2022-2023学年重庆市九校联盟高一下学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年重庆市九校联盟高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知i是复数单位，求=（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】由复数乘方运算化简即可.

【详解】由.

故选：B

2．已知，，则的值为 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用二倍角余弦公式可求得的值.

【详解】由题意知，

，

故选：D.

3．已知平面向量，，且//，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求参数即可.

【详解】由题设，则.

故选：B

4．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）提出“三斜求积”求三角形面积的公式．以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上．余四约之，为实．一为从隅开方得积．如果把以上这段文字写成公式，就是：．在中，已知角A、B、C所对边长分别为，其中为方程的两根，，则的面积为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】由根与系数关系及三角形面积公式求的面积即可.

【详解】由题意，则.

故选：C

5．在中，已知角所对边长分别为，且满足，为的中点，，则（    ）

A． B．3 C． D．4

【答案】C

【分析】在和中，利用余弦定理求出和，再利用建立关系式即可求出结果.

【详解】因为，为的中点，，如图，

在中，根据余弦定理可得，，

在中，根据余弦定理可得，，

又因为，所以

故有，得到，即，所以，

故选：C.

6．已知平面向量，满足，，，则（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】A

【分析】由求解.

【详解】解：因为，满足，，，

所以，

，

所以，

故选：A

7．已知函数，且的最小正周期为，给出下列结论：

①函数在区间单调递减；

②函数关于直线对称；

③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象.

其中所有正确结论的序号是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】A

【分析】先将函数化简为最简形式，然后利用周期求出的值，再利用正弦函数的性质进行判断即可求解.

【详解】因为函数，且的最小正周期为，所以，则.

因为，所以，则函数在单调递减，故①正确；

令，解得：，所以直线是函数的一条对称轴，故②正确；

将函数的图象上所有点向左平移个单位长度可得到，故③错误，

所以正确的结论序号为：①②，

故选：.

8．已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量共线定理推论得，再利用基本不等式求最值.

【详解】因为

因为点在线段上（不含端点），所以

当且仅当时取等号，

故选：B

【点睛】本题考查向量共线定理推论、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属较难题.

二、多选题

9．下列叙述中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．已知非零向量与且//，则与的方向相同或相反

D．对任一非零向量是一个单位向量

【答案】CD

【分析】A注意即可判断；B根据向量的性质判断；C由共线向量的定义判断；D由单位向量的定义判断.

【详解】A：若时，不一定有，错误；

B：向量不能比较大小，错误；

C：非零向量与且//，则与的方向相同或相反，正确；

D：非零向量，则是一个单位向量，正确.

故选：CD

10．已知复数则（    ）

A．复数在复平面内对应的点在第三象限 B．复数的实部为

C． D．复数的虚部为

【答案】BC

【分析】求解复数，根据复数的性质，依次判断各项正误.

【详解】由题意得，

故复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故A选项错误；

易知复数的实部为，故B选项正确；

因为，所以，故C选项正确；

因为，

所以复数的虚部为，故D选项错误．

故选：BC．

11．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．若，则的面积是15 D．若，则外接圆半径是

【答案】AD

【分析】设，，，，求出，，，根据正弦定理可判断A正确；根据平面向量数量积和余弦定理可判断B不正确；根据余弦定理和三角形面积公式可判断C不正确；根据余弦定理和正弦定理可判断D正确.

【详解】设，，，，

则，，，

对于A ，，故A正确；

对于B ，，故B不正确；

对于C，若，则，，，

所以，所以，

所以的面积是，故C不正确；

对于D，若，则，则，则，，，

所以，，

所以外接圆半径为.故D正确.

故选：AD

12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线的长为3，则的可能取值有（    ）

A．21 B．24 C．27 D．36

【答案】CD

【分析】由正弦定理和余弦定理得到，结合三角形面积列出方程，得到，再由基本不等式求出最值，验证后得到答案.

【详解】在中，，

由正弦定理得，即，

由余弦定理得，而，则，

角A的内角平分线的长为3，由得,

，

即，因此，

则，

当且仅当，即时取等号，

所以当时，取得最小值27．

若，又，联立得到，

因为，结合韦达定理，得到两根之和，两根之积均大于0，

故方程有正根，故满足要求.

故选：CD

三、填空题

13．在中，是的中点，点在上，满足，设，则______________（用 表示）．

【答案】

【分析】根据向量对应线段的位置及数量关系用表示出，即可得结果.

【详解】如下图示，.

故答案为：

14．的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.

【答案】

【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．

【详解】由余弦定理得，

所以，

即

解得（舍去）

所以，

【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．

15．已知是锐角，且，则___________．

【答案】/

【分析】根据角的范围及正余弦值求得、，再由及差角正弦公式求值即可.

【详解】由题设，则，而，

所以.

故答案为：

16．（理）在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，求的坐标为_____________________．

【答案】

【分析】根据向量加法平行四边形法则以及菱形性质得,再根据||＝2，求t,即得结果.

【详解】由题意可设

所以，

因为||＝2，所以,即的坐标为.

【点睛】与共线的向量为，当时，为同向；当时，为反向；与共线的单位向量为；与垂直的向量为.与平分线共线的向量为.

四、解答题

17．已知复数z=m（m+2）+（m2+m-2）i．

(1)若z是纯虚数，求实数m的值；

(2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．

【答案】(1)m=0

(2)（0，1）

【分析】（1）根据纯虚数的概念，让实部等于零，虚部不等于零，列方程求解即可；

（2）根据复数z在复平面内对应的点位于第四象限，得到实部大于零，虚部小于零，列不等式求解即可.

【详解】（1）若复数是纯虚数，则，解得或且，，所以.

（2）复数z在复平面内对应的点位于第四象限，则，解得，故的取值范围为.

18．已知函数.

（1）求的最小正周期和的单调递减区间；

（2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值.

【答案】（1）π；；（2）当时，函数取得最小值，最小值为．

【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函数的对称中心坐标；解不等式，可得出函数的单调递减区间；

（2）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的的值.

【详解】（1），

所以，函数的最小正周期为.

由，可得，

函数的对称中心为；

解不等式，解得.

因此，函数的单调递减区间为；

（2）当时，，

当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．

【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

19．已知向量,.

(1)当时,求；

(2)当，，求向量与的夹角.

【答案】(1)或

(2)

【详解】（1）向量,，则，.

由,可得即，即，

解得或,当,则,则,所以，

当，， ，综上    .

（2）由,,则

由,可得,解得,

所以,,

又,所以.

20．如图，在中， ， ，点在边上，且， .

（1）求；

（2）求的长.

【答案】（1）；（2）7.

【详解】试题分析：（I）在中，利用外角的性质，得即可计算结果；（II）由正弦定理，计算得，在中，由余弦定理，即可计算结果．

试题解析：（I）在中，∵，∴

∴

（II）在中，由正弦定理得：

在中，由余弦定理得：

∴

【解析】正弦定理与余弦定理．

21．已知向量，，设函数的图像关于直线对称，其中，为常数，且，．

(1)求函数的最小正周期；

(2)若的图像经过点，，求函数在区间，上的取值范围．

【答案】(1)

(2)，

【分析】(1)通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的解析式，再利用对称轴求出，求解函数的周期．

(2)通过的范围求出相位的范围，利用三角函数的性质求解函数的最值即可．

【详解】（1）向量，，，函数，

所以

，

由直线是图像的一条对称轴，可得，

所以，即．

又，，所以时，．

所以的最小正周期是．

（2）由(1)可知，

若的图像经过点，，则，解得，

所以，

由，得，

所以，

得，

故函数在区间，上的取值范围为，．

22．一个，它的内角所对的边分别为.

(1)如果这个三角形为锐角三角形，且满足，求的取值范围；

(2)若内部有一个圆心为P，半径为1的圆，它沿着的边内侧滚动一周，且始终保持与三角形的至少一条边相切.现用21米的材料刚好围成这个三角形，请你设计一种的围成方案，使得P经过的路程最大并求出该最大值.（说明理由）

【答案】(1)

(2)设计方案答案见解析，路程最大值为，理由见解析

【分析】由利用余弦定理消去参数，化简得到，再利用正弦定理把边化成角并化简得到，最后根据角的范围算出的取值范围；（2）数形结合得出P经过的路程并进行三角恒等变化得到：，最后利用基本不等式得出P经过的路程最大

【详解】（1）由（消也可）

即所以

再由正弦定理，有：

所以

因为三角形为锐角三角形，所以，即

得：

由，则得：

又，得：，因此可得：

所以

故

（2）

，，，

P的路程L为：

又

所以两边同时除以

可得：

，当且仅当，等号成立.

即

故可得：

故路程最大值为，此时围成的三角形为边长为7的等边三角形.