2022-2023学年河北省石家庄市一中高一下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年河北省石家庄市一中高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．函数的零点所在的大致区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可知在递增，且，由零点存在性定理即可得出答案.

【详解】易判断在递增，.

由零点存在性定理知，函数的零点所在的大致区间为.

故选:D.

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】分别求出的取值范围，根据充分条件、必要条件的定义即可做出选择.

【详解】由题意可知，可得或；

而时，可得，所以“”“”；

因此“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

3．已知向量，都是单位向量，且，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的运算律计算作答.

【详解】向量，都是单位向量，且，则，解得，

所以.

故选：D

4．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，且，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的（    ）

A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍

【答案】B

【分析】根据给定条件，可得，再利用和角的正切公式计算作答.

【详解】依题意，，则，

所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍.

故选：B

5．若函数的部分图象如图所示， 且，， 则函数的单调递减区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由图像求出函数解析式，即求出，的值，再根据余弦函数的性质求出函数的单调递减区间.

【详解】解：因为点在函数的图像上，所以，

即，结合图像可得①，

又，则直线为函数图像的一条对称轴，结合图像可得②，

由①、②解得，，所以．

令，得，

所以的单调递减区间为.

故选：C．

6．中国折扇有着深厚的文化底蕴.用黄金分割比例设计一把富有美感的纸扇，如图所示，在设计折扇的圆心角时，可把折扇考虑为从一圆形（半径为）分割出来的扇形，使扇形的面积与圆的面积的乘积等于剩余面积的平方.则扇形的圆心角为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】计算出、，根据已知条件可得出关于的方程，结合可求得的值.

【详解】由题意可知，，则且，

即，整理可得，

由题意可知，，解得.

故选：C.

7．化简（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式、二倍角公式、两角差的正弦公式等知识求得正确答案.

【详解】，

，

所以

.

故选：A

8．在中，是边上的点，且，若，则的最小值（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用向量基底表示表示出，然后根据，得，根据向量的基底表示可得，即得，化简计算得，然后利用余弦定理表示出，根据基本不等式求解最小值.

【详解】因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，，所以，即，所以，所以，当且仅当，即时取等号.

故选：D

【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

二、多选题

9．某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅，第二次涨幅；

乙：第一次涨幅，第二次涨幅；

丙：第一次涨幅，第二次涨幅.

其中，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（    ）

A．方案甲和方案乙工资涨得一样多 B．采用方案乙工资涨得比方案丙多

C．采用方案乙工资涨得比方案甲多 D．采用方案丙工资涨得比方案甲多

【答案】BC

【分析】不防设原工资为1，分别计算三种方案两次涨幅后的价格，利用均值不等式比较即可求解.

【详解】方案甲：两次涨幅后的价格为：；

方案乙：两次涨幅后的价格为：；

方案丙：两次涨幅后的价格为：；

因为，由均值不等式，当且仅当时等号成立，

故，因为，所以，，

所以方案采用方案乙工资涨得比方案甲多，采用方案甲工资涨得比方案丙多，

故选：.

10．下列说法中正确的是（    ）

A．对任一非零向量，是一个单位向量

B．两个非零向量、，若，则与共线且反向

C．若，则存在唯一实数使得

D．若是三角形的重心，则

【答案】ABD

【分析】利用单位向量的定义可判断A选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；取，，可判断C选项；利用重心的几何性质可判断D选项.

【详解】对于A选项，对任一非零向量，，即是一个单位向量，A对；

对于B选项，两个非零向量、，若，则，

可得，所以，，

则，

因为，所以，，故与共线且反向，B对；

对于C选项，若，且，，对任意的，，则，C错；

对于D选项，若为的重心，延长交于点，则为的中点，如图所示：

则，

因为，

所以，，D对.

故选：ABD.

11．已知函数．若曲线经过点，且关于直线对称，则（    ）

A．的最小正周期为 B．

C．的最大值为2 D．在区间上单调递增

【答案】ABD

【分析】由题知，进而得，，再结合题意得，进而再讨论各选项即可得答案.

【详解】解：因为曲线关于直线对称，

所以，即，解得，

所以，，

所以，的最小正周期为，故A选项正确；

因为曲线经过点，

所以，解得，

所以，，故B选项正确；

所以，的最大值为，故C选项错误；

当时，，

所以在区间上单调递增，故D选项正确.

故选：ABD

12．若，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据，且，设，利用三角函数的性质逐项判断.

【详解】解：对于A，因为，且，

所以设，则，所以，故A正确；

对于B，，

因为，所以，所以，则，故B错误；

对于D，， 因为，所以，

所以 ，则，故D正确；

对于C，，

令，则，

所以，故C正确；

故选：ACD

三、填空题

13．已知集合，若则实数的取值范围是____.

【答案】

【分析】根据指数函数的单调性求出集合A，再根据列出不等式，即可的解.

【详解】解：，

因为，

所以.

故答案为：.

14．已知四边形是边长为2的正方形，若，且为的中点，则______．

【答案】

【分析】以为基底表示，进而求得.

【详解】依题意，在正方形中，且为的中点，

所以，

，

所以.

故答案为：

15．已知函数，则__________.

【答案】/

【分析】根据指数幂的运算性质直接化简计算即可求解.

【详解】

.

故答案为：.

16．如图，OPQ是半径为2，的扇形，C是弧PQ上的点，ABCD是扇形的内接矩形，设，若，四边形ABCD面积S取得最大值，则的值为_______.

【答案】/

【分析】先把矩形的各个边长用角表示出来，进而表示出矩形的面积；结合辅助角公式与三角函数的基本关系式即可求得矩形面积最大时角的值.

【详解】因为在直角中，，

所以，

因为在直角中，且，，

所以，，

所以，

所以

，其中，

当时，取得最大值，

此时，则，

即，即，

因为，

所以.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题的突破口是利用直角三角形中三角函数定义求得四边形各边关于的表达式，从而利用辅助角公式得解.

四、解答题

17．已知向量，满足，，.

(1)求与的夹角；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对两边平方，利用数量积的运算法则进行计算，求出与的夹角；（2）根据垂直关系得到方程，求出m的值.

【详解】（1），两边平方得：

，

因为，，

所以，即，

因为，

所以；

所以与的夹角为.

（2）∵，

∴，

，

，

解得：.

18．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)若，求C；

(2)若，证明：△ABC是等腰直角三角形．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系和三角恒等变换化简后将代入即可求解;(2)分类讨论可证明.

【详解】（1）由得，

，

即，

所以，

则有,

即，

即，

所以，

即，

即，

因为,所以，

由得，，所以,所以,

（2）证明：由(1)知，得或，

所以或,

当时，因为得，解得，

则有△ABC是等腰直角三角形;

当时，因为得，解得，

则有△ABC是等腰直角三角形;

所以△ABC是等腰直角三角形.

19．要得到函数的图象，可以从正弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到.

(1)说明图象经过怎样的变换得到函数的图象；

(2)用“五点法”画出函数在区间上的简图.

【答案】(1)答案见解析

(2)作图见解析

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用三角函数图象变换可得出结论；

（2）由可计算出的取值范围，列表、描点、连线可作出函数在上的图象.

【详解】（1）解：因为

，

所以，要得到函数的图象，可先将函数的图象向右平移个单位长度，

将所得函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的，

再将所得函数图象上每点的纵坐标缩短为原来的，可得到函数的图象.

（2）解：当时，，列表如下：

作出函数在上的图象如下图所示：

20．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．已知型火箭的喷流相对速度为．

（1）当总质比为410时，利用给出的参考数据求型火箭的最大速度；

（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1．5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．

参考数据：，．

【答案】（1）最大速度约为；（2）340.

【分析】（1）由，代入计算；

（2），总质比变为．由，求出的范围可得．

【详解】解：（1）当总质比为410时，．

由参考数据得，

当总质比为410时，型火箭的最大速度约为．

（2）由题意，经过材料更新和技术改进后，

型火箭的喷流相对速度为，总质比变为．

要使火箭的最大速度至少增加，则需．

化简，得．

，整理得．

，则．

由参考数据，知．

．

材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为340．

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的应用，在已知函数模型时，关键是确定已知函数式中各变量的含义，在已知条件中找到各变量的值，根据要求列式（方程或不等式），代入计算即可．

21．如图，在△ABC中，为所对的边，CD⊥AB于D，且．

（1）求证：；

（2）若，求的值．

【答案】（1）见解析（2）

【分析】（1）由题意可得，由正弦定理，得，即可作出证明；

（2）由（1）得，得到，所以，，即可求解的值.

【详解】（1）证明：因为，

        所以，  

        由正弦定理，得，

        所以．    

   （2）解：由（1）得，，                 

        所以，  

        化简，得．                    

又，所以，所以，，   

        所以．

【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.

22．已知函数是偶函数．

（1）求实数的值；

（2）若的图像在直线下方，求b的取值范围；

（3）设函数，若在上的最小值为0，求实数m的值．

【答案】（1）（2）（3）

【分析】（1）若函数是偶函数，则，可得k的值；

（2）若的图像在直线下方，即恒成立

参变分离得恒成立，令求的值域即可.

（3）函数变形得令

结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得的值．

【详解】（1）由，得，整理得，

则对任意恒成立，所以．

（2）由（1）知．

函数的图像在直线下方，

等价于，即恒成立．

设．

易知函数在上是减函数，且，所以，

所以，即b的取值范围是．

（3）．

设，，其对称轴为．

①当，即时，在上是增函数，从而，∴，不符合条件；

②当，即时，在上是减函数，从而，解得，

此时，，不符合条件；

③当，即时，在上是减函数，在上是增函数，从而，解得，符合条件．

综上所述，．

【点睛】本题考查函数的性质，函数与不等式以及复合函数等的综合问题，属于难题．