2022-2023学年浙江省衢温“5+1”联盟高一下学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年浙江省衢温“51”联盟高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据幂函数定义域和正弦函数值域即可得到集合，再根据交集含义即可得到答案.

【详解】根据幂函数定义域可知，根据正弦函数的值域可知，

故，

故选：B.

2．已知向量，且，则向量（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据平面向量互相垂直的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】因为，所以，

因为，

所以，

故选：A

3．已知是方程的两个实数根，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用两角和的正切公式即可得到结果.

【详解】因为是方程的两个实数根，

所以，

则，

故选：D.

4．已知偶函数定义域为，当时，单调递减，，，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意得到，结合函数的单调性和，即可求解.

【详解】因为函数为偶函数，可得，

又因为当 时，单调递减，且，

所以，即，所以.

故选：B.

5．已知函数，则函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数函数的定义域以及三函数的值域得出真数的取值范围，根据对数函数的单调性求得结果即可.

【详解】已知函数，则，

所以，

所以函数的值域为.

故选：C.

6．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近年内减少了，如果按此速度，设2022年的冬季冰雪覆盖面积为，从2022年起，经过年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积与的函数关系式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】确定北冰洋冬季冰盖面积的年平均变化率，然后建立函数关系.

【详解】设北冰洋冬季冰盖面积为上一年的倍，

则，

，

所以设2022年的冬季冰雪覆盖面积为，从2022年起，经过年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积与的函数关系式是，

故选：C.

7．在中，，直线上异于两点的点满足，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据平面向量线性运算的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.

【详解】因为，

所以，

而，

于是有，

即，

解得，舍去，

故选：A

【点睛】关键点睛：利用平面向量数量积的运算性质，结合余弦定理是解题的关键.

8．已知函数是定义在上的单调函数，且对任意，均有.若关于的方程有解，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用换元法，结合函数单调性的性质、对钩函数的单调性进行求解即可.

【详解】令，则有，

由，

因为函数是定义在上的单调函数，且，

所以，于是有，且，

令，所以，，

，

因为关于的方程有解，

所以方程有解，

函数在时，单调递增，故，

所以想要关于的方程有解，

只需，

故选：D

【点睛】关键点睛：根据单调性的性质，结合对钩函数的单调性进行求解是解题的关键.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．在中，“”是“”的充要条件

C．在中，“”是“sin”的必要不充分条件

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】BD

【分析】根据充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的定义，结合正弦定理、一元二次不等式的解法、绝对值不等式的解法逐一判断即可.

【详解】当时，显然不成立，故A不正确；

若，则由，

若，因为，所以，

所以，因此成立，

若时，由，

若中有一个在时，因为，所以，

所以，，因此，故B正确；

在三角形中，故C不正确；

或，或，

则或 ⫋或，

所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确，

故选：BD.

10．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．当时取得最大值

B．在上单调递减

C．在上单调递增

D．的一个对称中心为

【答案】CD

【分析】先应用辅助角公式化简,再应用正弦函数性质分别求解最值,单调性和对称中心分别判断选项即可.

【详解】由题可得,

对A，当,,，A选项错误;

对BC，,单调递增,B选项错误;C选项正确;

对D，,D选项正确.

故选：CD.

11．质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的上顺时针作匀速圆周运动，同时出发. 的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度为，起点为射线与的交点.则当与重合时，的坐标可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】当与重合时,两个点的终边相差的角度为，结合已知列出方程，对赋值逐一判断各选项即可.

【详解】设当与重合时，所用时间为，与的坐标均为.

由题意可知，即，

当时，，则的坐标，故C正确，D错误；

当时，，则的坐标，故A正确；

当时，，则的坐标，即，故B错误；

故选：AC.

12．已知棱长为1的正方体，以为圆心，为半径作圆弧为圆弧的三等分点（靠近点），则下列命题正确的是（    ）

A．

B．四棱锥的表面积为

C．三棱锥的外接球的体积为

D．若为上的动点，则的最小值为

【答案】ABD

【分析】过作，连接，根据条件求出、，进而可以判断A正确；分别求出四棱锥五个面的面积即可判断B正确；根据条件找到球心，根据几何关系求出球的半径，即可判断C错误；如图所示将平面沿着展开，即可判断D正确.

【详解】

如图所示，过作，连接，

因为为圆弧的三等分点（靠近点），

所以，则，，

由题意可得平面，

在中，，，

则，故A正确；

由题意可得，，

则，,

,，

在中，因为，

，，

，

四棱锥的表面积为；

故B正确；

取中点，的重心，

因为为等腰直角三角形，所以其外接圆圆心为，

因为为等边三角形，所以其外接圆圆心为，

过作平面的垂线，过作平面的垂线，

、交于点，则为三棱锥的外接球的球心，

则，，

所以，

即外接球的半径，

三棱锥的外接球的体积为，

故C错误；

如图所示将平面沿着展开，连接，交于点，

则根据两点之间距离最短可知此时最小，

最小值为，

故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．若，则___________.

【答案】

【分析】根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义和复数模的运算公式进行求解即可.

【详解】因为，

所以，

故答案为：

14．在中，，向量是与同向的单位向量，则在上的投影向量为___________.

【答案】

【分析】根据锐角三角函数定义，结合投影向量的定义进行求解即可.

【详解】因为，

所以，，

所以在上的投影向量为，

故答案为：

15．已知函数，若在上单调递增，则取最大值时，方程的解的个数为___________个.

【答案】9

【分析】根据正弦函数的单调性求出的最大值，方程的解的个数，即函数图象交点的个数，作出函数的图象，结合函数图象即可得解.

【详解】由，得，

因为在上单调递增，

所以，解得，

所以的最大值为，

当取最大值时，，

方程的解的个数，即函数图象交点的个数，

如图作出函数的图象，

由图可知函数图象交点的有个，

所以方程的解的个数为个.

故答案为：.

16．已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为___________.

【答案】/0.25

【分析】由一元二次不等式恒成立得、，将问题化为求的最小值，令则，应用基本不等式求最值，注意取值条件.

【详解】由题设，有，又，则，

又，则，

故存在使成立，则，

所以，令，故，

所以，且，

而，仅当，即等号成立，

所以，仅当且时等号成立，故的最小值为.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：根据一元二次不等式求参数的符号和大小关系，将题设条件化为求的最小值，结合换元法、基本不等式求最值.

四、解答题

17．已知函数.

(1)当时，求函数的值域；

(2)当时，求函数的单调递减区间.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简，再根据的取值范围求出，根据正弦函数的值域计算可得；

（2）根据正弦函数的单调区间计算可得.

【详解】（1）

当时，

的值域.

（2）由，得，

的单调递减区间为

18．已知向量.

(1)若，求的值；

(2)已知，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量平行的结论即可求出结果；

（2）根据向量的数量积运算结合平方关系、两角和的正弦公式即可求出结果.

【详解】（1）

即

（2）

，且①

，且②

由①②知.

19．已知正三棱锥的高为4，底面边长为.

(1)求该正三棱锥的表面积；

(2)用平行底面的平面去截该三棱锥，所得截面三角形的边长为，已知点都在同一球面上，求该球的体积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分别求出各边的长，进而求出其表面积；

（2）根据条件可得球心在直线上，利用关系建立勾股定理求出球的半径，进而求出结果.

【详解】（1）记高为，垂足为，则为的中心且

正三棱锥侧面的斜高

正三棱锥的表面积

所以该正三棱锥的表面积为.

（2）

因为为正三棱台，

所以球心在直线上，

设球心为，设

记与的交点为，则为的中心

则，且或，

则，

即，

外接球的半径，

球的体积.

20．位于某港口的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口北偏东且与该港口相距海里的处，并正以海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与海轮相遇.

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度应为多少？

(2)若经过小时小艇与海轮相遇，则小艇的航行速度应为多少？

(3)假设小艇的最高航行速度只能达到海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与海轮相遇，并求出其相遇时间.

【答案】(1)海里/时

(2)海里/时

(3)当小艇的航行方向为北偏西，航速为海里/时，小艇能以最短时间小时和海轮相遇

【分析】（1）利用正弦定理可求最小距离，进而确定速度；

（2）由两小时可确定边，再利用余弦定理可得及速度；

（3）设，可得，，再根据时间相等可确定速度，再利用三角函数性质可得的最值及时间的最值.

【详解】（1）

如图所示，

，，，

时，即小艇往正北方向航行时航行的距离最小为海里，

海轮航行的距离为海里，故航行时间为小时，

所以小艇的航行速度海里/时；

（2）如图所示，

设小艇与海轮在点处相遇，

经过小时后海轮航行的里程为海里，

即，

则在中，由余弦定理得，

所以小艇航行的里程海里，

故小艇的航速海里/时；

（3）如图所示，

因为，且小艇的最高航速为海里/时，

，，故小艇与海轮不可能于，及之间的任意位置相遇，

设在点相遇，，

则，，

，

整理得，

从而，所以，

，

故时，即，相遇时间最短，为小时，

综上当小艇的航行方向为北偏西，航速为海里/时，小艇能以最短时间小时和海轮相遇.

21．已知函数.

(1)若函数，判断的奇偶性并证明；

(2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)函数的为奇函数，证明见解析

(2)

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，结合对数的运算性质进行判断证明即可；

（2）根据函数的奇偶性、单调性，结合常变量分离法分类讨论进行求解即可.

【详解】（1）为奇函数，理由如下：

，定义域为，

，

，

函数的为奇函数.

（2）为增函数，

又在单调递增，

在单调递增，在单调递增，

在上为连续的奇函数，

在上单调递增，在上单调递增，

等价于，

即，

即，

①当时，式等价于，成立；

②当时，式等价于，则只要，

令，

当时，，

等号当且仅当时成立；

当时，，

等号当且仅当时成立；

综上：，

，即.

【点睛】关键点睛：由函数的奇偶性和单调性得到，然后根据常变量分离法分类讨论求解是解题的关键.

22．已知函数.

(1)当时，判断函数的单调性，并写出单调区间（无需证明）；

(2)若存在，使成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)的单调增区间，单调减区间，

(2)

【分析】（1）根据绝对值的性质，结合对数的运算性质、对数函数的单调性进行求解即可；

（2）根据存在性的性质，结合函数单调性的性质、函数的最值分类讨论进行求解即可.

【详解】（1），则

当单调递减，当单调递增，

的单调增区间，单调减区间；

（2）存在在，，则只要当时，即可.-

①当时，在单调递减，在单调递增，此时

，得

②当时，，此时，不合题意-

③当时，在单调递减，单调递增，单调递减，单调递增

I）当，即时，，不合题意

II），即时，

设表示中最大的数，

由得或，无解

综上，.

【点睛】关键点睛：根据函数单调性的性质，利用分类讨论法进行求解是解题的关键.