2022-2023学年重庆市江津第五中学校高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年重庆市江津第五中学校高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．设i为虚数单位，且，则的虚部为（    ）

A． B．2 C．2i D．

【答案】B

【分析】由复数的乘法运算化简，再由复数相等求出，即可求出的虚部.

【详解】由可得：，

则，所以的虚部为2.

故选：B.

2．已知向量满足，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：∵，

又∵

∴9，

∴

故选：C.

3．若，且，则角的终边在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】根据角的象限与正余弦函数的函数值正负的关系判断．

【详解】因为，且，

即有且，所以角的终边在第三象限，

故选：C．

4．在边长为1的等边△ABC中，设，，，则（    ）

A． B．0 C． D．3

【答案】A

【分析】根据等边三角形的性质，得到，，，再根据向量的数量积运算，可得答案.

【详解】根据等边三角形的性质，，，，

得，

故选：A

5．已知，则＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据诱导公式和二倍角公式求出答案.

【详解】.

故选：A

6．已知函数，若的图象关于点对称，且直线与函数的图象的两个交点之间的最短距离为，则下列四个结论中错误的是（　　）

A．的最小正周期为

B．的单调递减区间是，

C．的图象关于直线对称

D．的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数

【答案】C

【分析】根据正弦函数的图象和性质逐项进行检验即可求解.

【详解】由题知直线与函数的交点之间的最短距离为，所以，故A正确；

所以，所以，

因为的图象关于点对称，所以，即，，

又因为，所以当时，，所以，

令，，解得，，

所以的单调递减区间为，，故B正确；

因为，故C错误；

函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数

为奇函数，故D正确．

故选:C．

7．已知在非 中，，，且，则△ABC的面积为（    ）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】首先由及不是直角三角形得出，再结合同角三角函数的平方关系求出，代入面积计算公式即可．

【详解】，

，

又不是直角三角形，

，

，即，

又，

，解得，

，即，

，

，

故选：C．

8．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对满足的，总有的最小值等于，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数图象平移规律可得函数的图象，由、设，则，分别利用、，求出可得答案.

【详解】函数的周期为，

将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，

可得，

由可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，且，

不妨设，则，即在时取得最小值，

由于，此时，不合题意；，此时，

当时，满足题意.

故选：C.

二、多选题

9．若复数为纯虚数，则（    ）

A．为实数 B．为实数

C．为实数 D．为实数

【答案】ACD

【分析】根据题意，设且，得到，结合复数的运算法则，逐项判定，即可求解.

【详解】因为为纯虚数，设且，则，

由，所以A正确；

由，所以B错误；

由为实数，所以C正确；

由为实数，所以D正确.

故选：ACD.

10．已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可.

【详解】设，因为，，且点P在直线AB上，故由可得以下两种情况：

，此时有，解得；

或，此时有，解得；

故选：AB

11．在中，下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若则定为等腰三角形或直角三角形

C．在等边中，边长为2，则其面积为

D．若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角

【答案】ABCD

【分析】A，根据大角对大边及正弦定理可得结论；B，根据诱导公式及三角函数图像与性质可得结论；C，根据三角形面积公式求解即可；D，设出三边的长度，利用余弦定理即可求出最大角.

【详解】对于A选项，在中，由，得，由正弦定理得，故A选项正确；

对于B选项，由于，由于，是三角形的内角，

所以或，即或，

因此可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项正确；

对于C选项，在等边中，边长为2，则，故C选项正确；

对于D选项，因为的三边之比为，所以设三边长依次为，，，其中，

设最大角是，由余弦定理知，所以，

因为，所以，即此三角形的最大角为钝角，故D选项正确.

故选：ABCD.

12．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（         ）

A．若，则 B．若，则

C． D．

【答案】ABD

【分析】建立平面直角系，表示出相关点的坐标，设，可得，由，结合题中条件可判断A，B，表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C，D.

【详解】如图，作,分别以为x，y轴建立平面直角坐标系，

则，

设，则，

由可得 ，且，

若，则，

解得，（负值舍去），故，A正确；

若，则，，所以，

所以，故B正确；

，由于，故，

故，故C错误；

由于，

故

，而，所以，

所以，故D正确，

故选：ABD

三、填空题

13．已知复数，，则在复平面内对应的点位于第__________象限．

【答案】二

【分析】利用复数的减法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论.

【详解】因为复数，，则，

因此，在复平面内对应的点的坐标为，即在复平面内对应的点位于第而象限.

故答案为：二.

14．已知，，若，则___________．

【答案】1

【分析】根据向量的垂直的坐标表示求解即可.

【详解】因为，，，

所以，解得.

故答案为：.

15．已知函数的部分图象如图所示，点，，在图象上，求_______

【答案】

【分析】根据图象可得函数周期，据此求出，再代入点可得，再代入点求出，得到函数解析式进而求解即可.

【详解】由函数图像可知.

设函数的最小正周期为，则，

又因为，由，解得，

又由图可知函数经过点，则，

所以，解得，

又因为，所以当时，，

所以，

又函数图象过点，所以，解得，

所以，故，

故答案为：

16．已知对任意角，均有公式．设的内角A，B，C满足．面积S满足．记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则abc的取值范围为______．

【答案】

【分析】根据条件变形化简可得的值，根据正弦定理和三角形面积，借助于△ABC外接圆半径R的范围，再结合△ABC外接圆半径R即可求abc的范围.

【详解】∵△ABC的内角A、B、C满足，

∴，即，

∴，

由题可知，，

∴，

∴

∴，

∴有，设△ABC的外接圆半径为R，

由正弦定理可知，，

∴，

∴，

所以．

故答案为：．

四、解答题

17．已知复数．

(1)若的实部与的模相等，求a的值；

(2)若复数在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据题意可得，解方程可求出a的值；

（2）先求出，然后由其在复平面上的对应点在第四象限，可得从而可求出a的取值范围

【详解】（1）依题意，，

因为的实部与的模相等，

所以，整理得，

解得或，

所以或．

（2）因为，又在复平面上的对应点在第四象限，

所以解得，

所以a的取值范围是．

18．设A，B，C，D为平面内的四点，且.

(1)若，求D点的坐标；

(2)设向量，若向量与平行，求实数k的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求出向量坐标，再利用相等向量列出方程组，求解作答.

（2）求出的坐标，再利用向量线性运算的坐标表示，及共线向量的坐标表示求解作答.

【详解】（1）设，因为，于是，整理得，

即有，解得，

所以.

（2）因为，

所以，，

因为向量与平行，因此，解得，

所以实数k的值为.

19．已知为锐角，.

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果；

（2）先由题意求出，，

根据，由两角差的正弦公式，即可求出结果.

【详解】（1）因为，所以；

（2）因为为锐角，所以，，

又，所以，

，

所以

.

【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型.

20．如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)A处与D处的距离；

(2)灯塔C与D处的距离．

【答案】（1）24；（2）8

【分析】（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长．

（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．

【详解】(1) 在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°

由正弦定理得

(2) 在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°，解得CD=．

所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile．

【点睛】点睛：解三角形应用题的一般步骤

(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．

(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．

(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．

(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.

21．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．

已知的角对边分别为，而且_____．

（I）求；

（Ⅱ）求面积的最大值．

【答案】（I）；（Ⅱ）

【分析】（I）选①，先利用正弦定理化简可得，进而得到，结合C的范围即可求得；

选②，先利用正弦定理可得（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，再利用余弦定理可得，结合C的范围即可求得；

（Ⅱ）由余弦定理可得，再利用基本不等式可得，进而求得△ABC面积的最大值．

【详解】解：（I）选①，∵a，

∴，

∵sinA≠0，

∴，即，

又0＜C＜π，

∴，故，即；

选②，∵（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC，

∴（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，即a2+b2﹣c2＝ab，

∴，

∵0＜C＜π，

∴；

（Ⅱ）由（I）可知，，

在△ABC中，由余弦定理得，即，

∴

∴，当且仅当那个a＝b时取等号，

∴，即△ABC面积的最大值为．

22．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.

(1)求的解析式与单调递减区间；

(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.

【答案】(1)，递减区间为，

(2)

【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；

（2）利用图象变换法则求得g(x)的函数表达式，解方程求得g(x)的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得.

【详解】（1）由题意，

图象的相邻两对称轴间的距离为，

的最小正周期为，即可得，

又为奇函数，则，，

又，，故，

令，得

函数的递减区间为，

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，

再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，

又，则或，

即或.

令，当时，，

画出的图象如图所示：

有两个根,关于对称，即,

有,

在上有两个不同的根，,；

又的根为，

所以方程在内所有根的和为.