2022-2023学年广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部高一下学期学段（一）数学试题含解析

2022-2023学年广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部高一下学期学段（一）数学试题

一、单选题

1．复数化简的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】应用复数的乘除运算化简复数即可.

【详解】.

故选：A

2．已知向量，满足，且，则，夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的点乘关系，求出，即可求出，夹角.

【详解】解：由题意，

在向量，中，，

解得：

∴

故选：C.

3．函数图象的对称轴方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】采用整体对应法即可构造方程求得对称轴方程.

【详解】令，解得：，

的对称轴方程为.

故选：C.

4．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】直接根据平移变换的原则即可得解.

【详解】函数的图象向左平移个单位长度得到.

故选：C.

5．已知，则的最小值是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．2

【答案】B

【分析】根据基本不等式即可求解最值.

【详解】由于，故，所以，当且仅当，即时等号成立，故最小值为4，

故选：B

6．如图，在正六边形中，（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由向量的线性运算求解即可.

【详解】因为六边形为正六边形，

所以．

故选：A

7．某游轮在处观测灯塔在的北偏东方向上，距离为海里，游轮由处向正北方向航行到处时，再观测灯塔在的南偏东方向上，则与间的距离为（    ）

A．20海里 B．海里 C．海里 D．24海里

【答案】D

【分析】由已知条件画出示意图，应用正弦定理解三角形求与间的距离.

【详解】由题设，可画出如下示意图，，

所以，则，故海里.

故选：D

8．已知函数，.若有个零点，则实数的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出函数与函数的图象，数形结合即可求解.

【详解】令可得，

当时，，

当时，的图象与关于轴对称，

所以作出函数与函数的图象如下图所示：

由上图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点，

此时，函数有2个零点.

因此，实数的取值范围是.即实数的最小值为1.

故选：D

二、多选题

9．已知复数，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．的虚部为-1

C．在复平面内对应的点在第一象限

D．的共轭复数为

【答案】BD

【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数虚部的定义、共轭复数、复数在复平面对应点的特征、复数模的运算公式逐一判断即可.

【详解】因为，所以的虚部为的共轭复数为在复平面内对应的点在第四象限.

故选：BD

10．在中，若，则a的值可以为（    ）

A． B． C．· D．

【答案】AB

【分析】根据余弦定理，直接计算求值.

【详解】根据，得，

即，解得：或.

故选：AB

11．函数，则以下结论中不正确的是（    ）

A．在上单调递增 B．为图象的一条对称轴

C．的最小正周期为 D．在上的值域是

【答案】ABD

【分析】利用诱导公式可得出，利用余弦函数的基本性质逐项判断可得出合适的选项.

【详解】因为，所以，函数在上单调递减，

函数的图象不关于直线对称，函数的最小正周期为，

当时，，则在上的值域是.

所以，ABD错误，C正确，

故选：ABD.

12．函数，且，则（    ）

A．的值域为 B．不等式的解集为

C． D．

【答案】CD

【分析】作出函数的图像，即可看出函数的值域；求出时的解，即可根据图像写出不等式的解集；令，根据函数的零点即可求出零点的关系和取值范围，从而判断各选项的正误.

【详解】解：作出函数的图像如下图所示：

可知函数的值域为，A选项错误；

当时，有或，解得，，，

所以，不等式的解集为，B选项错误；

令，由图可知a，b关于对称，

所以，即，C选项正确；

因为有三个零点，所以，而，

所以，D选项正确；

故选：CD.

三、填空题

13．计算；=______．

【答案】

【分析】根据指对数的运算性质即可.

【详解】

故答案为：

14．已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的表面积为______。

【答案】/

【分析】根据题意，可求出圆锥的母线长，利用圆锥表面积公式即可求出答案.

【详解】因为圆锥的底面半径和高均为1，

所以圆锥的母线长为：，

所以圆锥的表面积为：，

故答案为：.

15．求值______．

【答案】/0.5

【分析】根据诱导公式和两角差的正弦公式求解即可.

【详解】

.

故答案为：

16．如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为______．

【答案】

【分析】建立直角坐标系，得出，，利用向量的数量积运算得出，，根据二次函数性质即可求的最小值．

【详解】以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系，

则，，，

设点坐标为，则，，，

∴，

∴当时，，

故答案为：．

四、解答题

17．已知复数，，i为虚数单位．

(1)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围；

(2)若，求z的共轭复数．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）计算，然后根据第一象限点的特征列出关于 的不等式组，解出答案即可

（2）计算出 ，然后根据共轭复数的定义写出答案即可

【详解】（1）由题意，复数，，

，

∵复数在复平面上对应的点在第一象限，

∴

解得，∴实数 的取值范围．

（2）由，  

所以．

18．已知向量

(1)已知且，求

(2)已知，且，求向量与向量的夹角．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）设，得到方程，解出即可；

（2）由题意得，利用向量数量积运算律及定义得，解出即可.

【详解】（1）由，所以设

又得，解得，

所以或.

（2）由题知，，，，

所以，

所以

所以

所以

所以

因为

所以向量与向量的夹角为.

19．在中，，，且，求：

(1)求的值；

(2)求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由正弦定理化简已知等式可得，由已知条件利用余弦定理得，解方程得到a的值，进而可求b得值.

 (2)由已知条件，利用同角三角函数的基本关系可求得值，进而根据三角形的面积公示可计算得解.

【详解】（1）因为，由正弦定理得，，所以，

由余弦定理得，因为，，

所以，化简得，解得 或，

当时，，与题意不符合;

当时，，符合题意.

所以.

（2）因为，，

所以，所以的面积

20．已知函数的部分图象，如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出，由最小正周期求出，并确定.

（2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域.

【详解】（1）解：根据函数的部分图象

可得，，所以.

再根据五点法作图可得，

所以，.

（2）将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.

由，可得

又函数在上单调递增，在单调递减

，，

函数在的值域.

21．如图，在平面四边形中，若，，，，．

(1)求B；

(2)求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）在中，利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式即可得解；

（2）在中，先利用正弦定理求出，再在和中，利用余弦定理证明，即可得证.

【详解】（1）在中，因为，

所以，

即，

所以，

又，所以，

因为，所以；

（2）在中，，

则，

所以，

则，

在中，，，，

则，

因为且，

所以.

22．已知函数（且）.

(1)若函数为奇函数，求实数的值；

(2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用奇函数的定义可求参数的值；

（2）不等式等价于，参变分离后可求实数的取值范围.

【详解】（1）解：函数为奇函数，则，

即

，

则，即，.

（2）解：，，

，

∴，

∴在恒成立即在恒成立，

在为增函数，故，.