得，进而可得，再利用二倍角公式、和差角公式及辅助角公式可得，然后利用正弦函数的性质即求.

【详解】（1）∵函数图像上相邻两个最高点之间的距离为，

∴，解得，

又为偶函数，

∴，又，

∴.

（2）∵，

∴，

即，

又，∴，

∴又，

∴，

由（1）知，

∴

，

又，所以，

∴，

∴的取值范围为.

19．已知函数的定义域为区间D，若对于给定的非零实数m，存在，使得，则称函数在区间D上具有性质.

(1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由；

(2)若函数在区间上具有性质，求n的取值范围；

(3)已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质.

【答案】(1)具有性质，理由见解析

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）由题可得，则，结合条件即得；

（2）由，解得，，可得，即得；

（3）设，，可得，当、、、、、中有一个为0时，可得，，即证；当、、、、、中均不为0时，由于其和为0，则其中必存在正数和负数，不妨设，，结合条件可知，存在，，即证.

【详解】（1）函数在上具有性质.

若，则，

因为，且，

所以函数在上具有性质.

（2）解法1：由题意，存在，使得，

得（舍）或，

则得.

因为，所以.

又因为且，

所以，即所求的取值范围是.

解法2：当时，函数，是增函数，

所以不符合题意；

当时，因为直线是函数的一条对称轴，

而函数在区间上具有性质，

所以，

解得，即所求的取值范围是.

（3）设，.

则有，，，，

，，.

以上各式相加得

即，

（ⅰ）当、、、、、中有一个为0时，不妨设，，即，即，，

所以函数在区间上具有性质.

（ⅱ）当、、、、、中均不为0时，由于其和为0，

则其中必存在正数和负数，不妨设，，

其中，.

由于函数的图像是连续不断的曲线，所以当时，至少存在一个实数（当时，至少存在一个实数），其中，使得，即，

即存在，使得，

所以函数在区间上也具有性质.

综上，函数在区间上具有性质.